Obciążenie krytyczne Eulera

Słup zakończony przegubowoEdit

Poniższy model dotyczy słupów swobodnie podpartych na każdym z końców ( K = 1 {styl K=1}

$K=1$

Po pierwsze zwrócimy uwagę na fakt, że w przegubowych końcach nie ma reakcji, a więc nie mamy też siły ścinającej w żadnym przekroju słupa. Przyczynę braku reakcji można uzyskać z symetrii (więc reakcje powinny być w tym samym kierunku) oraz z równowagi momentów (więc reakcje powinny być w przeciwnych kierunkach).

Przy wykorzystaniu wykresu bryły swobodnej z prawej strony rysunku 3 i dokonując sumowania momentów wokół punktu x:

Σ M = 0 ⇒ M ( x ) + P w = 0 {sigma M=0 {strzałka w prawo M(x)+Pw=0}

${displaystyle \sigma M=0 \prawoskrętna M(x)+Pw=0}$

gdzie w jest ugięciem bocznym.

Zgodnie z teorią belek Eulera-Bernoulliego, ugięcie belki jest związane z jej momentem zginającym przez:

M = – E I d 2 w d x 2 {displaystyle M=-EI{frac {d} ^{2}w}{mathrm {d} x^{2}}}}

${displaystyle M=-EI{mathrm {d} ^{2}w}{mathrm {d} ^{2}w}{{mathrm {d} x^{2}}}}$

Rys. 3: Słup zakończony sworzniem pod wpływem obciążenia wyboczeniowego

także:

E I d 2 w d x 2 + P w = 0 {{displaystyle EI{{frac {d^{2}w}{dx^{2}}}}}+Pw=0}.

${displaystyle EI{lambda {d^{2}w}{dx^{2}}}+Pw=0}$

Let λ 2 = P E I {displaystyle {lambda ^{2}={lambda {P}{EI}}}

${displaystyle {lambda ^{2}={lambda {P}{EI}}}$

, zatem: d 2 w d x 2 + λ 2 w = 0 {displaystyle {{lambda ^{2}w}{dx^{2}}}+ λ 2 w=0}.

${displaystyle {{displayrac {d^{2}w}{dx^{2}}}}+lambda ^{2}w=0}}$

Dostajemy klasyczne jednorodne równanie różniczkowe zwyczajne drugiego rzędu.

Ogólne rozwiązania tego równania to: w ( x ) = A cos ( λ x ) + B sin ( λ x ) {displaystyle w(x)=Acos(λ x)+Bsin(λ x)}

${displaystyle w(x)=Acos(\lambda x)+Bsin(\lambda x)}$

, gdzie A {{displaystyle A}

$A$

i B {displaystyle B}

$B$

są stałymi, które należy określić na podstawie warunków brzegowych, którymi są:

Lewy koniec przegubowy → w ( 0 ) = 0 → A = 0 {displaystyle ™rightarrow w(0)=0rightarrow A=0}
${{displaystyle \rightarrow w(0)=0\rightarrow A=0}$
Prawy koniec przypięty → w ( l ) = 0 → B sin ( λ l ) = 0 {{displaystyle \rightarrow w(l)=0\rightarrow B\sin(\lambda l)=0}
${displaystyle rightarrow w(l)=0} Bsin(λlambda l)=0}$

Rys. 4: Pierwsze trzy tryby obciążeń wyboczeniowych

Jeżeli B = 0 {\i0}

$B = 0$

, nie występuje moment zginający i otrzymujemy trywialne rozwiązanie w ( x ) = 0 {displaystyle w(x)=0}

${displaystyle w(x)=0}$

Jednakże z drugiego rozwiązania sin ( λ l ) = 0 {{displaystyle ̇sin(̇lambda l)=0}

${displaystyle \sin(\lambda l)=0}$

otrzymujemy λ n l = n π { {displaystyle \lambda _{n}l=n\pi }

${displaystyle {lambda _{n}l=n\pi }$

, dla n = 0 , 1 , 2 , … {{displaystyle n=0,1,2,\dots }

${displaystyle n=0,1,2,\dots }$

Wraz z λ 2 = P E I {displaystyle \lambda ^{2}={frac {P}{EI}}}

${displaystyle {lambda ^{2}={{frac {P}{EI}}}$

jak zdefiniowano wcześniej, poszczególne obciążenia krytyczne wynoszą: P n = n 2 π 2 E I l 2 {{displaystyle P_{n}}={{frac {n^{2}pi ^{2}EI}{l^{2}}}}

${displaystyle P_{n}={displayfrac {n^{2}Epi ^{2}EI}{l^{2}}}}$

, dla n = 0 , 1 , 2 , … {displaystyle n=0,1,2,^dots }

${displaystyle n=0,1,2,\dots }$

i w zależności od wartości n {{displaystyle n}

${displaystyle n}$

, powstają różne tryby wyboczenia, jak pokazano na rysunku 4. Obciążenie i tryb dla n=0 jest trybem niewyboczonym.

