SEMIGROUPEN UND DISSIPATIVE OPERATOREN
18 Sei A ein Operator, für den die Differentialgleichung u′(t) = A(u(t)) irgendeine Art von „Lösungen“ hat. Genauer: Nehmen wir an, M sei eine Teilmenge eines Banach-Raums, und für jedes x0 ∈ M gebe es eine eindeutige Lösung u : =exp(-xλ)=-1λg(x)exp(-xλ).
Integrieren Sie beide Seiten – z. B. ausgehend von x = 0 – und Sie erhalten
für eine Konstante C. Um den Wert von C zu finden, nehmen Sie Grenzwerte auf beiden Seiten dieser Gleichung als x → ∞. Wir haben f(x) → 0, da f bei ∞ verschwindet, und somit C=1λ∫0∞g(t)exp(-t/λ)dt. Dieses Integral konvergiert, da g im Unendlichen verschwindet und exp(-t/λ) exponentiell schnell verschwindet. Daher kann die zuletzt dargestellte Gleichung umgeschrieben werden
(I – λA)-1 ist ein nicht-expansiver linearer Operator, der überall auf C0(ℝ) definiert ist.
Dies ist typisch für die Art von Operatoren, auf die der Crandall-Liggett-Satz anwendbar ist – aber wir betonen, dass dieser Satz auch für viel kompliziertere Operatoren gilt.
Übung Modifizieren Sie die obigen Berechnungen und zeigen Sie, dass (I + λA)-1 ebenfalls ein nicht-expansiver linearer Operator ist, der überall auf C0(ℝ) definiert ist, für jedes λ > 0.
20 Sei X ein Banachraum, und sei J : X → P(X*) seine Dualitätsabbildung (definiert wie in 28.44). Sei A eine Abbildung von einer Teilmenge von X in X. Dann sind die folgenden zwei Bedingungen äquivalent; wenn eine (also beide) erfüllt sind, sagen wir, A sei dissipativ (oder -A ist akkretiv):
Beweis (nach Cioranescu ). Es sei y1 = A(x1) und y2 = A(x2). Es sei x^=x1-x2 und y^=y1-y2; dann sollen wir zeigen, dass
wenn und nur wenn
Für (B′) ⇒ (A′) berechnen wir einfach
Daraus schließen wir sowohl
Da η0 in der Einheitskugel liegt, können wir schließen, dass ‖x^‖≤η0(x^) und ||η0|| = 1 ist. Dann ist φ=‖x^‖η0 ein Mitglied von J(x^), das φ(y^)≤0 erfüllt.
21 Sei X ein Banachraum, und sei J : X → P(X*) seine Dualitätsabbildung. Sei A eine Abbildung von einer Teilmenge von X in X, und sei ω eine nichtnegative Zahl. Dann sind die folgenden drei Bedingungen äquivalent (Übung); wenn sie erfüllt sind, sagen wir, A ist Ω-dissipativ:
22 Wenn A eine Lipschitzsche Abbildung ist, mit 〈A〉Lip ≤ ω, dann sind A und -A beide ω-dissipativ. Aus diesem Grund werden Dissipativitätsbedingungen manchmal als einseitige Lipschitz-Bedingungen bezeichnet.
Diese Terminologie kann jedoch irreführend sein. Definieren Sie zum Beispiel A wie in 30.19. Dann sind A und -A beide dissipativ, aber A ist nicht lipschitzianisch; tatsächlich ist A nicht einmal stetig.
Wenn X eindimensional ist – d.h. wenn X nur die reelle Linie ist – dann ist A dissipativ, wenn (x1 – x2)(A(y1) – A(y2)) ≤ 0; diese Ungleichung ist erfüllt, wenn A eine abnehmende Funktion ist.
24 Sei C eine Teilmenge eines Banach-Raums X, und sei S eine Halbgruppe von Selbstabbildungen von C. Es sei 〈S(t)〉Lip ≤ eωt für eine Konstante ω ≥ 0 und alle t ≥ 0. Definieren Sie eine Abbildung von einer Teilmenge von C nach X durch
wobei der Bereich des Operators A die Menge aller x ∈ C ist, für die der Grenzwert existiert. Dann ist A ω-dissipativ.
