SEMIGROUPS AND DISSIPATIVE OPERATORS
18 Zij A een operator waarvoor de differentiaalvergelijking u′(t) = A(u(t)) een soort “oplossingen” heeft. Meer precies, stel dat M een deelverzameling is van een Banachruimte, en dat er voor elke x0 ∈ M een unieke oplossing u : =exp(-xλ)=-1λg(x)exp(-xλ) is.
Integreer beide zijden – uitgaande van x = 0, zeg – om
voor een of andere constante C. Om de waarde van C te vinden, nemen we limieten aan beide zijden van deze vergelijking als x → ∞. We hebben f(x) → 0 omdat f verdwijnt bij ∞, en dus C=1λ∫0∞g(t)exp(-t/λ)dt. Deze integraal convergeert, omdat g op oneindig verdwijnt en exp(-t/λ) exponentieel snel verdwijnt. Daarom kan de laatst weergegeven vergelijking herschreven worden
(I – λA)-1 is een niet-expansieve lineaire operator overal gedefinieerd op C0(ℝ).
Dit is typisch voor het soort operator waarop de stelling van Crandall-Liggett van toepassing is – maar we benadrukken dat die stelling ook voor veel ingewikkeldere operatoren geldt.
Opgave Pas de berekeningen hierboven aan en laat zien dat (I + λA)-1 ook een niet-expansieve lineaire operator is, overal gedefinieerd op C0(ℝ), voor elke λ > 0.
20 Zij X een Banachruimte, en zij J : X → P(X*) de dualiteitsafleiding ervan (gedefinieerd als in 28.44). Zij A een of andere afbeelding van een deelverzameling van X naar X. Dan zijn de volgende twee voorwaarden equivalent; als aan een van beide (dus beide) is voldaan, zeggen we dat A dissipatief is (of -A accretief):
Bewijs (volgens Cioranescu ). Zij y1 = A(x1) en y2 = A(x2). Zij x^=x1-x2 en y^=y1-y2; dan moeten we aantonen dat
als en slechts als
Voor (B′) ⇒ (A′) berekenen we eenvoudig
waaruit we zowel
Omdat η0 in de eenheidsbol ligt, kunnen we concluderen dat ‖x^‖≤η0(x^) en ||η0|| = 1. Dan is φ=‖x^‖η0 een lid van J(x^), dat voldoet aan φ(y^)≤0.
21 Zij X een Banachruimte, en zij J : X → P(X*) de dualiteitsafleiding ervan. Zij A een afbeelding van een deelverzameling van X naar X, en zij ω een niet-negatief getal. Dan zijn de volgende drie voorwaarden equivalent (oefening); als ze vervuld zijn, zeggen we dat A Ω-dissipatief is:
22 Als A een Lipschitziaanse afbeelding is, met 〈A〉Lip ≤ ω, dan zijn A en -A beide ω-dissipatief. Om die reden worden dissipativiteitsvoorwaarden soms eenzijdige Lipschitz-voorwaarden genoemd.
Hoewel die terminologie misleidend kan zijn. Definieer bijvoorbeeld A zoals in 30.19. Dan zijn A en -A beide dissipatief, maar A is niet Lipschitziaans; in feite is A zelfs niet continu.
Als X eendimensionaal is – dus als X alleen de reële lijn is – dan is A dissipatief als en slechts als (x1 – x2)(A(y1) – A(y2)) ≤ 0; aan die ongelijkheid wordt voldaan als en slechts als A een afnemende functie is.
24 Zij C een deelverzameling van een Banachruimte X, en zij S een semigroep van zelfmappings van C. Neem aan dat 〈S(t)〉Lip ≤ eωt voor een constante ω ≥ 0 en alle t ≥ 0. Definieer een afbeelding van een deelverzameling van C naar X door
waarbij het domein van de operator A de verzameling is van alle x ∈ C waarvoor de limiet bestaat. Dan is A ω-dissipatief.
Bewijs Stel x1, x2 ∈ Dom(A) en λ ∈ (0, 1/ω); laat h > 0. Dan
Neem limieten als h ↓ 0, om te bewijzen
Proof Stel x = R(α)u en y = R(β)υ; dus u = x – αA(x) en υ = y – βA(y). Kies wat φ ∈ J(x – y) zo dat φ ≤ ω|x – y||2. Dan
Deel door ||x – y|| om de gewenste ongelijkheid te verkrijgen.
26 Laten α en β positieve getallen zijn. Zij cj,k reële niet-negatieve getallen die voldoen aan
voor alle niet-negatieve gehele getallen j, k. Dan is cj,k≤(jα-kβ)2+jα2+kβ2 voor alle gehele n-negatieve getallen j, k.
Meer algemeen, laten α, β > 0 en ω ≥ 0 met max{ωα, ωβ} < 1. Zij cj,k reële niet-negatieve getallen die voldoen aan
voor alle niet-negatieve gehele getallen j, k. Dan
voor alle niet-negatieve gehele getallen j, k.
Opmerkingen Deze ongelijkheid zal in 30.27 gebruikt worden. Zij toont aan dat cj,k klein kan zijn zelfs met j, k groot, mits α, β, en jα – kβ klein zijn. In een eerste lezing kan de lezer zich misschien beter concentreren op het speciale geval van ω = 0, vermeld in de eerste alinea van het lemma, omdat dat geval iets eenvoudiger is qua notatie en toch de meeste hoofdideeën bevat.
