Afleiding van Exacte Formule
Voorstel dat een bepaald experiment met meerdere instrumenten moet worden uitgevoerd. Deze instrumenten hebben elk een verschillende variabiliteit in hun metingen. De resultaten van elk instrument zijn gegeven als: a, b, c, d… (Ter vereenvoudiging worden in deze afleiding alleen de variabelen a, b en c gebruikt). Het gewenste eindresultaat is \(x), zodat \(x) afhankelijk is van a, b, en c. Men kan schrijven dat \(x\) een functie is van deze variabelen:
Omdat elke meting een onzekerheid over het gemiddelde heeft, kan men schrijven dat de onzekerheid van dxi van de i-de meting van \(x\) afhangt van de onzekerheid van de i-de metingen van a, b, en c:
De totale afwijking van \(x) wordt dan afgeleid uit de partiële afgeleide van x ten opzichte van elk van de variabelen:
Een verband tussen de standaardafwijkingen van x en a, b, c, enz…. wordt in twee stappen gevormd:
- door kwadratuurvergelijking \ref{3}, en
- door de totale som te nemen van \(i = 1) tot \(i = N\), waarbij \(N\) het totaal aantal metingen is.
In de eerste stap verschijnen er twee unieke termen aan de rechterkant van de vergelijking: kwadratische termen en kruistermen.
Kwadratische termen:
Kruisingstermen:
Kwadratische termen zijn, vanwege de aard van kwadrateren, altijd positief en heffen elkaar dus nooit op. Kruistermen daarentegen kunnen elkaar opheffen, omdat elke term positief of negatief kan zijn. Indien da, db en dc willekeurige en onafhankelijke onzekerheden vertegenwoordigen, zal ongeveer de helft van de kruistermen negatief en de andere helft positief zijn (dit is hoofdzakelijk te wijten aan het feit dat de variabelen onzekerheid over een gemiddelde vertegenwoordigen). In feite zou de som van de kruistermen nul moeten naderen, vooral naarmate de waarde toeneemt. Als de variabelen echter gecorreleerd zijn in plaats van onafhankelijk, is het mogelijk dat de kruisterm niet wegvalt.
Aannemende dat de kruistermen wel opheffen, dan zou de tweede stap – optellen van \(i = 1) tot \(i = N\) – zijn:
Deel beide zijden door \(N – 1\):
\
De vorige stap heeft een situatie geschapen waarin vergelijking \ref{7} de standaarddeviatievergelijking zou kunnen nabootsen. Dit is gewenst, omdat er dan een statistisch verband ontstaat tussen de variabele x, en de andere variabelen a, b, c, enz. als volgt:
De standaarddeviatievergelijking kan worden herschreven als de variantie (\(\sigma_x^2})) van \(x):
Herschrijven van vergelijking \ref{7} met behulp van de gecreëerde statistische relatie levert de Exacte Formule voor Foutvoortplanting:
Hiermee is het eindresultaat bereikt. Vergelijking 9 toont een direct statistisch verband tussen meerdere variabelen en hun standaardafwijkingen. In de volgende paragraaf worden afleidingen voor veel voorkomende berekeningen gegeven, met een voorbeeld van hoe de afleiding tot stand is gekomen.
| Type | Voorbeeld | Standaardafwijking | Standaardafwijking |
|---|---|---|---|
| Toevoeging of Aftrekking | (x = a + b – c)) | c) | (\sigma_x= \sqrt{ {sigma_a}^2+{\sigma_b}^2+{\sigma_c}^2} \label{10}}) |
| Multiplicatie of deling | (x = \dfrac{ a x b}{c}) | ( \dfrac{\sigma_x}{x}=\sqrt{\left(\dfrac{\sigma_a}{a}\right)^2+\left(\dfrac{\sigma_b}{b}\right)^2+\left(\dfrac{\sigma_c}{c}\right)^2} \) (11) | |
| Exponentieel | [x = a^y] | [\(\dfrac{\sigma_x}{x}=y(\dfrac{\sigma_a}{a})\) (12) | |
| Logaritmisch | (x = \log(a)\) | \(\sigma_x=0,434(\dfrac{\sigma_a}{a})\) (13) | |
| Anti-logaritmisch | (x = antilog(a)\) | \(\dfrac{\sigma_x}{x}=2,303({sigma_a})\) (14) |
Waarbij \(a), \(b), en c gemeten variabelen uit een experiment zijn en de standaardafwijkingen van die variabelen.
Toevoeging, aftrekking en logaritmische vergelijkingen leiden tot een absolute standaardafwijking, terwijl vermenigvuldiging, deling, exponentiële en anti-logaritmische vergelijkingen leiden tot relatieve standaardafwijkingen.