Beweis Fixieren Sie beliebige x1, x2 ∈ Dom(A) und λ ∈ (0, 1/ω); sei h > 0. Dann
Grenzwerte annehmen als h ↓ 0, um zu beweisen
Beweis Sei x = R(α)u und y = R(β)υ; also u = x – αA(x) und υ = y – βA(y). Wählen Sie irgendein φ ∈ J(x – y), so dass φ ≤ ω||x – y||2. Dann
Dividieren Sie durch ||x – y|, um die gewünschte Ungleichung zu erhalten.
26 Seien α und β positive Zahlen. Seien cj,k nichtnegative reelle Zahlen, die erfüllen
für alle nichtnegativen ganzen Zahlen j, k. Dann ist cj,k≤(jα-kβ)2+jα2+kβ2 für alle nichtnegativen ganzen Zahlen j, k.
Allgemeiner, sei α, β > 0 und ω ≥ 0 mit max{ωα, ωβ} < 1. Seien cj,k nichtnegative reelle Zahlen, die erfüllen
für alle nichtnegativen ganzen Zahlen j, k. Dann
für alle nichtnegativen ganzen Zahlen j, k.
Bemerkungen Diese Ungleichung wird in 30.27 verwendet. Sie zeigt, dass cj,k auch bei großen j, k klein sein kann, vorausgesetzt, dass α, β und jα – kβ klein sind. Bei einer ersten Lektüre möchte sich der Leser vielleicht auf den Spezialfall von ω = 0 konzentrieren, der im ersten Absatz des Lemmas angegeben ist, da dieser Fall etwas einfacher in der Notation ist und immer noch die meisten der Hauptideen enthält.
Grundriss des Beweises Zunächst ein paar Vorberechnungen. Zeigen Sie, dass
Auch aus ω(α + β)2 – 2(α + β) ≤ 0 ≤ αβω erhalten wir
Auch durch die Cauchy-Bunyakovski-Schwarz-Ungleichung (2.10),
für beliebige nichtnegative Zahlen p und q.
Nun ist die Rasmussen-Kobayashi Ungleichung (RK) aus (1) klar, wenn j = 0 oder k = 0. Die Ungleichung wird für größere j und k durch doppelte Induktion bewiesen. In den folgenden Berechnungen ist der Schritt (Ind) durch die Induktionshypothese. Berechnen
Damit ist der Induktionsschritt und damit der Beweis von (RK) abgeschlossen.
27 Der Crandall-Liggett-Satz wird allgemein als Satz über Differentialgleichungen in Banachräumen betrachtet. Der Crandall-Liggett-Satz hat außer in diesem Rahmen keine Anwendungen. Ein großer Teil des Beweises kann jedoch in der einfacheren Umgebung eines vollständigen metrischen Raums dargestellt werden. Wir werden diesen Ansatz wählen, weil er ohne die Ablenkungen der linearen Struktur begrifflich einfacher zu erfassen ist und weil er eine interessante Anwendung der metrischen Vollständigkeit bietet. Es ist einer der wenigen Fälle, die dem Autor bekannt sind, in denen wir Lipschitz-Abbildungen verwenden, ohne den Kontraktions-Fixpunkt-Satz zu benutzen.
Im folgenden Satz lassen wir T = +∞ zu, wenn ω = 0 ist. Die Berechnungen sind in diesem Fall etwas einfacher, so dass sich Anfänger vielleicht auf diesen Fall konzentrieren wollen.
und
und angenommen, dass die Menge D = {x ∈ M : Γ(x) < ∞} dicht in M ist.
Die Abbildung (t, x) ↦ S(t)x ist gemeinsam stetig von . Das Buch von Haraux deckt einen Teil der Banach-Raum-Theorie ab, widmet aber auch dem Hilbert-Raum-Fall besondere Aufmerksamkeit.