Oplossing van het bewijs Eerst een paar voorbereidende berekeningen. Laat zien dat
Ook verkrijgen we uit ω(α + β)2 – 2(α + β) ≤ 0 ≤ αβω
Ook volgt uit de Cauchy-Bunyakovski-Schwarz ongelijkheid (2.10),
voor willekeurige niet-negatieve getallen p en q.
Nu is de Rasmussen-Kobayashi ongelijkheid (RK) duidelijk uit (1) als j = 0 of k = 0. De ongelijkheid zal worden bewezen voor grotere j en k door dubbele inductie. In de berekeningen hieronder is stap (Ind) door de inductiehypothese. Bereken
Dit voltooit de inductiestap, en daarmee het bewijs van (RK).
27 De stelling van Crandall-Liggett wordt algemeen beschouwd als een stelling over differentiaalvergelijkingen in Banachruimten. De Stelling van Crandall-Liggett heeft geen toepassingen behalve in die setting. Een groot deel van het bewijs kan echter voorgesteld worden in de eenvoudiger setting van een volledige metrische ruimte. Wij zullen voor die benadering kiezen omdat het conceptueel eenvoudiger te begrijpen is zonder de afleiding van lineaire structuur, en omdat het een interessante toepassing is van metrische compleetheid. Het is een van de weinige gevallen die deze auteur kent waarin we Lipschitz-appingen gebruiken zonder gebruik te maken van de Contractievaste-puntentheorie.
In onderstaande stelling staan we T = +∞ toe als ω = 0. De berekeningen zijn in dat geval iets eenvoudiger, zodat beginners zich misschien op dat geval willen concentreren.
en
en neem aan dat de verzameling D = {x ∈ M : Γ(x) < ∞} dicht is in M.
De kaart (t, x) ↦ S(t)x is gezamenlijk continu van . Het boek van Haraux behandelt een deel van de Banachruimtetheorie, maar besteedt ook bijzondere aandacht aan het geval van de Hilbertruimte.
De stelling van Crandall-Liggett, zoals wij die hebben voorgesteld, breidt zich gemakkelijk uit tot de differentiaalinclusie u′(t) ∈ A(u(t)). Als we de bereikvoorwaarde versterken, en eisen dat Ran(I – λA) = X voor alle voldoende kleine λ > 0, dan is het mogelijk om het bestaan van oplossingen voor het beginwaardeprobleem te bewijzen
Er is ook veel geschreven over differentiaalinclusies van de vorm u′(t) ∈ A(t, u(t)), waarbij A(t, ⋅) een Ω-dissipatieve operator is voor elke vaste t. Een referentie voor dit onderwerp is Pavel ; dat boek introduceert ook vele toepassingen van partiële differentiaalvergelijkingen. De theorie van dit onderwerp is niet zo elegant, maar daar is een goede reden voor. Voor een maximale toepasbaarheid op partiële differentiaalvergelijkingen zijn onderzoekers geïnteresseerd in problemen waarbij de verschillende operatoren A(t, ⋅), voor verschillende vaste waarden van t, verschillende domeinen hebben, en waarbij Dom(A(t, ⋅)) grillig varieert met t. Dit maakt het probleem aanzienlijk gecompliceerder.
30 In de voorgaande bladzijden hebben we een aantal wezenlijk verschillende theorieën van beginwaardeproblemen ontwikkeld, gebruikmakend van hypothesen van Lipschitz-voorwaarden, compactheid, isotoniciteit, en dissipativiteit. Historisch gezien zijn deze theorieën afzonderlijk ontwikkeld, voor verschillende soorten toepassingen. Het is verleidelijk om te proberen van deze theorieën speciale gevallen te maken van één enkele, meer algemene theorie. Het is zeker mogelijk om tenminste enkele zwakke resultaten te bewijzen in een meer algemene setting – zie bijvoorbeeld 30.6.
Hoewel, in werkelijkheid zijn we zeer ver verwijderd van een volledige of verenigde theorie. De verschillende belangrijke deeltheorieën – Lipschitzness, compactheid, isotoniciteit, enz. – zijn zeer verschillend van aard; er liggen grote conceptuele kloven tussen. De literatuur bevat slechts een handvol voorbeelden van niet-bestaan van oplossingen, waarvan de meeste lijken op het voorbeeld 30.4 van Dieudonné; de voorbeelden van niet-bestaan zijn niet divers genoeg om de leemten tussen onze theorieën over het bestaan te verklaren. We zijn dus nog ver verwijderd van een duidelijk begrip van wat “echt” zorgt voor beginwaardeproblemen.
Meer bescheiden dan het zoeken naar een grote verenigde theorie is het programma om problemen op te lossen van de vorm u′(t) = A(u(t)) + B(u(t)), waarbij A en B operatoren van twee verschillende types zijn – b.v. A voldoet aan een dissipativiteitsvoorwaarde en B aan een compactheidsvoorwaarde. Een dergelijke theorie zou de dissipativiteitstheorie en de compactheidstheorie als speciale gevallen omvatten, omdat we A = 0 of B = 0 zouden kunnen nemen (aangezien de operator 0 zowel dissipatief als compact is). Dit programma heeft enig succes gehad, althans wanneer de operatoren continu zijn – zo is bijvoorbeeld bekend dat de som van een continue dissipatieve operator, een continue compacte operator, en een continue isotone operator een evolutie genereert; zie Volkmann . Maar zonder continuïteit is het probleem nog open. Voor het compacte plus dissipatieve probleem zijn enige discussies en deelresultaten te vinden in Schechter en Vrabie .