Specjalne trójkąty proste | Math Wiki

Specjalny trójkąt prosty to trójkąt, który ma pewną regularną cechę ułatwiającą obliczenia na tym trójkącie, lub dla którego istnieją proste wzory. Na przykład, trójkąt prosty może mieć kąty, które tworzą prosty stosunek, taki jak 45-45-90. Nazywa się to trójkątem prostokątnym „opartym na kątach”. Trójkąt prostokątny „oparty na boku” to taki, w którym długości boków tworzą stosunek liczb całkowitych, np. 3-4-5. Znajomość stosunków kątów lub boków tych specjalnych trójkątów prostokątnych pozwala na szybkie obliczanie różnych długości w zadaniach geometrycznych bez uciekania się do bardziej zaawansowanych metod.

Podstawa kątów

„Podstawa kątów” specjalnych trójkątów prostokątnych jest określona przez stosunek liczb całkowitych kątów, z których składa się trójkąt. Stosunek liczb całkowitych kątów w tych trójkątach jest taki, że większy (prawy) kąt jest równy sumie mniejszych kątów: ${displaystyle m:n:(m+n)}$ . Długości boków są zwykle wyprowadzane z podstawy koła jednostkowego lub innych metod geometrycznych. Ta forma jest najbardziej interesująca, ponieważ może być użyta do szybkiego odtworzenia wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30°, 45°, & 60°.

Trójkąt 45-45-90

Długości boków trójkąta 45-45-90 trójkąta

Konstruując przekątną kwadratu otrzymujemy trójkąt, którego trzy kąty są w stosunku ${displaystyle 1:1:2:}$ . Przy sumowaniu się trzech kątów do 180° (π) kąty mają odpowiednio miarę 45° ${displaystyle ({frac {pi }{4}}),}$ ${displaystyle ({frac {pi }{4}}),}$ i 90° ${displaystyle ({frac {pi }{2}}).}$ Boki są w stosunku

${displaystyle 1:1:{{sqrt {{2}}}},}$

Prosty dowód. Powiedzmy, że mamy taki trójkąt o nogach a i b oraz przeciwprostokątnej c. Załóżmy, że a = 1. Ponieważ dwa kąty mają miarę 45°, to jest to trójkąt równoramienny i mamy b = 1. Fakt, że ${displaystyle c={sqrt {2}}}$ wynika bezpośrednio z twierdzenia pitagorejskiego.

Trójkąt 30-60-90

Długości boków trójkąta 30-60-.90 trójkąta

Jest to trójkąt, którego trzy kąty leżą w stosunku ${styl 1:2:3:}$ i odpowiednio mierzą 30°, 60° i 90°. Ponieważ trójkąt ten jest połową trójkąta równobocznego, niektórzy nazywają go trójkątem hemieq. Oznaczenie 30-60-90 jest nie tylko kłopotliwe, ale odnosi się do stopnia, arbitralnego podziału miary kątowej. Boki są w stosunku ${displaystyle 1-{sqrt {3}}-2}$ .

Dowód tego faktu jest jasny przy użyciu trygonometrii. Chociaż dowód geometryczny jest mniej oczywisty, to jest równie banalny:

Narysuj trójkąt równoboczny ABC o boku długości 2 i punkcie D jako środku odcinka BC. Narysuj linię wysokości od A do D. Wtedy ABD jest trójkątem 30-60-90 (Hemieq) z przeciwprostokątną o długości 2 i podstawą BD o długości 1. Fakt, że pozostała noga AD ma długość ${displaystyle {{sqrt {3}}}$ wynika bezpośrednio z twierdzenia Pitagorasa.

Boczne

Wszystkie specjalne trójkąty prostokątne o podstawie bocznej mają kąty, które niekoniecznie są liczbami wymiernymi, ale których boki zawsze mają długość całkowitą i tworzą trójkąt pitagorejski. Są one najbardziej użyteczne w tym, że można je łatwo zapamiętać i dowolna wielokrotność boków daje tę samą relację.

