Centroid Trójkąta (Jak Znaleźć, Definicja, Wzór, & Przykłady)
VideoDefinicjaMedianaJak ZnaleźćDługość MedianyPołożenie Centroidu
Centroidy mogą brzmieć jak wielkie skały z kosmosu, ale są one w rzeczywistości ważnymi cechami trójkątów. Mają one również zastosowanie w aeronautyce, ponieważ odnoszą się do środka ciężkości (CG) kształtów.
Czego się nauczysz:
Po przerobieniu tej lekcji i filmu będziesz w stanie:
- Przypomnieć sobie definicję centroidu trójkąta i mediany trójkątów
- Wyjaśnić, jak znaleźć centroid trójkąta
- Odnieść centroid do środka ciężkości
- Obliczyć długość mediany, używając m.in. centroidu trójkąta
- Zaznacz położenie centroidu, używając tylko jednej mediany
Centroid trójkąta
Każdy trójkąt ma jeden punkt gdzieś w pobliżu swojego „środka”, który pozwala trójkątowi doskonale balansować, jeśli trójkąt jest wykonany ze sztywnego materiału. Centroid trójkąta jest tym punktem równowagi, utworzonym przez przecięcie trzech środkowych.
Jeśli trójkąt zostałby wycięty z jakiegoś jednolitego materiału, takiego jak mocna tektura, blacha lub sklejka, centroidem byłoby miejsce, w którym trójkąt balansowałby na czubku twojego palca.
Średnia trójkąta
Środkowa trójkąta to odcinek utworzony przez połączenie jednego wierzchołka z punktem środkowym przeciwległego boku, jak poniżej:
Ponieważ każdy trójkąt ma trzy boki i trzy kąty, ma też trzy środkowe:
Jak znaleźć środek
Aby znaleźć środek dowolnego trójkąta, skonstruuj odcinki linii od wierzchołków kątów wewnętrznych trójkąta do środków ich przeciwległych boków. Te odcinki linii są medianami. Ich przecięcie jest centroid.
Centroid ma ciekawą właściwość oprócz tego, że jest punktem równowagi dla trójkąta. Jest zawsze 23 drogi od wierzchołka wzdłuż mediany, co oznacza, że jest również 13 drogi od punktu środkowego boku. To jest prawda dla każdego trójkąta.
Innym sposobem, aby myśleć o tym rozbiciu mediany jest zauważenie, że jest to stosunek 2:1, z 2 zawsze jest częścią od kąta wewnętrznego do centroidu, a 1 zawsze jest odległością od centroidu do punktu środkowego boku.
Obliczanie długości mediany
Tutaj jest △CAT z medianami AW, TM, i CE. Wiemy, że centroid, punkt O, znajduje się dokładnie w tym miejscu:
- 23 odległości wzdłuż każdej z median od kątów wewnętrznych C, A i T
- 13 odległości wzdłuż mediany od środka boków CA, AT i CT
Jeśli wiemy, że centroid znajduje się 6 cm od kąta wewnętrznego C, jaka jest długość mediany CE?
Jeśli wiemy, że centroid O jest 23 na drodze wzdłuż środkowej AW i znajduje się 7,5 cm od kąta wewnętrznego A, to jak długa jest środkowa AW?
Pomyśl: 7,5 to 23 z jakiej liczby?
Powiedziałeś 11,25 cm? Mamy nadzieję, że tak, ponieważ jest to poprawna odpowiedź!
Znalezienie położenia środka
Gdy wiesz, że środek musi być 23 z odległości środka od kąta wewnętrznego, możesz znaleźć środek dowolnego trójkąta używając tylko jednej mediany!
Tutaj jest △DOG, z tylko jedną medianą, OF, skonstruowaną przez umieszczenie punktu F dokładnie w połowie długości DG. Środkowa OF ma długość 36 cm.
