Gulden snede

Irrationaliteit

De gulden snede is een irrationeel getal. Hieronder staan twee korte bewijzen voor irrationaliteit:

Contradictie uit een uitdrukking in laagste termen

Als φ rationaal zou zijn, dan zou het de verhouding zijn van de zijden van een rechthoek met gehele zijden (de rechthoek die het hele diagram beslaat). Maar het zou ook een verhouding zijn van gehele zijden van de kleinere rechthoek (het meest rechtse deel van het diagram) verkregen door het weglaten van een vierkant. De opeenvolging van afnemende gehele zijden gevormd door het schrappen van vierkanten kan niet oneindig worden voortgezet omdat de gehele getallen een ondergrens hebben, dus φ kan niet rationaal zijn.

Houd in gedachten dat:

het geheel het langere deel plus het kortere deel is; het geheel is tot het langere deel zoals het langere deel tot het kortere deel is.

Als we het geheel n noemen en het langere deel m, dan wordt de tweede bewering hierboven

n is tot m als m is tot n – m,

of, algebraïsch

n m = m n – m . ( ∗ ) {\displaystyle {\frac {n}{m}}={\frac {m}{n-m}}.\qquad (*)}

Zeggen dat de gulden snede φ rationaal is betekent dat φ een breuk n/m is waarbij n en m gehele getallen zijn. We mogen aannemen dat n/m in de laagste termen staat en dat n en m positief zijn. Maar als n/m in de laagste termen is, dan zegt de identiteit met (*) hierboven dat m/(n – m) in nog lagere termen is. Dat is een tegenspraak die volgt uit de aanname dat φ rationaal is.

Door irrationaliteit van √5

Een ander kort bewijs – misschien bekender – van de irrationaliteit van de gulden snede maakt gebruik van de sluiting van rationale getallen bij optellen en vermenigvuldigen. Als 1 + 5 2 {\displaystyle \textstyle {\frac {1+{\sqrt {5}}{2}}}

rationaal is, dan is 2 ( 1 + 5 2 ) – 1 = 5 {\displaystyle \textstyle 2 links({\frac {1+{\sqrt {5}}{2}}}-1={\sqrt {5}}}

is ook rationaal, wat een tegenspraak is als al bekend is dat de vierkantswortel van een niet-vierkant natuurlijk getal irrationaal is.

Minimaal polynoom

De gulden snede is ook een algebraïsch getal en zelfs een algebraïsch geheel getal. Het heeft een minimale polynoom

x 2 – x – 1. {Displaystyle x^{2}-x-1.}

Met graad 2 heeft deze veelterm eigenlijk twee wortels, waarvan de andere de gulden snede conjugaat is.

Guldenratio conjugaat

De geconjugeerde wortel van de minimale polynoom x2 – x – 1 is

– 1 φ = 1 – φ = 1 – 5 2 = – 0.61803 39887 … . {\displaystyle -{\frac {1}{\varphi }}=1-\varphi ={\frac {1-{\sqrt {5}}{2}}=-0,61803,39887}}

De absolute waarde van deze grootheid (≈ 0.618) komt overeen met de lengteverhouding in omgekeerde volgorde (kortere segmentlengte over langere segmentlengte, b/a), en wordt soms aangeduid als de gulden snede-conjugaat of zilverratio. Zij wordt hier aangeduid met de hoofdletter Phi ( Φ {displaystyle \Phi }

): Φ = 1 φ = φ – 1 = 0,61803 39887 … . {Displaystyle φPhi ={1 φ == φvarphi }= φvarphi ^{-1}=0,61803,39887 …}

Aternatief, Φ {displaystyle \Phi }

kan worden uitgedrukt als Φ = φ – 1 = 1,61803 39887 … – 1 = 0,61803 39887 … . … Φ = φ – 1 = 1,61803 39887 39887 … … .

Dit illustreert de unieke eigenschap van de gulden snede onder positieve getallen, dat

1 φ = φ – 1 , {displaystyle {1 Φover \varphi }=\varphi -1,}

of zijn inverse:

1 Φ = Φ + 1. {\displaystyle {1 Φover \Phi }=Phi +1.}

Dit betekent 0,61803…:1 = 1:1,61803….

