Aanvullende lectuur op www.astronomynotes.com
- Kepler’s wetten van de planeetbeweging
Eerste Wet
Kepler was een verfijnd wiskundige, en de vooruitgang die hij boekte in de studie van de beweging van de planeten was dan ook het introduceren van een wiskundige basis voor het heliocentrische model van het zonnestelsel. Waar Ptolemaeus en Copernicus uitgingen van aannames, zoals dat de cirkel een “perfecte” vorm is en alle banen cirkelvormig moeten zijn, toonde Kepler aan dat wiskundig gezien een cirkelvormige baan niet overeen kon komen met de gegevens voor Mars, maar dat een elliptische baan wel overeenkwam met de gegevens! We noemen de volgende uitspraak nu de Eerste Wet van Kepler:
- De planeten draaien in ellipsen om de Zon, met de Zon in het ene brandpunt (het andere brandpunt is leeg).
Voor meer informatie over ellipsen kun je in bloederig wiskundig detail de pagina lezen die wordt gehost op Mathworld, en er is ook informatie over ellipsen in Wikipedia.
Hier volgt een demonstratie van de klassieke methode voor het tekenen van een ellips:
De twee punaises in de afbeelding stellen de twee brandpunten van de ellips voor, en het touwtje zorgt ervoor dat de som van de afstanden van de twee brandpunten (de punaises) tot het potlood een constante is. Hieronder staat nog een afbeelding van een ellips met de hoofdas en de nevenas gedefinieerd:
We weten dat bij een cirkel alle lijnen die door het middelpunt gaan (diameters) precies even lang zijn. Maar bij een ellips zijn de lijnen die je door het middelpunt trekt verschillend van lengte. De lijn die van het ene uiteinde naar het andere gaat en beide brandpunten omvat, wordt de hoofdas genoemd, en dit is de langste afstand tussen twee punten op de ellips. De lijn die loodrecht staat op de hoofdas in het middelpunt heet de korte as, en is de kortste afstand tussen twee punten op de ellips.
In de afbeelding hierboven zijn de groene stippen de brandpunten (gelijk aan de spijkers in de foto hierboven). Hoe groter de afstand tussen de brandpunten, hoe groter de excentriciteit van de ellips. In het uiterste geval dat de brandpunten op elkaar liggen (een excentriciteit van 0), is de figuur eigenlijk een cirkel. Je kunt een cirkel dus zien als een ellips met excentriciteit 0. Studies hebben aangetoond dat astronomieboeken een misvatting introduceren door de banen van de planeten als zeer excentrisch weer te geven in een poging om duidelijk te maken dat het ellipsen zijn en geen cirkels. In werkelijkheid zijn de banen van de meeste planeten in ons zonnestelsel heel dicht bij cirkelvormig, met excentriciteiten van bijna 0 (de excentriciteit van de baan van de aarde is bijvoorbeeld 0,0167). Voor een animatie van banen met verschillende excentriciteiten, zie het excentriciteitsdiagram bij “Windows to the Universe”. Merk op dat de baan met een excentriciteit van 0,2, die bijna cirkelvormig lijkt, vergelijkbaar is met die van Mercurius, die de grootste excentriciteit heeft van alle planeten in het Zonnestelsel. Het elliptische banen diagram bij “Windows to the Universe” bevat een plaatje met een directe vergelijking van de excentriciteiten van verschillende planeten, een asteroïde, en een komeet. Merk op dat als je de Sterrennacht instructies op de vorige bladzijde volgt om de banen van de Aarde en Mars van bovenaf te bekijken, je ook de vormen van deze banen kunt zien en hoe cirkelvormig ze lijken.
De eerste wet van Kepler heeft verschillende implicaties. Deze zijn:
- De afstand tussen een planeet en de Zon verandert als de planeet langs zijn baan beweegt.
- De Zon staat uit het midden van de baan van de planeet.