Ponieważ wiesz, że środkowa jest równa 23 odległości wzdłuż OF, możesz zmierzyć 23 z 36 cm, czyli 24 cm, wzdłuż OF, aby znaleźć środkową część tej odległości.
Teraz spróbuj! Załóżmy, że wiesz, że mediana DU wynosi 18 cm; jak daleko wzdłuż niej będzie centroid?
Mamy nadzieję, że powiedziałeś 12 cm, ponieważ 12 cm to 23 z 18 cm!
Zrób i znajdź centroid!
Możesz nauczyć się znajdować centroid i udowodnić sobie, że to naprawdę jest środek ciężkości trójkąta, używając kawałka mocnej tektury (np. tektury plakatowej lub płyty wiórowej), linijki, ołówka i nożyczek.
Użyj linijki, aby narysować dowolny rodzaj trójkąta: ostry, prosty, rozwarty. W każdym trójkącie, środek zawsze znajduje się wewnątrz trójkąta!
Zmierz i zlokalizuj środek każdego boku trójkąta. Zaznacz wyraźnie punkt środkowy. Połącz trzy środki z ich przeciwległymi wierzchołkami. Te linie to środki.
Miejsce, w którym środki się przecinają, to środek. Ostrożnie wytnij trójkąt. Przytrzymaj go nad palcem wskazującym, tak aby środek ciężkości znajdował się na czubku palca. Puść drugą ręką. Trójkąt powinien być w idealnej równowadze!
Artystyczne centroidy
Centroidy zapewniają punkty równowagi dla trójkątów, więc są ważnymi punktami dla artystów, którzy budują mobile, czyli ruchome rzeźby. Możesz zrobić taki mobil sam, używając drutu, sznurka lub żyłki wędkarskiej i różnej wielkości trójkątów wyciętych ze sztywnego plastiku, kartonu lub cienkiego drewna.
Pomaluj każdy trójkąt na jaskrawy kolor (kolory podstawowe i drugorzędne świetnie wyglądają razem), a następnie przywiąż każdy trójkąt za jego środek do drutu. Drut może być zawieszony na innym drucie, i tak dalej, aż będziesz miał zrównoważony mobil. Każdy trójkąt będzie szybował w powietrzu zupełnie płasko, ponieważ centroid jest jego punktem równowagi.
Rzeźbiarz Alexander Calder jest znany ze swoich jaskrawo kolorowych mobilów, często używając kawałków, które są bardzo zbliżone do trójkątnych kształtów.
Centroidy lotnicze
Samoloty muszą być idealnie wyważone wokół ich centroidu, lub środka ciężkości (CG), aby pilot mógł utrzymać kontrolę. Wiele czynników wpływa na zdolność pilota do kontrolowania ruchu samolotu w trzech różnych osiach, ale jeśli samolot nie jest zaprojektowany tak, aby balansował wokół swojego CG lub centroidu, żadna ilość kontroli pilota nie będzie wystarczająca, aby utrzymać samolot lecący prawidłowo.
CG samolotu ma zastosowanie niezależnie od tego, czy budujesz model samolotu, samolot sterowany radiowo, czy rzeczywisty wojskowy lub pasażerski odrzutowiec. Możesz dowiedzieć się o wiele więcej o centroidach nieregularnych kształtów, CG samolotów i matematyce znajdowania CG, dzięki filmowi NASA dostępnemu online.
Podsumowanie lekcji
Teraz, gdy zbadałeś każdy aspekt tej lekcji, jesteś w stanie przypomnieć sobie definicję centroidu trójkąta, przypomnieć sobie definicję i rozpoznać mediany trójkątów, i wyjaśnić jak znaleźć centroid trójkąta. Będziesz również w stanie odnieść centroid do środka ciężkości, obliczyć długość mediany używając centroidu trójkąta i znaleźć centroid używając tylko jednej mediany.
Następna lekcja:
Jak znaleźć ortocentrum trójkąta