Alternatieve vormen

Benaderingen van de reciproke gulden snede door eindige voortgezette breuken, of verhoudingen van Fibonacci-getallen

De formule φ = 1 + 1/φ kan recursief worden uitgebreid om een voortgaande breuk voor de gulden snede te verkrijgen:

φ = = 1 + 1 1 + 1 1 + ⋱ {displaystyle \varphi ==1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\ddots }}}}}}}

en zijn reciproke:

φ – 1 = = 0 + 1 1 + 1 1 + ⋱ {displaystyle \varphi ^{-1}==0+{cfrac {1}{1+{cfrac {1}{1+{cfrac {1}{1++{cfrac {1}{1+{1}}}}}}}}}

De convergenten van deze doorlopende breuken (1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, …., of 1/1, 1/2, 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, …) zijn verhoudingen van opeenvolgende Fibonacci-getallen.

De vergelijking φ2 = 1 + φ levert op dezelfde manier de doorlopende vierkantswortel:

φ = 1 + 1 + 1 + ⋯ . {\displaystyle \varphi ={\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+{\cdots }}}}}}}}.}

Een oneindige reeks kan worden afgeleid om φ uit te drukken:

φ = 13 8 + ∑ n = 0 ∞ ( – 1 ) n + 1 ( 2 n + 1 ) ! 4 2 n + 3 n ! ( n + 2 ) ! . {\displaystyle \varphi ={\frac {13}{8}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}(2n+1)!}{4^{2n+3}n!(n+2)!}}.

Ook:

φ = 1 + 2 sin ( π / 10 ) = 1 + 2 sin 18 ∘ {\displaystyle \varphi =1+2\sin(\pi /10)=1+2\sin 18^{\circ }}.

φ = 1 2 csc ( π / 10 ) = 1 2 csc 18 ∘ {{displaystyle \varphi ={1 \pi /10)={1 \over 2}\csc 18^{\circ }}

φ = 2 cos ( π / 5 ) = 2 cos 36 ∘ {{displaystyle \varphi =2\cos(\pi /5)=2\cos 36^{\circ }}

Dit komt overeen met het feit dat de lengte van de diagonaal van een regelmatige pentagon φ maal de lengte van zijn zijde is, en met soortgelijke relaties in een pentagram.

Geometrie

Benaderde en ware gulden spiralen. De groene spiraal is gemaakt van kwartcirkels die raken aan de binnenkant van elk vierkant, terwijl de rode spiraal een Gouden Spiraal is, een speciaal type logaritmische spiraal. Overlappende gedeelten zijn geel. De lengte van de zijde van een vierkant gedeeld door die van het eerstvolgende kleinere vierkant is de gulden snede.

Het getal φ komt vaak voor in de meetkunde, met name in figuren met vijfhoekige symmetrie.De lengte van de diagonaal van een regelmatige vijfhoek is φ maal zijn zijde.De hoekpunten van een regelmatige icosaëder zijn die van drie loodrecht op elkaar staande gulden rechthoeken.

Er is geen algemeen algoritme bekend om een gegeven aantal knopen gelijkmatig op een bol te rangschikken, voor een van de vele definities van gelijkmatige verdeling (zie bijvoorbeeld het Thomson-probleem). Een bruikbare benadering volgt echter uit het verdelen van de bol in evenwijdige stroken van gelijke oppervlakte en het plaatsen van een knooppunt in elke strook op lengtegraden die worden gescheiden door een gulden snede van de cirkel, d.w.z. 360°/φ ≅ 222,5°. Deze methode werd gebruikt om de 1500 spiegels van de door studenten geparticipeerde satelliet Starshine-3 te rangschikken.

Een lijnstuk delen door inwendige deling

Een lijnstuk delen door inwendige deling volgens de gulden snede

1. Bevat een lijnstuk AB, construeer een loodlijn BC in punt B, waarbij BC half zo lang is als AB. Teken de schuine zijde AC.
2. Teken een cirkelboog met middelpunt C en straal BC. Deze boog snijdt de schuine zijde AC in het punt D.
3. Teken een boog met middelpunt A en straal AD. Deze boog snijdt het oorspronkelijke lijnstuk AB in punt S. Punt S verdeelt het oorspronkelijke lijnstuk AB in lijnstukken AS en SB met lengten in de gulden snede.

