Dodatkowa lektura na www.astronomynotes.com
- Prawa Keplera dotyczące ruchu planet
Pierwsze prawo
Kepler był wytrawnym matematykiem, dlatego postęp, jaki poczynił w badaniach ruchu planet, polegał na wprowadzeniu matematycznych podstaw heliocentrycznego modelu Układu Słonecznego. Podczas gdy Ptolemeusz i Kopernik opierali się na założeniach, takich jak to, że koło jest „idealnym” kształtem i wszystkie orbity muszą być okrągłe, Kepler pokazał, że matematycznie orbita kołowa nie pasuje do danych dotyczących Marsa, ale orbita eliptyczna pasuje do danych! Odnosimy się teraz do następującego stwierdzenia jako Pierwszego Prawa Keplera:
- Planety krążą wokół Słońca w elipsach ze Słońcem w jednym ognisku (drugie ognisko jest puste).
Po więcej informacji o elipsach, możesz przeczytać w krwawych matematycznych szczegółach stronę na Mathworld, są też informacje o elipsach w Wikipedii.
Oto demonstracja klasycznej metody rysowania elipsy:
Dwie pinezki na obrazie reprezentują dwa ogniska elipsy, a sznurek zapewnia, że suma odległości od dwóch ognisk (pinezek) do ołówka jest stała. Poniżej znajduje się inny obraz elipsy ze zdefiniowaną osią główną i osią mniejszą:
Wiemy, że w okręgu wszystkie proste przechodzące przez środek (średnice) są dokładnie równej długości. Jednak w elipsie linie, które rysujemy przez środek, mają różną długość. Linia, która przechodzi z jednego końca do drugiego i obejmuje oba ogniska, nazywana jest osią główną i jest to najdłuższa odległość między dwoma punktami na elipsie. Linia, która jest prostopadła do osi głównej w jej środku nazywa się osią mniejszą i jest to najkrótsza odległość między dwoma punktami na elipsie.
Na obrazku powyżej, zielone kropki są ogniskami (odpowiednik macków na zdjęciu powyżej). Im większa jest odległość między ogniskami, tym większy jest mimośród elipsy. W granicznym przypadku, gdy ogniska są na sobie (mimośród 0), figura jest w rzeczywistości okręgiem. Można więc myśleć o okręgu jako o elipsie o mimośrodzie 0. Badania wykazały, że podręczniki astronomii wprowadzają błędne przekonanie, pokazując orbity planet jako bardzo ekscentryczne, aby mieć pewność, że są one elipsami, a nie okręgami. W rzeczywistości orbity większości planet w naszym Układzie Słonecznym są bardzo zbliżone do kołowych, z mimośrodami bliskimi 0 (np. mimośrodowość orbity Ziemi wynosi 0,0167). Aby zobaczyć animację pokazującą orbity o różnych mimośrodach, zobacz diagram mimośrodowości na stronie „Windows to the Universe”. Zauważ, że orbita o mimośrodzie 0,2, która wydaje się być prawie okrągła, jest podobna do orbity Merkurego, która ma największy mimośród spośród wszystkich planet Układu Słonecznego. Diagram orbit eliptycznych na stronie „Windows to the Universe” zawiera obrazek z bezpośrednim porównaniem mimośrodów kilku planet, planetoidy i komety. Zauważ, że jeśli podążysz za instrukcjami Gwieździstej Nocy na poprzedniej stronie, aby obserwować orbity Ziemi i Marsa z góry, możesz również zobaczyć kształty tych orbit i jak bardzo są one okrągłe.
Pierwsze prawo Keplera ma kilka implikacji. Są to:
- odległość między planetą a Słońcem zmienia się, gdy planeta porusza się po swojej orbicie.
- Słońce jest odsunięte od środka orbity planety.
Drugie prawo
W swoich modelach Układu Słonecznego Grecy trzymali się arystotelesowskiego przekonania, że obiekty na niebie poruszają się ze stałą prędkością po okręgach, ponieważ jest to ich „naturalny ruch”. Jednakże drugie prawo Keplera (czasami nazywane prawem równych obszarów) może być użyte do pokazania, że prędkość planety zmienia się w miarę poruszania się po jej orbicie!