Tweede Wet
In hun modellen van het Zonnestelsel hielden de Grieken vast aan het Aristotelische geloof dat hemellichamen met een constante snelheid in cirkels bewogen omdat dat hun “natuurlijke beweging” was. De tweede wet van Kepler (soms ook wel de Wet van Gelijke Oppervlakten genoemd) kan echter worden gebruikt om aan te tonen dat de snelheid van een planeet verandert als deze langs zijn baan beweegt!
De tweede wet van Kepler luidt:
- De lijn die de zon en een planeet verbindt, doorkruist gelijke oppervlakten in een gelijke hoeveelheid tijd.
Het plaatje hieronder verwijst naar een animatie die laat zien dat wanneer een planeet dicht bij aphelium is (het punt dat het verst van de zon is verwijderd, aangegeven met een B op het plaatje hieronder), de lijn die tussen de zon en de planeet wordt getrokken een lange, dunne sector tussen de punten A en B aflegt. Als de planeet dicht bij het perihelium is (het punt het dichtst bij de Zon, aangegeven met een C op de schermafdruk hieronder), dan trekt de lijn tussen de Zon en de planeet een kortere, dikkere sector tussen de punten C en D. Deze lijnstukken die afwisselend grijs en blauw zijn, zijn zo getekend dat het gebied binnen elke sector hetzelfde is. Dat wil zeggen, de sector tussen C en D aan de rechterkant bevat evenveel oppervlakte als de sector tussen A en B aan de linkerkant.
De 2e Wet van Kepler
Omdat de oppervlakten van deze twee sectoren identiek zijn, zegt de 2e Wet van Kepler dat de tijd die de planeet nodig heeft om tussen A en B en ook tussen C en D te reizen, gelijk moet zijn. Als je kijkt naar de afstand langs de ellips tussen A en B, dan is die korter dan de afstand tussen C en D. Aangezien snelheid afstand gedeeld door tijd is, en aangezien de afstand tussen A en B korter is dan de afstand tussen C en D, vind je als je die afstanden deelt door dezelfde hoeveelheid tijd dat:
- Een planeet beweegt sneller nabij perihelium en langzamer nabij aphelium.
De banen van de meeste planeten zijn bijna cirkelvormig, met excentriciteiten in de buurt van 0. In dit geval zijn de snelheidsveranderingen niet al te groot in de loop van hun baan.
Voor degenen onder jullie die natuurkunde onderwijzen, zou je kunnen opmerken dat de tweede wet van Kepler eigenlijk gewoon een andere manier is om te zeggen dat het impulsmoment van de planeet behouden blijft. Dat wil zeggen, als de planeet in de buurt van het perihelium is, is de afstand tussen de Zon en de planeet kleiner, dus moet hij zijn tangentiële snelheid verhogen om het impulsmoment te behouden, en evenzo, als hij in de buurt van het aphelium is, wanneer hun afstand groter is, moet zijn tangentiële snelheid verlagen zodat het totale impulsmoment van de baan hetzelfde is als het was bij het perihelium.
Derde Wet
Kepler had alle gegevens van Tycho over de planeten, zodat hij kon bepalen hoe lang elke planeet erover deed om één baan rond de Zon af te leggen. Dit wordt meestal de periode van een baan genoemd. Kepler merkte op dat hoe dichter een planeet bij de zon stond, hoe sneller hij rond de zon draaide. Hij was de eerste wetenschapper die de planeten bestudeerde vanuit het perspectief dat de zon hun banen beïnvloedde. In tegenstelling tot Ptolemaeus en Copernicus, die ervan uitgingen dat de “natuurlijke beweging” van de planeten bestond uit het bewegen met constante snelheid langs cirkelvormige paden, geloofde Kepler dat de zon een soort kracht op de planeten uitoefende om ze langs hun banen te duwen, en dat hoe dichter ze bij de zon staan, hoe sneller ze daarom zouden moeten bewegen.
Kepler bestudeerde de perioden van de planeten en hun afstand tot de Zon, en bewees het volgende wiskundige verband, dat de Derde Wet van Kepler is:
- Het kwadraat van de periode van de baan van een planeet (P) is recht evenredig met de kubus van de halve lange as (a) van zijn elliptische pad.
