SEMIGROUPY I OPERATORY RÓŻNICOWE
18 Niech A będzie operatorem, dla którego równanie różniczkowe u′(t) = A(u(t)) ma „rozwiązania” pewnego rodzaju. Dokładniej, załóżmy, że M jest podzbiorem przestrzeni Banacha, i dla każdego x0 ∈ M istnieje unikalne rozwiązanie u : =exp(-xλ)=-1λg(x)exp(-xλ).
Integrujemy obie strony – zaczynając od x = 0, powiedzmy – aby otrzymać
dla pewnej stałej C. Aby znaleźć wartość C, weźmy granice po obu stronach tego równania jako x → ∞. Mamy f(x) → 0, ponieważ f znika w ∞, a zatem C=1λ∫0∞g(t)exp(-t/λ)dt. Ta całka jest zbieżna, gdyż g znika w nieskończoności, a exp(-t/λ) znika wykładniczo szybko. Dlatego ostatnie wyświetlone równanie można przepisać
(I – λA)-1 jest nieekspansywnym operatorem liniowym określonym wszędzie na C0(ℝ).
Jest to typowy rodzaj operatora, do którego stosuje się Twierdzenie Crandalla-Liggetta – ale podkreślamy, że to twierdzenie stosuje się również do znacznie bardziej skomplikowanych operatorów.
Ćwiczenie Modyfikując powyższe obliczenia, pokaż, że (I + λA)-1 jest również nieekspansywnym operatorem liniowym zdefiniowanym wszędzie na C0(ℝ), dla każdego λ > 0.
20 Niech X będzie przestrzenią Banacha, a J : X → P(X*) niech będzie jej odwzorowaniem dualności (zdefiniowanym jak w 28.44). Niech A będzie pewnym odwzorowaniem z podzbioru X na X. Wtedy dwa następujące warunki są równoważne; jeśli któryś z nich (a więc oba) są spełnione, mówimy, że A jest dyssypatywny (lub -A jest akretywny):
Dowód (za Cioranescu ). Niech y1 = A(x1) i y2 = A(x2). Niech x^=x1-x2 i y^=y1-y2; wówczas mamy pokazać, że
Jeśli i tylko wtedy
Dla (B′) ⇒ (A′) po prostu obliczamy
Z czego wynikają oba
Ponieważ η0 jest w kuli jednostkowej, możemy stwierdzić, że ‖x^‖≤η0(x^) i ||η0|| = 1. Wtedy φ=‖x^‖η0 jest członkiem J(x^), spełniającym φ(y^)≤0.
21 Niech X będzie przestrzenią Banacha, a J : X → P(X*) niech będzie jej odwzorowaniem dualności. Niech A będzie odwzorowaniem z pewnego podzbioru X na X, a ω niech będzie liczbą nieujemną. Wtedy następujące trzy warunki są równoważne (ćwiczenie); jeśli są spełnione mówimy, że A jest Ω-rozróżnialne:
22 Jeśli A jest odwzorowaniem lipschitzowskim, przy czym 〈A〉Lip ≤ ω, to zarówno A, jak i -A są ω-dysypatywne. Z tego powodu warunki dyssypatywności są czasami nazywane jednostronnymi warunkami Lipschitza.
Jednakże terminologia ta może być myląca. Na przykład, zdefiniuj A jak w 30.19. Wtedy A i -A są zarówno dyssypatywne, ale A nie jest Lipschitzianem; w rzeczywistości A nie jest nawet ciągła.
Jeżeli X jest jednowymiarowa – tzn. jeżeli X jest tylko linią rzeczywistą – wtedy A jest dyssypatywna wtedy i tylko wtedy, gdy (x1 – x2)(A(y1) – A(y2)) ≤ 0; ta nierówność jest spełniona wtedy i tylko wtedy, gdy A jest funkcją malejącą.
24 Niech C będzie podzbiorem przestrzeni Banacha X, a S niech będzie półgrupą odwzorowań własnych C. Przyjmijmy, że 〈S(t)〉Lip ≤ eωt dla pewnej stałej ω ≥ 0 i wszystkich t ≥ 0. Zdefiniuj odwzorowanie z podzbioru C na X przez
gdzie dziedziną operatora A jest zbiór wszystkich x ∈ C, dla których istnieje granica. Wtedy A jest ω-rozróżnialny.
Proof Fix any x1, x2 ∈ Dom(A) and λ ∈ (0, 1/ω); let h > 0. Then
Take limits as h ↓ 0, to prove
Proof Niech x = R(α)u i y = R(β)υ; zatem u = x – αA(x) i υ = y – βA(y). Wybieramy pewne φ ∈ J(x – y) takie, że φ ≤ ω||x – y||2. Wówczas
Podzielmy przez ||x – y||, aby otrzymać pożądaną nierówność.
26 Niech α i β będą liczbami dodatnimi. Niech cj,k będą nieujemnymi liczbami rzeczywistymi, które spełniają
dla wszystkich nieujemnych liczb całkowitych j, k. Wtedy cj,k≤(jα-kβ)2+jα2+kβ2 dla wszystkich nieujemnych liczb całkowitych j, k.
Ogólniej, niech α, β > 0 i ω ≥ 0 z max{ωα, ωβ} < 1. Niech cj,k będą nieujemnymi liczbami rzeczywistymi, które spełniają
dla wszystkich nieujemnych liczb całkowitych j, k. Then
for all nonnegative integers j, k.
Remarks Nierówność ta będzie wykorzystana w 30.27. Pokazuje ona, że cj,k może być małe nawet przy dużych j, k, pod warunkiem, że α, β i jα – kβ są małe. Przy pierwszym czytaniu czytelnik może zechcieć skupić się na szczególnym przypadku ω = 0, podanym w pierwszym akapicie lematu, ponieważ ten przypadek jest nieco prostszy w notacji i nadal zawiera większość głównych idei.
