PCB Design & Analysis

Deze C5 stemvork zal trillen op zijn gedempte natuurlijke frequentie

Diegenen die bekend zijn met oscillatoren zullen waarschijnlijk denken in termen van een eenvoudige harmonische oscillator, zoals een slinger of een massa op een veer. Deze systemen zijn conceptueel eenvoudig, maar hun wiskundige modellen gaan voorbij aan realistische eigenschappen in deze systemen. Elke oscillator heeft een aantal belangrijke fysische parameters, en de respons van het systeem wanneer het wordt aangestuurd zal niet overeenkomen met de respons wanneer het vrij mag oscilleren.

In de elektronica zullen verschillende schakelingen functioneren als oscillatoren, waarbij de spanning en de stroom een periodieke respons in de tijd vertonen. Net als mechanische oscillatoren kunnen oscillatorschakelingen onder de juiste omstandigheden resonantie vertonen. Het wordt wiskundig verwarrend voor sommige ontwerpers, omdat de werkelijke respons van een oscillator wordt gedefinieerd in termen van drie verschillende frequenties. Laten we het verschil tussen de resonantiefrequentie en de natuurlijke frequentie in zuiver lineaire oscillatorcircuits eens ophelderen.

Gedempte oscillatiefrequentie vs. natuurlijke frequentie in niet-aangedreven oscillatoren

Hoewel we een natuurlijke frequentie in mechanische en elektrische harmonische oscillatoren kunnen kwantificeren, oscilleert het systeem nooit echt op de natuurlijke frequentie. Dit komt omdat we in een ideaal model voor een oscillator het effect van demping willen negeren, zodat we enkele basisaspecten van het systeem kunnen begrijpen. In een mechanische oscillator betekent dit dat we wrijving of elk ander mechanisme dat kinetische energie dissipeert kort negeren. In een schakeling betekent dit dat we elementen weglaten die vermogen als warmte afgeven, d.w.z. dat de schakeling alleen capacitieve en inductieve elementen bevat.

Wanneer een onaangedreven, ongedempte oscillator uit zijn evenwicht wordt gebracht, zal het systeem op zijn natuurlijke frequentie oscilleren. Echte oscillatorschakelingen bevatten echter altijd enige demping; in een LC-schakeling hebben de geleiders een kleine weerstand, die voor demping in de schakeling zorgt. Dit geldt ook voor mechanische oscillatoren; er is altijd een bron van demping die kinetische energie omzet in warmte, wat de reden is waarom een slinger uiteindelijk tot stilstand komt.

Het effect van demping leidt tot twee verschijnselen in niet-aangedreven oscillatoren die op natuurlijke wijze mogen oscilleren wanneer ze uit evenwicht worden gebracht:

• De oscillatie neemt in de loop van de tijd af. Demping in een oscillatorschakeling treedt op omdat een deel van de elektrische energie (d.w.z. de kinetische energie van stromende ladingen) als warmte verloren gaat. Hierdoor neemt de amplitude van de trilling in de loop der tijd af.

• De gedempte trilfrequentie is niet gelijk aan de natuurlijke frequentie. Demping zorgt ervoor dat de frequentie van de gedempte trilling iets lager is dan de natuurlijke frequentie. De gedempte oscillatiefrequentie is gedefinieerd in onderstaande vergelijking:

De oscillatiefrequentie van een gedempte, onaangedreven oscillator

Eindelijk, wanneer de dempingsgraad gelijk is aan de natuurlijke frequentie, is er geen transiënte oscillatie, wat betekent dat de spanning en stroom in de kring gewoon terugvallen naar het evenwicht; Dit staat bekend als de kritische demping. Naarmate de dempingsgraad boven de natuurlijke frequentie toeneemt, wordt de tijd die nodig is voor de spanning en stroom om terug te vallen naar evenwicht langer.

Als je een transiënte analyse van een oscillatorschakeling zou uitvoeren en de oscillatiefrequentie zou meten, meet je niet de natuurlijke frequentie. Je meet in feite de gedempte oscillatiefrequentie zoals gedefinieerd in bovenstaande vergelijking. De dempingssnelheid kan vervolgens worden bepaald door de natuurlijke logaritme van het verval (in de grafiek hieronder weergegeven met rode stippen) in de responsgolfvorm in de tijd uit te zetten; de negatieve helling van deze lijn is gelijk aan de dempingssnelheid.

De oscillatiefrequentie van een gedempte, onaangedreven oscillator

In bovenstaande grafiek zijn de opeenvolgende maxima gemarkeerd met rode stippen, en de logaritme van deze elektrische stroomgegevens zijn uitgezet in de rechtergrafiek. Uit de regressielijn blijkt dat de dempingssnelheid in deze schakeling 0,76 per sec bedraagt. De gedempte trillingssnelheid kan worden bepaald tussen twee opeenvolgende maxima in de linkergrafiek en heeft een waarde van 3,929 rad per sec. Als je eenmaal de dempingssnelheid en de gedempte oscillatiefrequentie weet, kun je eenvoudig de eigenfrequentie berekenen met behulp van bovenstaande vergelijking. In deze simulatie is de natuurlijke frequentie 4 rad per sec. Aan de exponentiële vervalcurve kun je ook zien dat de beginstroom 1 A was.

Resonantiefrequentie vs. Eigenfrequentie in aangestuurde oscillatoren

Wanneer een oscillatorschakeling wordt aangestuurd met een periodiek signaal, zullen de stroom en de spanning met dezelfde herhalingsfrequentie oscilleren als het aansturende signaal. De golfvormen zullen echter niet perfect overeenkomen omdat de overdrachtsfunctie van een oscillatorschakeling deze signalen zal vervormen; met andere woorden, de oscillatorschakeling werkt ook als een filter/versterker (meer hierover hieronder). Om te zien hoe verschillende oscillatorschakelingen zich kunnen gedragen, helpt het om een mechanische oscillator te beschouwen die alleen wordt aangedreven met een sinusoïdaal signaal.

Resonantie is een verschijnsel dat optreedt wanneer een oscillator wordt aangedreven met een periodiek signaal met een specifieke frequentie, die bekend staat als de resonantiefrequentie. In een aangestuurde oscillator zonder demping is de resonantiefrequentie gelijk aan de eigenfrequentie. Dit is altijd het geval bij ongedempte oscillatoren, maar niet altijd bij gedempte oscillatoren. Echte aangedreven oscillatoren hebben demping, en de resonantiefrequentie is niet altijd gelijk aan de eigenfrequentie. Voor een typische aangedreven gedempte mechanische oscillator is de resonantiefrequentie gedefinieerd in de volgende vergelijking:

Resonantiefrequentie vs. natuurlijke frequentie van een aangedreven gedempte mechanische oscillator

Merk op dat resonantie alleen kan optreden wanneer de natuurlijke frequentie groter is dan de dempingsfactor, vermenigvuldigd met de vierkantswortel van 2. Is de demping te groot, dan kan resonantie niet optreden.

Hoe zit het met het geval van een kleine demping? In de limiet waarin de dempingsconstante nul is, is de resonantiefrequentie gelijk aan de eigenfrequentie en is er geen dissipatie van energie in de kring. Als gevolg hiervan zal, wanneer een ongedempte oscillator precies op zijn natuurlijke frequentie wordt aangedreven, de amplitude van de resulterende oscillatie (theoretisch) naar oneindig divergeren met een lineaire snelheid. In een echte schakeling zullen bij hoge spanning/stroom uiteindelijk niet-lineaire effecten de overhand nemen, waardoor de respons verzadigd kan raken, of waardoor de schakeling zal doorbranden.

Er is een bepaald bereik van frequenties waartussen de mechanische oscillator geen resonantie zal vertonen wanneer hij wordt aangedreven, maar hij zal nog steeds een afnemende oscillatie vertonen wanneer hij uit evenwicht wordt gebracht. Deze afnemende oscillatie zal nog steeds optreden met de gedempte oscillatiefrequentie gedefinieerd in de eerste vergelijking hierboven. Als we teruggaan naar een mechanische oscillator, hebben we:

Geval waarbij de resonantie is opgeheven, maar er toch een gedempte oscillatie kan zijn

Merk op dat de bovenstaande voorwaarden die we voor een mechanische oscillator hebben besproken, ook gelden voor een RL-kring met een parallelle condensator.

Oscillator Overdrachtsfuncties

De demping in een schakeling zal de overdrachtsfunctie van de schakeling bepalen, die gewoonlijk wordt beschreven in termen van de bandbreedte. Als de oscillator wordt aangedreven met een sinusoïdaal signaal, zal de uitgang ook sinusoïdaal zijn. Wanneer de oscillator echter wordt aangedreven door een niet-sinusoïdaal periodiek signaal (b.v. een zaagtandgolf, een frequentiegemoduleerd signaal, een stroom klokpulsen of een andere zich herhalende analoge golfvorm), dan is het mogelijk dat de resulterende spannings- en stroomgolfvormen in de oscillator niet lijken op het aandrijvende signaal. U kunt de overdrachtsfunctie uit een frequentie sweep extraheren door een sinusvormige bron op uw oscillatorschakeling toe te passen. Voorbeelden die deze overdrachtsfuncties in het frequentiedomein laten zien voor verschillende dempingspercentages voor een mechanische oscillator staan hieronder.

Amplitudecurves voor een mechanische oscillator als functie van de aandrijffrequentie

Merk op dat deze curves genormaliseerd zijn ten opzichte van de natuurlijke frequentie. Ook hier geldt dat bepaalde RLC-circuits vergelijkbare curven zullen hebben, terwijl andere (b.v. de serie-RLC-circuits) curven zullen hebben die altijd een piek bij de natuurlijke frequentie hebben, d.w.z. resonantiefrequentie = natuurlijke frequentie.

De bovenstaande grafieken voor een mechanische oscillator laten zien hoe de piek in elke curve (die overeenkomt met de resonantiefrequentie) zich in de richting van de natuurlijke frequentie beweegt naarmate de dempingsgraad afneemt. Elk van deze krommen kan worden beschouwd als een overdrachtsfunctie. Om te bepalen hoe elk van deze curven een willekeurig analoog stuursignaal in het tijdsdomein beïnvloedt, moet je werken met Fourier transformaties of Laplace transformaties, wat een beetje buiten het bestek van dit artikel valt.

Hoe je ook een oscillator schakeling ontwerpt, je kunt eenvoudig de resonantiefrequentie versus de natuurlijke frequentie van je schakeling onderscheiden met OrCAD PSpice Simulator van Cadence. Dit krachtige pakket bevat analyse tools die gegevens rechtstreeks uit uw circuit schema’s halen en het gedrag van uw meest complexe PCB ontwerpen bepalen.

Als u op zoek bent naar meer informatie over de oplossingen die Cadence voor u heeft, praat dan met ons en ons team van experts.

Over de auteur

Cadence PCB solutions is een complete front to back design tool om snel en efficiënt producten te kunnen maken. Cadence stelt gebruikers in staat nauwkeurig te verkorten ontwerp cycli af te geven aan de productie door middel van moderne, IPC-2581 industrie standard.

Volg op Linkedin Bezoek Website Meer inhoud door Cadence PCB Solutions