Wat is de binomiale verdeling?
De binomiale verdeling is een kansverdeling die de waarschijnlijkheid samenvat dat een waarde één van twee onafhankelijke waarden zal aannemen onder een gegeven set parameters of aannames. De onderliggende veronderstellingen van de binomiale verdeling zijn dat er slechts één uitkomst is voor elke proef, dat elke proef dezelfde kans op succes heeft, en dat elke proef wederzijds exclusief is, of onafhankelijk van elkaar.
Key Takeaways
- De binomiale verdeling is een kansverdeling die de waarschijnlijkheid samenvat dat een waarde een van twee onafhankelijke waarden aanneemt onder een gegeven set parameters of veronderstellingen.
- De onderliggende aannamen van de binomiale verdeling zijn dat er slechts één uitkomst is voor elke proef, dat elke proef dezelfde kans van slagen heeft, en dat elke proef elkaar wederzijds uitsluit of onafhankelijk is van elkaar.
- De binomiale verdeling is een veelgebruikte discrete verdeling die in de statistiek wordt gebruikt, in tegenstelling tot een continue verdeling, zoals de normale verdeling.
Begrip van de binomiale verdeling
De binomiale verdeling is een veelgebruikte discrete verdeling die in de statistiek wordt gebruikt, in tegenstelling tot een continue verdeling, zoals de normale verdeling. Dit komt omdat de binomiale verdeling slechts twee toestanden telt, meestal weergegeven als 1 (voor een succes) of 0 (voor een mislukking), gegeven een aantal proeven in de gegevens. De binomiale verdeling geeft dus de kans op x successen in n proeven weer, gegeven een succeskans p voor elke proef.
De binomiale verdeling vat het aantal proeven samen, of waarnemingen wanneer elke proef dezelfde kans heeft om een bepaalde waarde te bereiken. De binomiale verdeling bepaalt de kans op het waarnemen van een bepaald aantal succesvolle uitkomsten in een bepaald aantal proeven.
De binomiale verdeling wordt in de statistiek van de sociale wetenschappen vaak gebruikt als bouwsteen voor modellen voor dichotome uitkomstvariabelen, zoals de vraag of een Republikein of Democraat een komende verkiezing zal winnen of dat een individu binnen een bepaalde periode zal overlijden, enzovoort.
Binomiale verdeling analyseren
De verwachte waarde, of het gemiddelde, van een binomiale verdeling, wordt berekend door het aantal proeven te vermenigvuldigen met de kans op succes. Bijvoorbeeld, de verwachte waarde van het aantal koppen in 100 proeven van kop en tales is 50, of (100 * 0,5). Een ander veelgebruikt voorbeeld van de binomiale verdeling is het schatten van de kans op succes voor een schutter van een vrije worp bij basketbal waarbij 1 = een basket wordt gemaakt en 0 = een misser.
Het gemiddelde van de binomiale verdeling is np, en de variantie van de binomiale verdeling is np (1 – p). Als p = 0,5 is de verdeling symmetrisch rond het gemiddelde. Als p > 0.5 is, is de verdeling scheef naar links. Wanneer p < 0,5, is de verdeling scheef naar rechts.
De binomiale verdeling is de som van een reeks van meerdere onafhankelijke en identiek verdeelde Bernoulli-proeven. Bij een Bernoulli proef is het experiment willekeurig en zijn er slechts twee mogelijke uitkomsten: succes of mislukking.
Zo wordt bijvoorbeeld het opgooien van een munt beschouwd als een Bernoulli proef; elke proef kan slechts één van de twee waarden aannemen (kop of munt), elk succes heeft dezelfde kans (de kans op kop is 0,5), en de uitkomsten van de ene proef hebben geen invloed op de uitkomsten van een andere. De Bernoulli verdeling is een speciaal geval van de binomiale verdeling waarbij het aantal proeven n = 1.
Voorbeeld van binomiale verdeling
De binomiale verdeling wordt berekend door de kans op succes te vermenigvuldigen met de macht van het aantal successen en de kans op mislukking met de macht van het verschil tussen het aantal successen en het aantal proefnemingen. Vermenigvuldig vervolgens het product met de combinatie tussen het aantal proeven en het aantal successen.
Voorbeeld: stel dat een casino een nieuw spel heeft ontwikkeld waarbij deelnemers kunnen inzetten op het aantal kop- of muntmunten in een bepaald aantal opgooibeurten. Veronderstel dat een deelnemer $10 wil inzetten dat er precies zes koppen zullen zijn in 20 muntopgooiingen. De deelnemer wil berekenen hoe groot de kans is dat dit gebeurt, en gebruikt daarom de berekening voor de binomiale verdeling.