Odwzorowanie wzoru dokładnego
Załóżmy, że pewien eksperyment wymaga wielu instrumentów do przeprowadzenia. Każdy z tych przyrządów ma inną zmienność w swoich pomiarach. Wyniki pomiarów każdego z przyrządów są dane jako: a, b, c, d… (dla uproszczenia, w tym rozwiązaniu będziemy używać tylko zmiennych a, b i c). Pożądanym wynikiem końcowym jest \(x\), więc \(x\) zależy od a, b i c. Można napisać, że x jest funkcją tych zmiennych:
Ponieważ każdy pomiar ma niepewność co do swojej średniej, można napisać, że niepewność dxi i-tego pomiaru x zależy od niepewności i-tego pomiaru a, b i c:
Odchylenie całkowite x jest następnie wyprowadzane z pochodnej cząstkowej x względem każdej ze zmiennych:
Zależność między odchyleniami standardowymi x i a, b, c, itd…. tworzy się w dwóch krokach:
- poprzez podniesienie do kwadratu równania i
- ujęcie sumy całkowitej od \(i = 1\) do \(i = N\), gdzie \(N\) jest całkowitą liczbą pomiarów.
W pierwszym kroku, po prawej stronie równania pojawiają się dwa unikalne terminy: terminy kwadratowe i terminy krzyżowe.
Termin kwadratowy:
Wyrazy krzyżowe:
Wyrazy kwadratowe, ze względu na naturę kwadratury, są zawsze dodatnie, a zatem nigdy się nie znoszą. W przeciwieństwie do tego, terminy krzyżowe mogą się wzajemnie znosić, ze względu na możliwość, że każdy termin może być dodatni lub ujemny. Jeżeli da, db i dc reprezentują losowe i niezależne niepewności, to około połowa wyników krzyżowych będzie ujemna, a połowa dodatnia (wynika to głównie z faktu, że zmienne reprezentują niepewność co do średniej). W efekcie suma składników krzyżowych powinna zbliżać się do zera, zwłaszcza gdy wzrasta. Jednakże, jeśli zmienne są skorelowane, a nie niezależne, składnik krzyżowy może się nie znieść.
Zakładając, że warunki krzyżowe się znoszą, wtedy drugi krok – sumowanie od \(i = 1\) do \(i = N\) – byłby następujący:
Podzielenie obu stron przez \(N – 1\):
Poprzedni krok stworzył sytuację, w której równanie \{7} może naśladować równanie odchylenia standardowego. Jest to pożądane, ponieważ tworzy statystyczną zależność pomiędzy zmienną x, a innymi zmiennymi a, b, c itd. w następujący sposób:
Równanie na odchylenie standardowe można przepisać jako wariancję (\sigma_x^2\) zmiennej \(x\):
Przepisanie równania \{7} z wykorzystaniem utworzonej relacji statystycznej daje Dokładny wzór na propagację błędu:
W ten sposób uzyskujemy wynik końcowy. Równanie pokazuje bezpośrednią zależność statystyczną pomiędzy wieloma zmiennymi i ich odchyleniami standardowymi. W następnej części podano pochodne dla typowych obliczeń wraz z przykładem, w jaki sposób uzyskano pochodną.
| Typ | Przykład | Standard. Deviation (\sigma_x\)) |
|---|---|---|
| Dodawanie lub odejmowanie | (x = a + b -. c) | (\sigma_x= \sqrt{ {\sigma_a}^2+{\sigma_b}^2+{\sigma_c}^2} \label{10}) |
| Mnożenie lub dzielenie | (x = dfrac{ a x b}{c}}) | ( \dfrac{\sigma_x}{x}=\sqrt{\left(\dfrac{\sigma_a}{a}\right)^2+\left(\dfrac{\sigma_b}{b}\right)^2+\left(\dfrac{\sigma_c}{c}\right)^2} \) (11) |
| Eksponencjalne | (x = a^y) | \(\dfrac{sigma_x}{x}=y(\dfrac{sigma_a}{a})\) (12) |
| Logarytmiczna | (x = \log(a)\) | \(\sigma_x=0.434(\dfrac{\sigma_a}{a})\) (13) |
| Antylogarytmiczna | (x = antilog(a)\) | \(\dfrac{sigma_x}{x}=2,303(\sigma_a})\) (14) |
Gdzie \(a\), \(b\), i c są zmierzonymi zmiennymi z eksperymentu, a \(\sigma_a\), \(\sigma_b\) i \(\sigma_c\) są odchyleniami standardowymi tych zmiennych.
