De rang is hoeveel van de rijen “uniek” zijn: niet gemaakt van andere rijen. (Hetzelfde geldt voor kolommen.)
Voorbeeld:ThisMatrix
De tweede rij is gewoon 3 keer de eerste rij. Gewoon een nutteloze copycat. Telt niet mee.
Dus ook al zijn er 2 rijen, de rangorde is slechts 1.
Hoe zit het met de kolommen? De tweede kolom is gewoon twee keer de eerste kolom. En de derde kolom is drie keer de eerste (of 1,5 keer de tweede) dus telt ook niet mee.
Dus de kolommen laten ons ook zien dat de rang slechts 1 is.
Voorbeeld:ThisMatrix
De tweede rij is niet gemaakt van de eerste rij, dus de rang is ten minste 2.
Maar hoe zit het met de derde rij? Dat is de eerste en de tweede bij elkaar opgeteld, dus telt niet mee.
Dus hoewel er 3 rijen zijn, is de rangorde slechts 2.
Hoe zit het met de kolommen? De tweede kolom is prima, maar kolom 3 is de kolommen 1 en 2 bij elkaar opgeteld.
Dus ook de kolommen laten ons zien dat de rangorde slechts 2 is.
Voorbeeld:ThisMatrix
De tweede rij is niet gemaakt van de eerste rij, dus de rang is ten minste 2.
De derde rij ziet er goed uit, maar na veel onderzoek blijkt dat het de eerste rij is minus tweemaal de tweede rij. Stiekemerd! Dus de rang is slechts 2.
En voor de kolommen: In dit geval is kolom 3 de kolommen 1 en 2 bij elkaar opgeteld. Dus de kolommen laten ons ook zien dat de rang 2 is.
Voorbeeld:De IdentityMatrix
Alle rijen zijn sterke onafhankelijke individuen, die niet afhankelijk zijn van anderen voor hun bestaan! Dus de rang is 3.
En precies hetzelfde voor de kolommen, dus die vertellen ons ook dat de rang 3 is.
In feite zijn de rijen en kolommen het altijd eens over de rang (verbazingwekkend maar waar!).
Wanneer we het hier over rijen hebben, kunnen we hetzelfde zeggen over kolommen.
Dus we hoeven niet echt beide uit te werken.
Waarom de rang vinden?
De rang vertelt ons veel over de matrix.
Het is nuttig om ons te laten weten of we een kans hebben om een stelsel lineaire vergelijkingen op te lossen: als de rang gelijk is aan het aantal variabelen kunnen we misschien een unieke oplossing vinden.
Voorbeeld: Appels en bananen
Als we weten dat
- 2 appels en 3 bananen kosten $7
- 3 appels en 3 bananen kosten $9
Dan kunnen we uitrekenen dat de extra appel $2 moet kosten, en dat de bananen dus $1 per stuk kosten.
(Er zijn 2 variabelen en de rang is ook 2.)
Maar als we alleen weten dat
- 2 appels en 3 bananen kosten $7
- 4 appels en 6 bananen kosten $14
We kunnen niet verder, want de tweede rij gegevens is gewoon het dubbele van de eerste en geeft ons geen nieuwe informatie.(Er zijn 2 variabelen en de rang is slechts 1.)
Het heeft ook toepassingen in communicatie, stabiliteit van systemen en meer.
Lineaire afhankelijkheid
In plaats van “niet gemaakt van” zeggen we dat ze lineair onafhankelijk zijn, wat een belangrijk idee is.
Lineair betekent dat we met een constante kunnen vermenigvuldigen, maar niet met machten of andere functies. De constante kan elk reëel getal zijn (0, 1, elk heel getal, breuk, negatief, enz.).
Afhankelijk betekent dat ze van elkaar afhankelijk zijn, met andere woorden we kunnen sommige optellen (na vermenigvuldiging met een constante) om een andere te maken.
Stel je voor dat het vectoren zijn (hebben richting en lengte). Kunnen we de andere vectoren combineren (uitgerekt of gekrompen naar behoefte) om hetzelfde resultaat te krijgen?
c = a + 2b,
dus c is lineair afhankelijk van a en b
Merk ook op dat:
- a en b zijn samen lineair onafhankelijk: we kunnen a niet alleen gebruiken om te komen waar b is, of andersom.
- Hetzelfde geldt voor b en c, of a en c.
- Maar a, b en c zijn samen lineair afhankelijk.
Denk alleen maar aan a en b: met die twee vectoren kunnen we eigenlijk overal in het vlak komen:
Vectoren a en b omspannen het hele vlak.
Zo zijn a en b een basis van het 2D-vlak.
Noot: ruimte is een algemene term die 1, 2, 3 of hogere dimensies omvat, maar we noemen de 2D-ruimte vaak een vlak.
Dus a en b zijn net zo bruikbaar als de x,y assen. En hetzelfde kan gezegd worden van elke 2 lineair onafhankelijke vectoren in het 2D vlak.
Het meest elementaire paar lineair onafhankelijke vectoren zijn (1,0) en (0,1) die samen de 2×2 identiteitsmatrix vormen:
Ze vormen in wezen de bekende x,y assen:
En in 3D:
En in 4D:
OK, dat is een beetje moeilijk te illustreren, maar de getallen werken prima tot zoveel dimensies als je wilt!
Hoe vind ik de rang
Het is meestal het beste om software te gebruiken om de rang te vinden, er zijn algoritmen die met de rijen en kolommen spelen om het te berekenen. Maar in sommige gevallen kunnen we het zelf uitrekenen.
Voor een vierkante matrix kan de determinant helpen: een determinant die niet nul is vertelt ons dat alle rijen (of kolommen) lineair onafhankelijk zijn, dus dat het een “volle rang” is en dat de rang gelijk is aan het aantal rijen.
Voorbeeld: Zijn deze 4d vectoren lineair onafhankelijk?
De determinant is (met behulp van de Matrix Calculator):
1(2(3×4-0×0)-2(0×4-0×1)+0(0×0-3×1))-2(0(3×4-0×0)-2(1×4-0×0)+0(1×0-3×0))+3(0(0×4-0×1)-2(1×4-0×0)+0(1×1-0×0))-4(0(0×0-3×1)-2(1×0-3×0)+2(1×1-0×0)) = 8
De determinant is niet nul dus moeten ze allemaal lineair onafhankelijk zijn.
En dus is het een volle rang, en de rang is 4.
Dus weten we dat het eigenlijk een basis is voor de 4D-ruimte: met deze 4 vectoren kunnen we de hele 4D-ruimte overspannen.
Een mooi voorbeeld waar de wiskunde ons iets kan vertellen wat we ons niet zo gemakkelijk kunnen voorstellen.
Andere eigenschappen
De rang kan niet groter zijn dan de kleinste dimensie van de matrix.
Voorbeeld: voor een matrix van 2×4 kan de rang niet groter zijn dan 2
Als de rang gelijk is aan de kleinste dimensie heet hij “volle rang”, een kleinere rang heet “rangdeficiënt”.
De rang is ten minste 1, behalve voor een nulmatrix (een matrix die uit allemaal nullen bestaat) waarvan de rang 0 is.