Een lijnstuk delen door uitwendige deling

Een lijnstuk delen door uitwendige deling volgens de gulden snede

1. Teken een lijnstuk AS en construeer vanaf het punt S een lijnstuk SC loodrecht op AS en met dezelfde lengte als AS.
2. Bisecteer het lijnstuk AS met M.
3. Een cirkelboog om M met straal MC snijdt in punt B de rechte lijn door de punten A en S (ook wel het verlengde van AS genoemd). De verhouding van AS tot het geconstrueerde lijnstuk SB is de gulden snede.

Toepassingsvoorbeelden zie je in de artikelen Vijfhoek met gegeven zijlengte, Decagon met gegeven omtrek en Decagon met gegeven zijlengte.

Beide hierboven weergegeven verschillende algoritmen leveren meetkundige constructies op die twee uitgelijnde lijnstukken bepalen waarbij de verhouding tussen het langere en het kortere lijnstuk de gulden snede is.

Gulden driehoek, pentagon en pentagram

Gulden driehoek. De hoek met de dubbele boog is 36 graden, ofwel π 5 {\displaystyle {\frac {\pi }{5}}

radialen.

Gouden driehoek

De gouden driehoek kan gekarakteriseerd worden als een gelijkbenige driehoek ABC met de eigenschap dat het doorsnijden van de hoek C een nieuwe driehoek CXB oplevert die een gelijksoortige driehoek is als de oorspronkelijke driehoek.

Als hoek BCX = α, dan is XCA = α vanwege de doorsnijding, en CAB = α vanwege de gelijkvormige driehoeken; ABC = 2α vanuit de oorspronkelijke gelijkbenige symmetrie, en BXC = 2α door de gelijkvormigheid. De hoeken in een driehoek tellen op tot 180°, dus 5α = 180, wat α = 36° geeft. De hoeken van de gulden driehoek zijn dus 36°-72°-72°. De hoeken van de overblijvende stompe gelijkbenige driehoek AXC (soms gnomon genoemd) zijn 36°-36°-108°.

Voorstel dat XB lengte 1 heeft, en we noemen BC lengte φ. Vanwege de gelijkbenige driehoeken XC=XA en BC=XC, dus deze zijn ook lengte φ. Lengte AC = AB, dus gelijk aan φ + 1. Maar driehoek ABC is gelijkvormig met driehoek CXB, dus AC/BC = BC/BX, AC/φ = φ/1, en dus is AC ook gelijk aan φ2. Dus φ2 = φ + 1, hetgeen bevestigt dat φ inderdaad de gulden snede is.

Op dezelfde manier is de verhouding van de oppervlakte van de grotere driehoek AXC tot de kleinere driehoek CXB gelijk aan φ, terwijl de omgekeerde verhouding φ – 1 is.

Vijfhoek

In een regelmatige vijfhoek is de verhouding van een diagonaal tot een zijde de gulden snede, terwijl snijdende diagonalen elkaar snijden in de gulden snede.

Odom’s constructie

Laten A en B de middens zijn van de zijden EF en ED van een gelijkzijdige driehoek DEF. Verleng AB zodat hij bij C de omtrek van DEF ontmoet.
| A B | | B C | = | A C | | A B | = ϕ {\displaystyle {\tfrac {|AB|}{|BC|}}={\tfrac {|AC|}{|AB|}}=\phi }

George Odom heeft een opmerkelijk eenvoudige constructie gegeven voor φ met een gelijkzijdige driehoek: Als een gelijkzijdige driehoek is ingeschreven in een cirkel en het lijnstuk dat de middens van twee zijden verbindt, de cirkel in twee van de punten snijdt, dan zijn deze drie punten in de gulden snede. Dit resultaat is een eenvoudig gevolg van de snijpunttheorie en kan worden gebruikt om een regelmatige vijfhoek te construeren, een constructie die de aandacht trok van de bekende Canadese geometer H.S.M. Coxeter, die het in Odom’s naam publiceerde als een diagram in de American Mathematical Monthly, vergezeld van het enkele woord “Behold!”.