Dodawanie, odejmowanie i równania logarytmiczne prowadzą do bezwzględnego odchylenia standardowego, natomiast mnożenie, dzielenie, równania wykładnicze i antylogarytmiczne prowadzą do względnych odchyleń standardowych.
Odwzorowanie przykładu arytmetycznego
Dokładny wzór na propagację błędu w równaniu może być użyty do wyprowadzenia przykładów arytmetycznych zanotowanych w tabeli. Zaczynając od prostego równania:
gdzie x jest pożądanym wynikiem z danym odchyleniem standardowym, a a, b i c są zmiennymi doświadczalnymi, każda z różnicą odchylenia standardowego. Biorąc częściowe pochodne każdej zmiennej eksperymentalnej, \(a\), \(b\), i \(c\):
i
Podłączając te częściowe pochodne do równania \(\ref{9}}) otrzymujemy:
Podzielenie równania ˆref{17}} przez równanie ˆref{15}} podniesione do kwadratu daje:
Unieważnienie wyrażeń i pierwiastkowanie kwadratowe obu stron daje równanie 11 z tabeli \(\PageIndex{1}}):
Przykład
Kontynuując przykład ze wstępu (gdzie obliczamy molową chłonność cząsteczki), załóżmy, że mamy stężenie 13.7(±0,3) moli/L, długość ścieżki 1,0(±0,1) cm, a absorpcja 0,172807(±0,000008). Równanie na absorpcyjność molową to ε = A/(lc).
Rozwiązanie
Ponieważ Prawo Beera dotyczy mnożenia/podzielania, użyjemy równania 11:
Jak stwierdzono w powyższej notatce, równanie 11 daje względne odchylenie standardowe, czyli procent zmiennej ε. Korzystając z prawa Beera, ε = 0,012614 L mol-1 cm-1 Dlatego też, ∗ (∗igma_{epsilon}}) dla tego przykładu wyniosłoby 10,237% ε, czyli 0,001291.
Obliczając cyfry znaczące, ostateczna odpowiedź brzmiałaby:
ε = 0,013 ± 0.001 L moles-1 cm-1
Przykład
Jeżeli podano równanie, które odnosi się do dwóch różnych zmiennych i podano względne niepewności jednej ze zmiennych, możliwe jest określenie względnej niepewności drugiej zmiennej za pomocą rachunku. W problemach, niepewność jest zwykle podawana w procentach. Załóżmy, że mierzymy promień bardzo małego obiektu. W problemie może być napisane, że przy pomiarze tego promienia jest 5% niepewności.
Rozwiązanie
Aby faktycznie użyć tego procentu do obliczenia nieznanych niepewności innych zmiennych, musimy najpierw zdefiniować czym jest niepewność. Niepewność, w rachunku, definiuje się jako:
(dx/x)=(∆x/x) = niepewność
Przykład
Przyjrzyjrzyjmy się ponownie przykładowi promienia obiektu. Jeżeli wiemy, że niepewność promienia wynosi 5%, to niepewność jest zdefiniowana jako (dx/x)=(∆x/x)= 5% = 0.05.
Teraz jesteśmy gotowi do użycia rachunku, aby otrzymać nieznaną niepewność innej zmiennej. Załóżmy, że mierzymy promień tętnicy i stwierdzamy, że niepewność wynosi 5%. Jaka jest niepewność pomiaru objętości krwi przepływającej przez tę tętnicę?
Gdzie c jest stałą, r jest promieniem i V(r) jest objętością.
Rozwiązanie
Pierwszym krokiem do znalezienia niepewności objętości jest zrozumienie naszej informacji. Ponieważ wiemy, że promień ma 5% niepewności, wiemy, że (∆r/r) = 0.05. Szukamy (∆V/V).
Teraz, gdy to zrobiliśmy, następnym krokiem jest wzięcie pochodnej tego równania, aby otrzymać:
Możemy teraz pomnożyć obie strony równania, aby otrzymać:
Ponieważ szukamy (∆V/V), dzielimy obie strony przez V, aby otrzymać:
Dane jest nam równanie objętości, aby być \(V = c(r)^2\), więc możemy podłączyć to z powrotem do naszego poprzedniego równania dla \(V), aby uzyskać:
Teraz możemy anulować zmienne, które są zarówno w liczniku jak i w mianowniku, aby otrzymać:
Zawęziliśmy teraz równanie tak, że pozostało nam ∆r/r. Wiemy, że wartość niepewności dla ∆r/r wynosi 5%, czyli 0.05. Wstawiając tę wartość dla ∆r/r otrzymujemy:
Pewność objętości wynosi 10%. Metoda ta może być stosowana również w chemii, a nie tylko w biologicznym przykładzie przedstawionym powyżej.