Der Crandall-Liggett-Satz, wie wir ihn vorgestellt haben, lässt sich leicht auf die differentielle Inklusion u′(t) ∈ A(u(t)) erweitern. Wenn wir die Bereichsbedingung verstärken und verlangen, dass Ran(I – λA) = X für alle hinreichend kleinen λ > 0 ist, dann ist es möglich, die Existenz von Lösungen des Anfangswertproblems zu beweisen
Viel wurde auch über Differentialeinschlüsse der Form u′(t) ∈ A(t, u(t)) geschrieben, wobei A(t, ⋅) ein Ω-dissipativer Operator für jedes feste t ist. Eine Referenz für dieses Thema ist Pavel; in diesem Buch werden auch viele Anwendungen auf partielle Differentialgleichungen vorgestellt. Die Theorie zu diesem Thema ist nicht so elegant, aber es gibt einen guten Grund dafür. Für die maximale Anwendbarkeit auf partielle Differentialgleichungen haben sich die Forscher für Probleme interessiert, bei denen die verschiedenen Operatoren A(t, ⋅) für verschiedene feste Werte von t verschiedene Domänen haben und bei denen Dom(A(t, ⋅)) erratisch mit t variiert, was das Problem erheblich komplizierter macht.
30 In den vorangegangenen Seiten haben wir mehrere wesentlich unterschiedliche Theorien von Anfangswertproblemen entwickelt, die die Hypothesen der Lipschitz-Bedingungen, der Kompaktheit, der Isotonie und der Dissipativität verwenden. Historisch gesehen haben sich diese Theorien separat entwickelt, für verschiedene Arten von Anwendungen. Es ist verlockend, zu versuchen, diese Theorien zu Spezialfällen einer einzigen, allgemeineren Theorie zu machen. Sicherlich ist es möglich, zumindest ein paar schwache Ergebnisse in einem allgemeineren Rahmen zu beweisen – siehe z.B. 30.6.
In Wahrheit sind wir jedoch sehr weit von einer vollständigen oder einheitlichen Theorie entfernt. Die verschiedenen Hauptuntertheorien – Lipschitzheit, Kompaktheit, Isotonizität usw. – sind sehr unterschiedlicher Natur; zwischen ihnen liegen große konzeptionelle Lücken. In der Literatur gibt es nur eine Handvoll Beispiele für die Nichtexistenz von Lösungen, die meisten davon ähnlich dem Beispiel 30.4 von Dieudonné; die Beispiele für die Nichtexistenz sind nicht vielfältig genug, um die Lücken zwischen unseren Existenztheorien zu erklären. Wir sind also noch sehr weit von einem klaren Verständnis dessen entfernt, was die Anfangswertprobleme „wirklich“ zum Funktionieren bringt.
Bescheidener als die Suche nach einer großen vereinheitlichten Theorie ist das Programm zur Lösung von Problemen der Form u′(t) = A(u(t)) + B(u(t)), wobei A und B Operatoren zweier verschiedener Typen sind – z. B. wenn A eine Dissipativitätsbedingung und B eine Kompaktheitsbedingung erfüllt. Eine solche Theorie würde die Dissipativitäts- und Kompaktheitstheorien als Spezialfälle einschließen, da wir A = 0 oder B = 0 nehmen könnten (da der Operator 0 sowohl dissipativ als auch kompakt ist). Dieses Programm hat einigen Erfolg gehabt, zumindest wenn die Operatoren kontinuierlich sind – zum Beispiel ist bekannt, dass die Summe eines kontinuierlichen dissipativen Operators, eines kontinuierlichen kompakten Operators und eines kontinuierlichen isotonen Operators eine Evolution erzeugt; siehe Volkmann. Aber ohne Kontinuität ist das Problem noch offen. Für das kompakte plus dissipative Problem können einige Diskussionen und Teilergebnisse in Schechter und Vrabie gefunden werden.