Teoretycznie możliwy jest każdy tryb wyboczenia, ale w przypadku wolno przyłożonego obciążenia prawdopodobnie powstanie tylko pierwszy kształt modalny.

Obciążenie krytyczne Eulera dla słupa zakończonego sworzniem wynosi zatem:

P c r = π 2 E I I l 2 {{displaystyle P_{cr}={frac {pi ^{2}EI}{l^{2}}}}

${displaystyle P_{cr}={frac {{pi ^{2}EI}{l^{2}}}}$

a otrzymany kształt słupa wyboczonego w pierwszym trybie wynosi:

w ( x ) = B sin ( π l x ) {{displaystyle w(x)=Bsin ^{2}EI}{l^{{}}prawa}.

${displaystyle w(x)=Bsin \left({{pi \over l}x\right)}$

Podejście ogólneEdit

Rys. 5: siły i momenty działające na słup.

Równanie różniczkowe osi belki wynosi:

d 4 w d x 4 + P E I d 2 w d x 2 = q E I { {{displaystyle {{frac {d^{4}w}{dx^{4}}}+{{{frac {P}{EI}}}}{{frac {d^{2}w}{dx^{2}}}={{{frac {q}{EI}}}

${displaystyle {{displayrac {d^{4}w}{dx^{4}}}+{{displayrac {P}{EI}}}{{displayrac {d^{2}w}{dx^{2}}}={displaystyle {q}{EI}}}$

Dla słupa obciążonego tylko osiowo, obciążenie boczne q ( x ) {{displaystyle q(x)}

$q(x)$

znika i podstawiając λ 2 = P E I {displaystyle λ 2 = P E I {{lambda ^{2}}={frac {P}{EI}}}

${displaystyle \a_lambda ^{2}={\a_frac {P}{EI}}}$

, otrzymujemy: d 4 w d x 4 + λ 2 d 2 w d x 2 = 0 {{displaystyle ^{4}w}{dx^{4}}}+ ^{2}{{lambda ^{2}}}}=0}.

${displaystyle {{d^{4}w}{dx^{4}}}+lambda ^{2}{}frac {d^{2}w}{dx^{2}}}=0}$

Jest to jednorodne równanie różniczkowe czwartegorzędu, a jego rozwiązaniem ogólnym jest

w ( x ) = A sin ( λ x ) + B cos ( λ x ) + C x + D {displaystyle w(x)=Asin(λ x)+Bcos(λ x)+Cx+D}.

${displaystyle w(x)=Asin(\lambda x)+Bcos(\lambda x)+Cx+D}$

Cztery stałe A , B , C , D {{displaystyle A,B,C,D}

$A,B,C,D$

są określone przez warunki brzegowe (ograniczenia końcowe) na w ( x ) {displaystyle w(x)}

$w(x)$

, na każdym końcu. Istnieją trzy przypadki:

Końcówka szpilkowa: w = 0 {displaystyle w=0}
$w = 0$

i M = 0 → d 2 w d x 2 = 0 {displaystyle M=0} {d^{2}w dx^{2}}=0}

${displaystyle M=0rightarrow {d^{2}w \over dx^{2}}=0}$
Koniec stały: w = 0 {displaystyle w=0}
$w = 0$

i d w d x = 0 {displaystyle {dw \over dx}=0}

${displaystyle {dw \over dx}=0}$
Dowolny koniec: M = 0 → d 2 w d x 2 = 0 {{displaystyle M=0}}}
${displaystyle M=0rightarrow {d^{2}w \over dx^{2}}=0}}$

i V = 0 → d 3 w d x 3 + λ 2 d w d x = 0 {{displaystyle V=0rightarrow {d^{3}w ^^{3}}+ ^{2}{dw dx}=0}}

${displaystyle V=0}rightarrow {d^{3}w ^^{3}}+lambda ^{2}{dw ^^}=0}$

Dla każdej kombinacji tych warunków brzegowych otrzymujemy problem wartości własnej. Rozwiązując je, otrzymujemy wartości obciążenia krytycznego Eulera dla każdego z przypadków przedstawionych na rysunku 1.

Słup zakończony przegubowoEdit

Podejście ogólneEdit

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi