Speciale rechthoekige driehoeken | Math Wiki

Een speciale rechthoekige driehoek is een rechthoekige driehoek met een of andere regelmatige eigenschap die berekeningen aan de driehoek eenvoudiger maakt, of waarvoor eenvoudige formules bestaan. Bijvoorbeeld, een rechthoekige driehoek kan hoeken hebben die een eenvoudige verhouding vormen, zoals 45-45-90. Dit noemen we een “hoekige” rechthoekige driehoek. Een rechthoekige driehoek met zijden is een driehoek waarin de lengtes van de zijden een hele getalsverhouding vormen, zoals 3-4-5. Kennis van de verhoudingen van de hoeken of zijden van deze speciale rechthoekige driehoeken stelt je in staat om snel verschillende lengtes te berekenen in meetkundige problemen zonder gebruik te hoeven maken van meer geavanceerde methoden.

Op basis van hoeken

“Op basis van hoeken” worden speciale rechthoekige driehoeken gespecificeerd door de gehele verhouding van de hoeken waaruit de driehoek is samengesteld. De gehele verhouding van de hoeken van deze driehoeken zijn zodanig dat de grootste (rechte) hoek gelijk is aan de som van de kleinere hoeken: ${:m:n:(m+n)}$ . De lengte van de zijden wordt meestal afgeleid uit de basis van de eenheidscirkel of andere meetkundige methoden. Deze vorm is vooral interessant omdat hiermee snel de waarden van goniometrische functies voor de hoeken 30°, 45°, & 60° kunnen worden gereproduceerd.

45-45-90 driehoek

Het construeren van de diagonaal van een vierkant levert een driehoek op waarvan de drie hoeken in de verhouding $1:1:2,$ . Met de drie hoeken opgeteld tot 180° (π) meten de hoeken respectievelijk 45° $({\frac {\pi }{4}}),$ $({\frac {\pi }{4}}),$ en 90° ${\displaystyle ({\frac {\pi }{2}}).$ De zijden zijn in de verhouding

$1:1:{\sqrt {2}}.\,$

Een eenvoudig bewijs. Stel je hebt zo’n driehoek met benen a en b en schuine zijde c. Stel dat a = 1. Omdat twee hoeken 45° meten, is dit een gelijkbenige driehoek en hebben we b = 1. Het feit dat $c={\sqrt {2}$ volgt direct uit de stelling van Pythagoras.

30-60-90 driehoek

Dit is een driehoek waarvan de drie hoeken in de verhouding $1:2:3,$ , en respectievelijk 30°, 60° en 90° meten. Omdat deze driehoek de helft is van een gelijkzijdige driehoek, noemen sommigen dit de hemieq driehoek. De aanduiding 30-60-90 is niet alleen omslachtig, maar verwijst ook naar de graad, een willekeurige verdeling van hoekmaten. De zijden zijn in de verhouding $1-{\sqrt {3}}-2$ .

Het bewijs van dit feit is duidelijk met behulp van goniometrie. Hoewel het meetkundige bewijs minder duidelijk is, is het even triviaal:

Teken een gelijkzijdige driehoek ABC met zijde lengte 2 en met punt D als middenpunt van lijnstuk BC. Trek een hoogtelijn van A naar D. Dan is ABD een 30-60-90 (Hemieq) driehoek met schuine zijde lengte 2, en basis BD lengte 1. Dat het overgebleven been AD lengte

${\sqrt {3}}$ heeft volgt onmiddellijk uit de stelling van Pythagoras.

Zijde-gebaseerd

Alle speciale zij-gebaseerde rechthoeksdriehoeken hebben hoeken die niet noodzakelijk rationale getallen zijn, maar waarvan de zijden altijd geheel lang zijn en een Pythagoreïsch drietal vormen. Ze zijn vooral nuttig omdat ze gemakkelijk kunnen worden onthouden en omdat elk veelvoud van de zijden dezelfde verhouding oplevert.

Gemeenschappelijke Pythagoreïsche driehoeken

Er zijn verschillende Pythagoreïsche driehoeken die zeer bekend zijn, waaronder:

$3:4:5,$ $5:12:13:$ $6:8:10,$ (een veelvoud van het 3:4:5 drievoud) $8:15:17,$ (een veelvoud van het 3:4:5 drievoud) $8:15:17:15:17,$ ${\legende 7:24:25,}$

De kleinste van deze (en zijn veelvouden, 6:8:10, 9:12:15,….) is de enige rechthoekige driehoek met ribben in rekenkundige progressie. Driehoeken gebaseerd op Pythagorische drietallen zijn Heronisch en hebben dus een gehele oppervlakte.

Fibonacci driehoeken

Beginnend bij 5, is elk ander Fibonacci getal {0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144, 233,377, 710,…} is de lengte van de schuine zijde van een rechthoekige driehoek met integrale zijden, of met andere woorden, het grootste getal in een Pythagoreïsch drietal. De lengte van het lange been van deze driehoek is gelijk aan de som van de drie zijden van de vorige driehoek in deze serie driehoeken, en het kortere been is gelijk aan het verschil tussen het vorige overgeslagen Fibonacci getal en het kortere been van de vorige driehoek.

De eerste driehoek in deze serie heeft zijden van lengte 5, 4, en 3. De volgende driehoek, die 8 overslaat, heeft zijden van lengte 13, 12 (5 + 4 + 3), en 5 (8 – 3). Als we 21 overslaan, heeft de volgende driehoek zijden van lengte 34, 30 (13 + 12 + 5), en 16 (21 – 5). Deze reeks gaat oneindig door en nadert een beperkende driehoek met randverhoudingen:

${\sqrt {5}}:2:1$ .

Deze rechthoekige driehoek wordt ook wel dom genoemd, een naam voorgesteld door Andrew Clarke om te benadrukken dat dit de driehoek is die wordt verkregen door een domino langs een diagonaal te ontleden. De dom vormt de basis van de aperiodieke pinwheel-tegelingen voorgesteld door John Conway en Charles Radin.

Bijna-gelijkbenige Pythagorese driehoeken

Gelijkbenige rechthoekige driehoeken kunnen geen zijden hebben met gehele waarden. Er bestaan echter oneindig veel bijna-gelijkbenige rechthoekige driehoeken. Dit zijn rechthoekige driehoeken met integrale zijden waarvan de niet-hypotenusa-uiteinden één lengte verschillen. Zulke bijna-gelijkbenige rechthoekige driehoeken kunnen recursief verkregen worden met de vergelijking van Pell:

a0 = 1, b0 = 2 an = 2bn-1 + an-1 bn = 2an + bn-1

an is lengte van schuine zijde, n=1, 2, 3,… . De kleinste Pythagorean driehoeken die hieruit voortvloeien zijn:

${{:3:4:5,}$ ${:20:21:29,}$ ${:119:120:169,}$ ${:119:120:169,}$ $696:697:985,$

Berekenen van veel voorkomende goniometrische functies

Er worden speciale driehoeken gebruikt om te helpen bij het berekenen van veel voorkomende goniometrische functies, zoals hieronder:

Degrees	Radians	sin	cos	tan
0	0	0	1	0
30	${\frac {pi }{6}$	${\frac {1}{2}$	${\frac {\sqrt {3}{2}$	${\frac {\sqrt {3}{3}$
45	${\frac {\pi }{4}$	${\frac {\sqrt {2}{2}$	${\frac {\sqrt {2}}{2}$	1
60	${\frac {\pi }{3}$	${\displaystyle {td>$ {\displaystyle {1}{2}}	${{sqrt {3}$
90	${\frac {\pi }{2}$	1	0	–