Onafhankelijke herhaalde proeven van een experiment met precies twee mogelijke uitkomsten worden Bernoulli proeven genoemd. Noem een van de uitkomsten “succes” en de andere uitkomst “mislukking”. Stel dat p
de kans op succes in een Bernoulli proef, en q {{\displaystyle q}
de kans op mislukking. Dan zijn de kans op succes en de kans op mislukking opgeteld één, omdat het complementaire gebeurtenissen zijn: “succes” en “mislukking” sluiten elkaar uit en zijn volledig. Zo heeft men de volgende relaties: p = 1 – q , q = 1 – p , p + q = 1. {\displaystyle p=1-q,\quad q=1-p,\quad p+q=1.}
Als alternatief kunnen deze worden uitgedrukt in termen van kansen: gegeven kans p op succes en q op mislukking, zijn de kansen voor p : q {\displaystyle p:q}
en de kansen tegen zijn q : p . {{Displaystyle q:p.}
Deze kunnen ook worden uitgedrukt in getallen, door te delen, wat de kans oplevert voor, o f {\displaystyle o_{f}}
, en de kansen tegen, o a : {\displaystyle o_{a}:}
, o f = p / q = p / ( 1 – p ) = ( 1 – q ) / q o a = q / p = ( 1 – p ) / p = q / ( 1 – q ) {displaystyle {begin{aligned}o_{f}&=p/q=p/(1-p)=(1-q)/q\\o_{a}&=q/p=(1-p)/p=q/(1-q)\end{aligned}}}
Dit zijn vermenigvuldigingsinverses, dus ze vermenigvuldigen zich tot 1, met de volgende relaties:
o f = 1 / o a , o a = 1 / o f , o f ⋅ o a = 1. {{f}=1/o_{a},\quad o_{a}=1/o_{f},\quad o_{f}{cdot o_{a}=1.}
In het geval dat een Bernoulli-proef een gebeurtenis uit eindig veel even waarschijnlijke uitkomsten weergeeft, waarbij S van de uitkomsten succes en F van de uitkomsten mislukking zijn, zijn de kansen voor S : F {\displaystyle S:F}
en de kansen tegen zijn F : S . {{Displaystyle F:S.}
Dit levert de volgende formules voor kans en winkans op: p = S / ( S + F ) q = F / ( S + F ) o f = S / F o a = F / S {Displaystyle {begin{aligned}p&=S/(S+F)}
Merk op dat hier de kansen worden berekend door het aantal uitkomsten door elkaar te delen, niet de kansen, maar de verhouding is dezelfde, omdat deze verhoudingen alleen verschillen door beide termen met dezelfde constante factor te vermenigvuldigen.
Randomvariabelen die Bernoulliproeven beschrijven, worden vaak gecodeerd met de conventie dat 1 = “succes”, 0 = “mislukking”.
Nauw verwant aan een Bernoulliproef is een binomiaal experiment, dat bestaat uit een vast aantal n {\displaystyle n}
van statistisch onafhankelijke Bernoulli proeven, elk met een kans op succes p {{\displaystyle p}
, en telt het aantal successen. Een willekeurige variabele die overeenkomt met een binomiaal wordt aangeduid met B ( n , p ) {Displaystyle B(n,p)}
, en wordt gezegd een binomiale verdeling te hebben.De kans op precies k {\displaystyle k}
successen in het experiment B ( n , p ) {\displaystyle B(n,p)}
wordt gegeven door: P ( k ) = ( n k ) p k q n – k {Displaystyle P(k)={n k}p^{k}q^{n-k}}
waar ( n k ) {{n \kies k}}
is een binomiaal coëfficiënt.
Bernoulli beproevingen kunnen ook leiden tot negatieve binomiale verdelingen (die het aantal successen tellen in een serie herhaalde Bernoulli beproevingen totdat een bepaald aantal mislukkingen wordt gezien), evenals verschillende andere verdelingen.
Wanneer meerdere Bernoulli beproevingen worden uitgevoerd, elk met zijn eigen kans op succes, worden deze soms Poisson beproevingen genoemd.