Zarys dowodu Najpierw kilka wstępnych obliczeń. Pokaż, że
Ponadto, z ω(α + β)2 – 2(α + β) ≤ 0 ≤ αβω otrzymujemy
Ponadto, na mocy nierówności Cauchy’ego-Bunyakovskiego-Schwarza (2.10),
dla dowolnych liczb nieujemnych p i q.
Teraz nierówność Rasmussena-Kobayashiego (RK) jest oczywista z (1) gdy j = 0 lub k = 0. Nierówność zostanie udowodniona dla większych j i k przez podwójną indukcję. W poniższych obliczeniach krok (Ind) jest przez hipotezę indukcyjną. Oblicz
To kończy krok indukcji, a tym samym dowód (RK).
27 Twierdzenie Crandalla-Liggetta jest na ogół postrzegane jako twierdzenie o równaniach różniczkowych w przestrzeniach Banacha. Twierdzenie Crandalla-Liggetta nie ma żadnych zastosowań poza tym środowiskiem. Jednak znaczna część dowodu może być przedstawiona w prostszym otoczeniu, jakim jest pełna przestrzeń metryczna. Przyjmiemy takie podejście, ponieważ jest ono łatwiejsze do zrozumienia bez rozpraszania uwagi przez strukturę liniową, a także dlatego, że stanowi interesujące zastosowanie zupełności metrycznej. Jest to jeden z niewielu znanych temu autorowi przypadków, w których używamy map Lipschitza bez użycia Twierdzenia o Punktach Stałych Kontrakcji.
W poniższym twierdzeniu dopuszczamy T = +∞ jeśli ω = 0. Obliczenia są w tym przypadku nieco prostsze, więc początkujący mogą chcieć się na nim skupić.
i
i załóżmy, że zbiór D = {x ∈ M : Γ(x) < ∞} jest gęsty w M.
Mapa (t, x) ↦ S(t)x jest łącznie ciągła od . Książka Harauxa obejmuje część teorii przestrzeni Banacha, ale poświęca też szczególną uwagę przypadkowi przestrzeni Hilberta.
Twierdzenie Crandalla-Liggetta, tak jak je przedstawiliśmy, łatwo rozszerza się na różniczkowe wtrącenie u′(t) ∈ A(u(t)). Jeśli wzmocnimy warunek zasięgu i będziemy wymagać, aby Ran(I – λA) = X dla wszystkich dostatecznie małych λ > 0, to można udowodnić istnienie rozwiązań problemu wartości początkowej
Dużo napisano również o inkluzjach różniczkowych postaci u′(t) ∈ A(t, u(t)), gdzie A(t, ⋅) jest operatorem Ω-rozproszonym dla każdego ustalonego t. Jednym z referentów tego tematu jest Pavel; książka ta wprowadza również wiele zastosowań do równań różniczkowych cząstkowych. Teoria tego przedmiotu nie jest tak elegancka, ale jest ku temu powód. Aby uzyskać maksymalną możliwość zastosowania do równań różniczkowych cząstkowych, badacze interesowali się problemami, w których różne operatory A(t, ⋅), dla różnych stałych wartości t, mają różne dziedziny, i w których Dom(A(t, ⋅)) zmienia się błędnie z t. To znacznie komplikuje problem.
30 Na poprzednich stronach rozwinęliśmy kilka zasadniczo różnych teorii problemów wartości początkowej, używając hipotez o warunkach Lipschitza, zwartości, izotoniczności i dyssypatywności. Historycznie, teorie te rozwijały się oddzielnie, dla różnych rodzajów zastosowań. Kusząca jest próba uczynienia z tych teorii szczególnych przypadków jednej, bardziej ogólnej teorii. Z pewnością możliwe jest udowodnienie co najmniej kilku słabych wyników w bardziej ogólnym otoczeniu – patrz np. 30.6.
Jednakże w rzeczywistości jesteśmy bardzo daleko od kompletnej lub zunifikowanej teorii. Kilka głównych podteorii – lipschitzness, compactness, isotonicity, etc. – ma bardzo różny charakter; pomiędzy nimi istnieją duże luki pojęciowe. Literatura zawiera tylko garść przykładów nieistnienia rozwiązań, większość z nich jest podobna do przykładu 30.4 Dieudonné’go; przykłady nieistnienia nie są wystarczająco różnorodne, by wyjaśnić luki między naszymi teoriami istnienia. Tak więc, jesteśmy bardzo daleko od jasnego zrozumienia, co „naprawdę” sprawia, że problemy wartości początkowej działają.
Skromniejszym od poszukiwania wielkiej zunifikowanej teorii jest program rozwiązywania problemów postaci u′(t) = A(u(t)) + B(u(t)), gdzie A i B są operatorami dwóch różnych typów – np. gdzie A spełnia warunek dysypatywności, a B warunek zwartości. Teoria tego typu zawierałaby teorie dyssypatywności i zwartości jako przypadki szczególne, ponieważ moglibyśmy przyjąć A = 0 lub B = 0 (ponieważ operator 0 jest zarówno dyssypatywny, jak i zwarty). Ten program odniósł pewien sukces, przynajmniej gdy operatory są ciągłe – na przykład, wiadomo, że suma ciągłego operatora dyssypatywnego, ciągłego operatora zwartego i ciągłego operatora izotonicznego generuje ewolucję; patrz Volkmann . Ale bez ciągłości problem jest wciąż otwarty. Dla problemu zwartego plus dyssypatywnego, pewne dyskusje i częściowe wyniki można znaleźć w Schechter i Vrabie .