Powszechne trójki pitagorejskie

Istnieje kilka trójek pitagorejskich, które są bardzo dobrze znane, w tym:

${displaystyle 3:4:5,}$ ${displaystyle 5:12:13,}$ ${displaystyle 6:8:10,}$ (wielokrotność trójki 3:4:5) ${displaystyle 8:15:17,}$ ${displaystyle 7:24:25,}$

Najmniejszy z nich (i jego wielokrotności, 6:8:10, 9:12:15,….) jest jedynym trójkątem prostokątnym z krawędziami w postępie arytmetycznym. Trójkąty oparte na trójkącie pitagorejskim są trójkątami herodiańskimi i dlatego mają pole całkowite.

Trójkąty Fibonacciego

Zaczynając od 5, każda inna liczba Fibonacciego {0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144, 233,377, 710,…} jest długością przeciwprostokątnej trójkąta prostego o bokach całkowitych, lub innymi słowy, największą liczbą w trójkącie pitagorejskim. Długość dłuższej nogi tego trójkąta jest równa sumie trzech boków poprzedniego trójkąta w tej serii trójkątów, a krótsza noga jest równa różnicy między poprzednią ominiętą liczbą Fibonacciego a krótszą nogą poprzedniego trójkąta.

Pierwszy trójkąt w tej serii ma boki o długościach 5, 4 i 3. Pomijając 8, następny trójkąt ma boki długości 13, 12 (5 + 4 + 3), i 5 (8 – 3). Pomijając 21, następny trójkąt ma boki długości 34, 30 (13 + 12 + 5), i 16 (21 – 5). Ta seria ciągnie się w nieskończoność i zbliża się do trójkąta ograniczającego o współczynnikach krawędzi:

${sqrt {5}}:2:1}$ .

Ten trójkąt prosty jest czasami nazywany domem, nazwa zaproponowana przez Andrew Clarke’a, aby podkreślić, że jest to trójkąt otrzymany z rozcięcia domina wzdłuż przekątnej. Dom stanowi podstawę aperiodycznego pinwheel tiling zaproponowanego przez Johna Conwaya i Charlesa Radina.

Prawie-izoboczne trójkąty pitagorejskie

Prawie-izoboczne trójkąty prostokątne nie mogą mieć boków o wartościach całkowitych. Istnieje jednak nieskończenie wiele trójkątów prawie równoramiennych. Są to trójkąty prostokątne o bokach całkowitych, dla których długości krawędzi nie będących hipotensjami różnią się o jeden. Takie prawie-izo-sieczne trójkąty prostokątne można otrzymać rekurencyjnie za pomocą równania Pella:

a0 = 1, b0 = 2 an = 2bn-1 + an-1 bn = 2an + bn-1

an jest długością przeciwprostokątnej, n=1, 2, 3,…. . Najmniejsze otrzymane trójki pitagorejskie to:

${styl 3:4:5,}$ ${styl 20:21:29,}$ ${styl 119:120:169,}$ ${displaystyle 696:697:985,}$

Obliczanie wspólnych funkcji trygonowych

Specjalne trójkąty są używane do pomocy w obliczaniu wspólnych funkcji trygonowych, jak poniżej:

Stopnie	Radiany	sin	cos	tan
0	0	0	1	0
30	${displaystyle {{frac {{pi }{6}}}$	${displaystyle {{sqrt {{1}{2}}}}$	${displaystyle {{sqrt {{3}}{2}}}$	${displaystyle {{displayrac {{sqrt {{3}}{3}}}$
45	${displaystyle {{displayrac {{pi {{4}}}$	${displaystyle {{displayfrac {{sqrt {2}}{2}}}$	${displaystyle {{displayfrac {{sqrt {2}}{2}}$	1
60	${displaystyle {{prac {{pi}}}}$	${displaystyle {{sqrt {3}{2}}}$	${displaystyle {{sqrt {1}{2}}}$	${displaystyle {{sqrt {{3}}}$
90	${displaystyle {{frac {{pi}}}}$	1	0	-.