Afleiding van rekenvoorbeelden
De exacte formule voor foutvoortplanting in vergelijking \ref{9}} kan worden gebruikt om de rekenvoorbeelden uit tabel \PageIndex{1}} af te leiden. We beginnen met een eenvoudige vergelijking:
waarbij \(x) het gewenste resultaat is met een gegeven standaardafwijking, en \(a), \(b), en \(c) experimentele variabelen zijn, elk met een verschillende standaardafwijking. Als we van elke experimentele variabele, \(a), \(b), en \(c) de partiële afgeleide nemen:
en
Plug deze partiële afgeleiden in vergelijking \(\ref{9}}) geeft:
Deling van vergelijking \(\ref{17}}) door vergelijking \(\ref{15}}) in het kwadraat levert op:
Het wegstrepen van termen en kwadrateren van beide zijden levert vergelijking 11 uit tabel \(\PageIndex{1}} op:
Voorbeeld
Hierbij het voorbeeld uit de inleiding (waar we de molaire extinctie van een molecuul berekenen), stel dat we een concentratie hebben van 13.7(±0,3) mol/L, een weglengte van 1,0(±0,1) cm, en een absorptie van 0,172807(±0,000008). De vergelijking voor de molaire extinctiecoëfficiënt is ε = A/(lc).
Oplossing
Omdat de Wet van Beer over vermenigvuldigen/delen gaat, gebruiken we Vergelijking 11:
Zoals in de noot hierboven staat, levert Vergelijking 11 een relatieve standaardafwijking op, of een percentage van de variabele ε. Met behulp van de Wet van Beer is ε = 0,012614 L mol-1 cm-1. Daarom zou de ε voor dit voorbeeld 10,237% van ε bedragen, ofwel 0,001291.
Rekening houdend met significante cijfers zou het uiteindelijke antwoord zijn:
ε = 0,013 ± 0.001 L mol-1 cm-1
Voorbeeld
Als je een vergelijking krijgt die twee verschillende variabelen met elkaar in verband brengt en je krijgt de relatieve onzekerheid van een van de variabelen, dan is het mogelijk om de relatieve onzekerheid van de andere variabele te bepalen met behulp van calculus. In problemen wordt de onzekerheid meestal in procenten gegeven. Laten we zeggen dat we de straal van een heel klein voorwerp meten. In het probleem zou kunnen staan dat er een onzekerheid van 5% is bij het meten van deze straal.
Oplossing
Om dit percentage daadwerkelijk te gebruiken om onbekende onzekerheden van andere variabelen te berekenen, moeten we eerst definiëren wat onzekerheid is. Onzekerheid wordt in de wiskunde gedefinieerd als:
(dx/x)=(∆x/x) = onzekerheid
Voorbeeld
Laten we nog eens naar het voorbeeld van de straal van een voorwerp kijken. Als we weten dat de onzekerheid van de straal 5% is, is de onzekerheid gedefinieerd als (dx/x)=(∆x/x)= 5% = 0,05.
Nu zijn we klaar om calculus te gebruiken om een onbekende onzekerheid van een andere variabele te verkrijgen. Stel dat we de straal van een slagader meten en vaststellen dat de onzekerheid 5% is. Wat is de onzekerheid van de meting van het volume bloed dat door de slagader stroomt? Laten we zeggen dat de vergelijking tussen straal en volume is:
Waarbij c een constante is, r de straal en V(r) het volume.
Oplossing
De eerste stap om de onzekerheid van het volume te vinden, is het begrijpen van de gegeven informatie. Aangezien we hebben gekregen dat de straal een onzekerheid van 5% heeft, weten we dat (∆r/r) = 0,05. Wij zijn op zoek naar (∆V/V).
Nu we dit hebben gedaan, is de volgende stap de afgeleide van deze vergelijking te nemen om te verkrijgen:
We kunnen nu beide zijden van de vergelijking vermenigvuldigen om te verkrijgen:
Omdat we op zoek zijn naar (∆V/V), delen we beide zijden door V om te krijgen:
We krijgen de vergelijking van het volume gegeven als (V = c(r)^2), dus we kunnen dit weer in onze vorige vergelijking voor ∆(V) stoppen om te krijgen:
Nu kunnen we variabelen die zowel in de teller als in de noemer staan schrappen en krijgen we:
We hebben de vergelijking nu zo ver teruggebracht dat ∆r/r overblijft. We weten dat de waarde van de onzekerheid voor ∆r/r 5% is, ofwel 0,05. Door deze waarde in te vullen voor ∆r/r krijgen we:
\dfrac{∆V}{V} = 2 (0,05) = 0,1 = 10%]
De onzekerheid van het volume is 10%. Deze methode kan ook in de chemie worden gebruikt, niet alleen in het biologische voorbeeld hierboven.