Pentagram

Een pentagram gekleurd om de lijnstukken van verschillende lengtes te onderscheiden. De vier lengten staan in gulden snede tot elkaar.

De gulden snede speelt een belangrijke rol in de geometrie van pentagrammen. Elk snijpunt van randen snijdt andere randen in de gulden snede. Ook is de verhouding van de lengte van het kortere segment tot het segment begrensd door de twee snijdende randen (een zijde van de pentagon in het midden van het pentagram) φ, zoals de vierkleurenillustratie laat zien.

Het pentagram bevat tien gelijkbenige driehoeken: vijf scherpe en vijf stompe gelijkbenige driehoeken. Bij al deze driehoeken is de verhouding tussen de lange zijde en de korte zijde φ. De scherpe driehoeken zijn gulden driehoeken. De stompe gelijkbenige driehoeken zijn gulden driehoeken.

Stelling van Ptolemaeus

De gulden snede in een regelmatige vijfhoek kan worden berekend met de stelling van Ptolemaeus.

De gulden snede van een regelmatige vijfhoek kan worden bevestigd door de stelling van Ptolemaeus toe te passen op het viervlak dat ontstaat door één van de hoekpunten te verwijderen. Als de lange zijde en de diagonalen van de vierhoek b zijn, en de korte zijden a, dan geeft de stelling van Ptolemaeus b2 = a2 + ab en dat geeft

b a = 1 + 5 2 . {{1+{\sqrt {5}}}={1+{\sqrt {5}}} \over 2}.}

Schaleniteit van driehoeken

Bedenk een driehoek met zijden van lengte a, b, en c in afnemende volgorde. Definieer de “schalenmaat” van de driehoek als de kleinste van de twee verhoudingen a/b en b/c. De schalenmaat is altijd kleiner dan φ en kan zo dicht als gewenst bij φ worden gemaakt.

Driehoek waarvan de zijden een meetkundige progressie vormen

Als de zijden van een driehoek een meetkundige progressie vormen en in de verhouding 1 : r : r2, waarbij r de gemeenschappelijke verhouding is, dan moet r in het bereik φ-1 < r < φ liggen, wat een gevolg is van de driehoeksongelijkheid (de som van twee willekeurige zijden van een driehoek moet strikt groter zijn dan de lengte van de derde zijde). Als r = φ dan zijn de kortste twee zijden 1 en φ maar hun som is φ2, dus r < φ. Een soortgelijke berekening leert dat r > φ-1. Een driehoek waarvan de zijden in de verhouding 1 : √φ : φ staan is een rechthoekige driehoek (want 1 + φ = φ2) bekend als een Kepler-driehoek.

Gulden driehoek, rhombus, en rhombisch drievlak

Een van de rhombi’s van het rhombisch drievlak

Alle zijvlakken van de rhombische triacontaëder zijn gouden rhombi

Een gouden rhombus is een rhombus waarvan de diagonalen in de gulden snede staan. De rhombische driehoek is een convexe veelhoek met een zeer bijzondere eigenschap: al zijn zijvlakken zijn gulden rhombi. In de rhombische triacontaëder is de dihedrale hoek tussen twee aangrenzende rhombi 144°, dat is twee keer de gelijkbenige hoek van een gulden driehoek en vier keer de meest scherpe hoek.

Relatie met de reeks van Fibonacci

De wiskunde van de gulden snede en die van de reeks van Fibonacci zijn nauw met elkaar verbonden. De Fibonacci-reeks is:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, …

Een gesloten uitdrukking voor de rij van Fibonacci bevat de gulden snede:

F ( n ) = φ n – ( 1 – φ ) n 5 = φ n – ( – φ ) – n 5 . F(n)-links(n)-rechts ={(1-)-varphi ^{n}-(1-)-varphi )^{n}} \over {\sqrt {5}}={\varphi ^{n}-(-\varphi )^{n}} \over {\sqrt {5}}.}

Een Fibonacci-spiraal die de gulden spiraal benadert, waarbij gebruik wordt gemaakt van vierkantgroottes van de Fibonacci-reeks tot 34. De spiraal is getekend vanuit het binnenste 1×1 vierkant en loopt door naar buiten naar opeenvolgende grotere vierkanten.