- P 2 ∝ a 3 Deze vergelijking wordt niet goed weergegeven vanwege een browser die niet compatibel is. Zie Technische vereisten in de oriëntatie voor een lijst met compatibele browsers.
Wat dit wiskundig betekent, is dat als het kwadraat van de periode van een object verdubbelt, de kubus van zijn halve lange as ook moet verdubbelen. Het evenredigheidsteken in de bovenstaande vergelijking betekent dat:
- P 2 = k a 3 Deze vergelijking wordt niet goed weergegeven vanwege een browser die niet compatibel is. Zie Technische vereisten in de oriëntatie voor een lijst van compatibele browsers.
waarbij k een constant getal is. Als we beide zijden van de vergelijking delen door a 3 Deze vergelijking wordt niet goed weergegeven vanwege een browser die niet compatibel is. Zie Technische vereisten in de Oriëntatie voor een lijst van compatibele browsers. zien we dat:
- P 2 / a 3 = k Deze vergelijking wordt niet goed weergegeven vanwege een browser die niet compatibel is. Zie Technische vereisten in de oriëntatie voor een lijst met compatibele browsers.
Dit betekent dat voor elke planeet in ons zonnestelsel de verhouding tussen hun periode in het kwadraat en hun halve lange as in het kwadraat dezelfde constante waarde is, dus dit betekent dat:
- ( P 2 / a 3 ) Aarde = ( P 2 / a 3 ) Mars = ( P 2 / a 3 ) Jupiter Deze vergelijking wordt niet goed weergegeven vanwege een browser die niet compatibel is. Zie Technische vereisten in de Oriëntatie voor een lijst van compatibele browsers.
We weten dat de periode van de aarde 1 jaar is. In de tijd van Kepler kende men de afstanden tot de planeten nog niet, maar we kunnen de halve lange as van de aarde gewoon toewijzen aan een eenheid die we de Astronomische Eenheid (AE) noemen. Dat wil zeggen, zonder te weten hoe groot een AE is, stellen we gewoon a Aarde = 1 AE Deze vergelijking wordt niet goed weergegeven vanwege een browser die niet compatibel is. Zie Technische vereisten in de Oriëntatie voor een lijst van compatibele browsers. . Als u 1 jaar en 1 AE in de bovenstaande vergelijking invoegt, ziet u dat:
- ( P 2 / a 3 ) Aarde = ( P 2 / a 3 ) Mars = ( P 2 / a 3 ) Jupiter Deze vergelijking wordt niet goed weergegeven vanwege een incompatibele browser. Zie Technische vereisten in de Oriëntatie voor een lijst van compatibele browsers.
Dus voor elke planeet geldt dat P 2 / a 3 = 1 Deze vergelijking wordt niet goed weergegeven vanwege een browser die niet compatibel is. Zie Technische vereisten in de Oriëntatie voor een lijst van compatibele browsers. als P wordt uitgedrukt in jaren en a wordt uitgedrukt in AE. Dus als je wilt uitrekenen hoe ver Saturnus van de Zon staat in AE, hoef je alleen maar de periode te weten. Voor Saturnus is dat ongeveer 29 jaar. Dus:
- ( P 2 / a 3 ) Saturnus = ( 29 jaar ) 2 / ( a AU ) 3 = 1 Deze vergelijking wordt niet goed weergegeven vanwege een browser die niet compatibel is. Zie Technische vereisten in de Oriëntatie voor een lijst van compatibele browsers.
- ( a AU ) 3 = 841 Deze vergelijking wordt niet goed weergegeven vanwege een browser die niet compatibel is. Zie Technische vereisten in de oriëntatie voor een lijst van compatibele browsers.
- (a AU) = 3 √ 841 = 9,4 AU Deze vergelijking wordt niet goed weergegeven vanwege een browser die niet compatibel is. Zie Technische vereisten in de Oriëntatie voor een lijst van compatibele browsers.
Dus Saturnus staat 9,4 keer verder van de Zon dan de Aarde van de Zon staat!