Drugie prawo Keplera brzmi:
- Linia łącząca Słońce i planetę przechodzi przez równe obszary w równym czasie.
Poniższy obrazek odsyła do animacji, która pokazuje, że kiedy planeta znajduje się w pobliżu aphelium (punkt najbardziej oddalony od Słońca, oznaczony literą B na poniższym zrzucie ekranu), linia łącząca Słońce i planetę wyznacza długi, chudy sektor pomiędzy punktami A i B. Gdy planeta znajduje się blisko peryhelium (punkt najbliższy Słońcu, oznaczony literą C na poniższym zrzucie ekranu), linia poprowadzona pomiędzy Słońcem a planetą wykreśla krótszy, grubszy sektor pomiędzy punktami C i D. Te plastry, które są naprzemiennie szare i niebieskie, zostały narysowane w taki sposób, że obszar wewnątrz każdego sektora jest taki sam. Oznacza to, że sektor pomiędzy C i D po prawej stronie zawiera tyle samo powierzchni, co sektor pomiędzy A i B po lewej stronie.
Drugie prawo Keplera
Ponieważ obszary tych dwóch sektorów są identyczne, drugie prawo Keplera mówi, że czas potrzebny planecie na przebycie drogi między A i B oraz między C i D musi być taki sam. Jeśli spojrzymy na odległość wzdłuż elipsy pomiędzy A i B, to jest ona krótsza niż odległość pomiędzy C i D. Ponieważ prędkość to odległość podzielona przez czas, a ponieważ odległość pomiędzy A i B jest krótsza niż odległość pomiędzy C i D, to dzieląc te odległości przez tę samą ilość czasu okaże się, że:
- Planeta porusza się szybciej w pobliżu peryhelium i wolniej w pobliżu aphelium.
Orbity większości planet są prawie kołowe, z mimośrodami bliskimi 0. W tym przypadku zmiany w ich prędkości nie są zbyt duże w ciągu ich orbity.
Dla tych z was, którzy uczą fizyki, możecie zauważyć, że tak naprawdę drugie prawo Keplera jest po prostu innym sposobem stwierdzenia, że moment pędu jest zachowany. To znaczy, kiedy planeta jest blisko peryhelium, odległość między Słońcem a planetą jest mniejsza, więc musi ona zwiększyć swoją prędkość styczną, aby zachować moment pędu, i podobnie, kiedy jest blisko aphelium, kiedy ich separacja jest większa, jej prędkość styczna musi się zmniejszyć, aby całkowity orbitalny moment pędu był taki sam jak w peryhelium.
Trzecie prawo
Kepler miał wszystkie dane Tycho o planetach, więc był w stanie określić, jak długo każda z nich potrzebuje na przebycie jednej orbity wokół Słońca. Jest to zwykle określane jako okres orbity. Kepler zauważył, że im bliżej Słońca znajdowała się planeta, tym szybciej krążyła wokół Słońca. Był on pierwszym naukowcem, który badał planety z perspektywy wpływu Słońca na ich orbity. To znaczy, w przeciwieństwie do Ptolemeusza i Kopernika, którzy zakładali, że „naturalnym ruchem” planet jest poruszanie się ze stałą prędkością po kolistych ścieżkach, Kepler wierzył, że Słońce wywiera na planety jakąś siłę, która popycha je po ich orbitach, i z tego powodu im bliżej są one Słońca, tym szybciej powinny się poruszać.
Kepler badał okresy planet i ich odległość od Słońca, i udowodnił następującą zależność matematyczną, która jest Trzecim Prawem Keplera:
- Kwadrat okresu orbity planety (P) jest wprost proporcjonalny do sześcianu osi półmajora (a) jej eliptycznej ścieżki.
- P 2 ∝ a 3 To równanie nie jest wyświetlane poprawnie z powodu niekompatybilnej przeglądarki. Lista kompatybilnych przeglądarek znajduje się w części Wymagania techniczne w Orientacji.
Matematycznie oznacza to, że jeśli kwadrat okresu obiektu podwaja się, to sześcian jego osi półmagnetycznej również musi się podwoić. Znak proporcjonalności w powyższym równaniu oznacza, że:
- P 2 = k a 3 To równanie nie jest wyświetlane poprawnie z powodu niekompatybilnej przeglądarki. Lista kompatybilnych przeglądarek znajduje się w części Wymagania techniczne w Orientacji.
gdzie k jest stałą liczbą. Jeśli podzielimy obie strony równania przez a 3 To równanie nie jest wyświetlane poprawnie z powodu niekompatybilnej przeglądarki. Lista kompatybilnych przeglądarek znajduje się w części Wymagania techniczne w Orientacji. Widzimy, że:
- P 2 / a 3 = k To równanie nie wyświetla się poprawnie z powodu niekompatybilnej przeglądarki. Lista kompatybilnych przeglądarek znajduje się w części Wymagania techniczne w Orientacji.
To oznacza, że dla każdej planety w naszym Układzie Słonecznym, stosunek ich okresu podniesionego do kwadratu ich osi półmajora jest tą samą stałą wartością, więc to oznacza, że:
- ( P 2 / a 3 ) Ziemia = ( P 2 / a 3 ) Mars = ( P 2 / a 3 ) Jowisz To równanie nie wyświetla się poprawnie z powodu niekompatybilnej przeglądarki. Zobacz Wymagania techniczne w Orientacji, aby uzyskać listę kompatybilnych przeglądarek.
Wiemy, że okres Ziemi wynosi 1 rok. W czasach Keplera nie znano odległości do planet, ale możemy po prostu przypisać oś semimajora Ziemi do jednostki, którą nazywamy jednostką astronomiczną (AU). To znaczy, nie wiedząc jak duża jest jednostka AU, po prostu ustawiamy a Ziemia = 1 AU To równanie nie jest wyświetlane poprawnie z powodu niekompatybilnej przeglądarki. Lista kompatybilnych przeglądarek znajduje się w części Wymagania techniczne w Orientacji. . Jeśli wstawisz 1 rok i 1 AU do powyższego równania, zobaczysz, że:
- ( P 2 / a 3 ) Ziemia = ( P 2 / a 3 ) Mars = ( P 2 / a 3 ) Jowisz To równanie nie wyświetla się poprawnie z powodu niekompatybilnej przeglądarki. Zobacz Wymagania techniczne w Orientacji, aby uzyskać listę kompatybilnych przeglądarek.
Więc dla każdej planety, P 2 / a 3 = 1 To równanie nie wyświetla się poprawnie z powodu niekompatybilnej przeglądarki. Zobacz Wymagania techniczne w Orientacji, aby uzyskać listę kompatybilnych przeglądarek. jeśli P jest wyrażone w latach, a a jest wyrażone w AU. Więc jeśli chcesz obliczyć jak daleko Saturn jest od Słońca w AU, wszystko co musisz wiedzieć to jego okres. Dla Saturna jest to około 29 lat. Tak więc:
- ( P 2 / a 3 ) Saturn = ( 29 lat ) 2 / ( a AU ) 3 = 1 To równanie nie wyświetla się poprawnie z powodu niekompatybilnej przeglądarki. Zobacz Wymagania techniczne w Orientacji, aby uzyskać listę kompatybilnych przeglądarek.
- ( a AU ) 3 = 841 To równanie nie jest wyświetlane poprawnie z powodu niekompatybilnej przeglądarki. Zobacz Wymagania Techniczne w Orientacji, aby uzyskać listę kompatybilnych przeglądarek.
- (a AU) = 3 √ 841 = 9.4 AU To równanie nie wyświetla się poprawnie z powodu niekompatybilnej przeglądarki. Zobacz Wymagania techniczne w Orientacji, aby uzyskać listę kompatybilnych przeglądarek.
Więc Saturn jest 9,4 razy dalej od Słońca niż Ziemia od Słońca!