De gulden snede is de limiet van de verhoudingen van opeenvolgende termen van de Fibonacci-reeks (of een Fibonacci-achtige reeks), zoals aangetoond door Kepler:

lim n → ∞ F n + 1 F n = φ . {\displaystyle \lim _{n}{F_{n+1}}{F_{n}}=\varphi .}

Met andere woorden, als een Fibonacci-getal wordt gedeeld door zijn onmiddellijke voorganger in de reeks, benadert het quotiënt φ; bijv, 987/610 ≈ 1.6180327868852. Deze benaderingen zijn afwisselend lager en hoger dan φ, en convergeren naar φ naarmate de Fibonacci getallen toenemen, en:

∑ n = 1 ∞ | F n φ – F n + 1 | = φ . {\displaystyle \sum _{n=1}^{infty }|F_{n}\varphi -F_{n+1}|=\varphi .}

Meer algemeen:

lim n → ∞ F n + a F n = φ a , {{n}lim _{n}{n+a}}{F_{n}}}= ^{a},}

waarboven de verhoudingen van opeenvolgende termen van de Fibonacci-reeks, is een geval wanneer a = 1. {Displaystyle a=1.}

Daarnaast gehoorzamen de opeenvolgende machten van φ aan de Fibonacci-recurrentie:

φ n + 1 = φ n + φ n – 1 . {\displaystyle φ ^{n+1}=φ ^{n}+φ ^{n-1}.}

Met deze identiteit kan elke polynoom in φ worden herleid tot een lineaire uitdrukking. Bijvoorbeeld:

3 φ 3 – 5 φ 2 + 4 = 3 ( φ 2 + φ ) – 5 φ 2 + 4 = 3 – 5 ( φ + 1 ) + 4 = φ + 2 ≈ 3.618. {displaystyle {begin{aligned}3varphi ^{3}-5\varphi ^{2}+4&=3(\varphi ^{2}+\varphi )-5(\varphi ^{2}+4&=3-5(\varphi +1)+4&=varvarphi +2&=3(\varphi +1)+4&=3(\varphi +2)-3.618.º einde{aligned}}

De reductie tot een lineaire uitdrukking kan in één stap worden bereikt met behulp van de relatie φ k = F k φ + F k – 1 , {div>}

waarbij F k {{k}}

is het k-de Fibonacci-getal.

Dit is echter geen speciale eigenschap van φ, want veeltermen in elke oplossing x van een kwadratische vergelijking kunnen op analoge wijze worden gereduceerd, door toepassing van:

x 2 = a x + b {\displaystyle x^{2}=ax+b}

voor gegeven coëfficiënten a, b zodanig dat x voldoet aan de vergelijking. Nog algemener: elke rationale functie (met rationale coëfficiënten) van de wortel van een onherleidbaar polynoom van n-de graad over de rationale getallen kan worden herleid tot een polynoom van graad n – 1. In veldentheoretische termen: als α een wortel is van een irreducibele veelterm van n-de graad, dan is Q ( α ) {\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha )}

heeft graad n over Q {\displaystyle \mathbb {Q}} }

, met basis { 1 , α , … , α n – 1 } . {{1,\alpha,\dots,\alpha ^{n-1}}.}

Symmetrieën

De gulden snede en de inverse gulden snede φ ± = ( 1 ± 5 ) / 2 {{\displaystyle \varphi _{\pm }=(1\pm {\sqrt {5}})/2}

hebben een set symmetrieën die ze behouden en met elkaar in verband brengen. Ze worden beide behouden door de fractionele lineaire transformaties x , 1 / ( 1 – x ) , ( x – 1 ) / x , {{displaystyle x,1/(1-x),(x-1)/x,}

– dit feit komt overeen met de identiteit en de definitie kwadratische vergelijking.Verder worden ze onderling verwisseld door de drie kaarten 1 / x , 1 – x , x / ( x – 1 ) {\displaystyle 1/x,1-x,x/(x-1)}

– ze zijn wederkerig, symmetrisch om 1 / 2 {\displaystyle 1/2}

, en (projectief) symmetrisch om 2.

