Próba Bernoulliego

Niezależne powtarzające się próby eksperymentu z dokładnie dwoma możliwymi wynikami nazywamy próbami Bernoulliego. Jeden z wyników nazywamy „sukcesem”, a drugi „porażką”. Niech p {{displaystyle p}}

oznacza prawdopodobieństwo sukcesu w próbie Bernoulliego, a q {displaystyle q}

być prawdopodobieństwem porażki. Wówczas prawdopodobieństwo sukcesu i prawdopodobieństwo porażki sumują się do jednego, gdyż są to zdarzenia komplementarne: „sukces” i „porażka” wzajemnie się wykluczają i wyczerpują. Mamy więc następujące zależności: p = 1 – q , q = 1 – p , p + q = 1. {displaystyle p=1-q,\quad \quad q=1-p,\quad \quad p+q=1.}

Alternatywnie, można je podać w kategoriach szans: biorąc pod uwagę prawdopodobieństwo p sukcesu i q porażki, szanse dla są p : q {\displaystyle p:q}

a szanse przeciw to q : p . {{displaystyle q:p}}.

Można je również wyrazić jako liczby, dzieląc, uzyskując szanse na, o f {displaystyle o_{f}}}

, oraz szanse przeciw, o a : {displaystyle o_{a}:}

, o f = p / q = p / ( 1 – p ) = ( 1 – q ) / q o a = q / p = ( 1 – p ) / p = q / ( 1 – q ) {{displaystyle}o_{f}&=p/q=p/(1-q)/.p)=(1-q)/q\\o_{a}&=q/p=(1-p)/p=q/(1-q)\end{aligned}}}

Są to odwrotności multiplikatywne, więc mnożą się do 1, z następującymi zależnościami:

o f = 1 / o a , o a = 1 / o f , o f ⋅ o a = 1. {{displaystyle o_{f}=1/o_{a},}quad o_{a}=1/o_{f},}quad o_{f}=1.}

W przypadku, gdy próba Bernoulliego reprezentuje zdarzenie ze skończonej liczby równie prawdopodobnych wyników, gdzie S z wyników jest sukcesem, a F z wyników jest porażką, szanse dla wynoszą S : F {\i0}

a szanse przeciw są F : S . {{displaystyle F:S}}.

Z tego wynikają następujące wzory na prawdopodobieństwo i szanse: p = S / ( S + F ) q = F / ( S + F ) o f = S / F o a = F / S { {displaystyle {{begin{aligned}p&=S/(S+F)}&=F/(S+F)\\o_{f}&=S/F\\o_{a}&=F/S\end{aligned}}}

Zauważ, że tutaj szanse są obliczane przez podzielenie liczby wyników, a nie prawdopodobieństwa, ale proporcja jest taka sama, ponieważ te współczynniki różnią się tylko przez pomnożenie obu wyrażeń przez ten sam stały czynnik.

Zmienne losowe opisujące próby Bernoulliego są często kodowane przy użyciu konwencji, że 1 = „sukces”, 0 = „porażka”.

Blisko spokrewniony z próbą Bernoulliego jest eksperyment dwumianowy, który składa się ze stałej liczby n {{displaystyle n}}

statystycznie niezależnych prób Bernoulliego, każda z prawdopodobieństwem sukcesu p {displaystyle p}

, i liczy liczbę sukcesów. Zmienna losowa odpowiadająca dwumianowi oznaczana jest przez B ( n , p ) {displaystyle B(n,p)}

, i mówi się, że ma rozkład dwumianowy.Prawdopodobieństwo wystąpienia dokładnie k {displaystyle k}

sukcesów w eksperymencie B ( n , p ) {displaystyle B(n,p)}

jest dany przez: P ( k ) = ( n k ) p k q n – k {{displaystyle P(k)={n k}p^{k}q^{n-k}}

gdzie ( n k ) {{displaystyle {{n \choose k}}

jest współczynnikiem dwumianowym.

Próby Bernoulliego mogą również prowadzić do ujemnych rozkładów dwumianowych (które liczą liczbę sukcesów w serii powtarzających się prób Bernoulliego aż do pojawienia się określonej liczby porażek), jak również różnych innych rozkładów.

Gdy wykonuje się wiele prób Bernoulliego, każda z własnym prawdopodobieństwem sukcesu, są one czasami nazywane próbami Poissona.