Diepzinniger, deze kaarten vormen een ondergroep van de modulaire groep PSL ( 2 , Z ) {{PPSL} (2,\mathbf {Z} )}

isomorf voor de symmetrische groep op 3 letters, S 3 , {\displaystyle S_{3},}

overeenkomend met de stabilisator van de verzameling { 0 , 1 , ∞ } {{0,1,}}

van 3 standaardpunten op de projectieve lijn, en de symmetrieën komen overeen met de quotiëntkaart S 3 → S 2 {{displaystyle S_{3}}tot S_{2}}

– de ondergroep C 3 < S 3 {{3}<S_{3}}

bestaande uit de 3-cycli en de identiteit ( ) ( 01 ∞ ) ( 0 ∞ 1 ) {\displaystyle ()(01 ∞ )(0 ∞ 1)}

legt de twee getallen vast, terwijl de 2-cycli deze verwisselen, waardoor de kaart wordt gerealiseerd.

Andere eigenschappen

De gulden snede heeft de eenvoudigste uitdrukking (en langzaamste convergentie) als voortdurende breukexpansie van alle irrationale getallen (zie Alternatieve vormen hierboven). Het is daarom een van de slechtste gevallen van Lagrange’s benaderingstheorema en het is een extreem geval van de Hurwitzongelijkheid voor Diophantine benaderingen. Dit kan de reden zijn waarom hoeken die dicht bij de gulden snede liggen vaak voorkomen in de fyllotaxis (de groei van planten).

De definiërende kwadratische veelterm en de geconjugeerde verhouding leiden tot decimale waarden die hun breukdeel gemeen hebben met φ:

φ 2 = φ + 1 = 2.618 … {\displaystyle \varphi ^{2}=\varphi +1=2.618\dots }

1 φ = φ – 1 = 0.618 … . {displaystyle {1 φ=\varphi }=\varphi -1=0.618 punten .}

De reeks machten van φ bevat deze waarden 0.618…, 1.0, 1.618…, 2.618…; meer in het algemeen is elke macht van φ gelijk aan de som van de twee onmiddellijk voorafgaande machten:

φ n = φ n – 1 + φ n – 2 = φ ⋅ F n + F n – 1 . {\displaystyle \varphi ^{n}=\varphi ^{n-1}+\varphi ^{n-2}=\varphi \cdot \operatornaam {F} _{n}+\operatornaam {F} _{n-1}.}

Daaruit volgt dat men gemakkelijk elke macht van φ kan ontbinden in een veelvoud van φ en een constante. Het veelvoud en de constante zijn altijd aangrenzende Fibonacci getallen. Dit leidt tot een andere eigenschap van de positieve machten van φ:

Als ⌊ n / 2 – 1 ⌋ = m {\lfloor n/2-1\rfloor =m}

, dan geldt: φ n = φ n – 1 + φ n – 3 + ⋯ + φ n – 1 – 2 m + φ n – 2 – 2 m {{Displaystyle \!\ φvarphi ^{n}=φvarphi ^{n-1}+φvarphi ^{n-3} + φvarphi ^{n-1-2m}+φvarphi ^{n-2-2m}}

φ n – φ n – 1 = φ n – 2 . φ ^{n}-φ ^{n-1}=φ ^{n-2}.}

Wanneer de gulden snede als basis van een getallenstelsel wordt gebruikt (zie Gulden snede basis, soms ook wel binair of φ-narisch genoemd), heeft elk geheel getal een eindvoorstelling, ondanks het feit dat φ irrationaal is, maar elke breuk een niet-eindvoorstelling.

De gulden snede is een fundamentele eenheid van het algebraïsche getallenveld Q ( 5 ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {5}})}

en is een Pisot-Vijayaraghavan-getal. In het veld Q ( 5 ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {5}})}

hebben we φ n = L n + F n 5 2 {\displaystyle ^{n}={L_{n}+F_{n}{\sqrt {5}}} \over 2}}

, waarbij L n {L_{n}}

de n {\displaystyle n}

-ste Lucas-getal.

De gulden snede komt ook voor in de hyperbolische meetkunde, als de maximale afstand van een punt op een zijde van een ideale driehoek tot de dichtstbijzijnde van de twee andere zijden: deze afstand, de zijde van de gelijkzijdige driehoek gevormd door de raakpunten van een cirkel ingeschreven in de ideale driehoek, is 4 log ( φ ) {Displaystyle 4 log(\varphi )}.

.

De gulden snede komt ook voor in de theorie van modulaire functies. Stel

R ( q ) = q 1 / 5 1 + q 1 + q 2 1 + q 3 1 + ⋱ . {Displaystyle R(q)={\cfrac {q^{1/5}}{1+{\cfrac {q}{1+{\cfrac {q^{2}}{1+{\cfrac {q^{3}}{1+{\cfrac {q^{3}}}{1+{\dots }}}}}}}}.}

Dan

R ( e – 2 π ) = φ 5 – φ , R ( e – 2 π 5 ) = 5 1 + ( 5 3 4 ( φ – 1 ) 5 2 – 1 ) 1 5 – φ . R(e^{-2variphi })={5}}}}-vlariphi ,\R(e^{-2\pi {\sqrt {5}})={\frac {\sqrt {5}}{1+left(5^{\frac {3}{4}}(\varphi -1)^{\frac {5}{2}}-1}rechts)^{\frac {1}{5}}}}-\varphi .}

Ook als a , b ∈ R + {{{}} a,b} in \mathbb {R} ^{+}}

en a b = π 2 {\displaystyle ab={pi ^{2}}

, dan is ( R ( e – 2 a ) + φ ) ( R ( e – 2 b ) + φ ) = φ 5 . {\displaystyle (R(e^{-2a})+\varphi )(R(e^{-2b})+\varphi )=\varphi {\sqrt {5}}.}

Decimale uitbreiding

De decimale uitbreiding van de gulden snede kan direct worden berekend uit de uitdrukking

φ = 1 + 5 2 {\displaystyle \varphi ={1+{\sqrt {5}} \over 2}}

met √5 ≈ 2,2360679774997896964 OEIS: A002163. De vierkantswortel van 5 kan worden berekend met de Babylonische methode, beginnend met een beginschatting zoals xφ = 2 en itererend

x n + 1 = ( x n + 5 / x n ) 2 {\displaystyle x_{n+1}={\frac {(x_{n}+5/x_{n})}{2}}

voor n = 1, 2, 3, …, totdat het verschil tussen xn en xn-1 nul wordt, tot het gewenste aantal cijfers.

Het Babylonische algoritme voor √5 is equivalent aan de methode van Newton voor het oplossen van de vergelijking x2 – 5 = 0. In zijn meer algemene vorm kan de methode van Newton rechtstreeks worden toegepast op elke algebraïsche vergelijking, met inbegrip van de vergelijking x2 – x – 1 = 0 die de gulden snede definieert. Dit geeft een iteratie die convergeert naar de gulden snede zelf,

x n + 1 = x n 2 + 1 2 x n – 1 , {\displaystyle x_{n+1}={\frac {x_{n}^{2}+1}{2x_{n}-1}},}

voor een geschikte beginschatting xφ, zoals xφ = 1. Een iets snellere methode is de vergelijking te herschrijven als x – 1 – 1/x = 0, in welk geval de Newton iteratie wordt

x n + 1 = x n 2 + 2 x n 2 + 1 . {\displaystyle x_{n+1}={\frac {x_{n}^{2}+2x_{n}}{x_{n}^{2}+1}}.}

Deze iteraties convergeren allemaal kwadratisch, dat wil zeggen dat bij elke stap het aantal correcte cijfers ruwweg verdubbelt. De gulden snede is dus relatief eenvoudig te berekenen met een willekeurige precisie. De tijd die nodig is om n cijfers van de gulden snede te berekenen is evenredig met de tijd die nodig is om twee getallen van n cijfers te delen. Dit is aanzienlijk sneller dan bekende algoritmen voor de transcendentale getallen π en e.

Een gemakkelijk te programmeren alternatief dat alleen gebruik maakt van integer aritmetic is om twee grote opeenvolgende Fibonacci getallen te berekenen en deze te delen. De verhouding van de Fibonacci getallen F 25001 en F 25000, elk meer dan 5000 cijfers, levert meer dan 10.000 significante cijfers van de gulden snede op.

De decimale uitbreiding van de gulden snede φ is berekend met een nauwkeurigheid van twee triljoen (2×1012 = 2.000.000.000.000) cijfers.