Bayes’sche Inferenz

Bayes’sches Theorem

Angenommen, Sie entscheiden sich bei Ihrem letzten Besuch beim Arzt, sich auf eine seltene Krankheit testen zu lassen. Wenn Sie das Pech haben, ein positives Ergebnis zu erhalten, ist die logische nächste Frage: „Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ich diese Krankheit tatsächlich habe?“ (Medizinische Tests sind schließlich nicht perfekt genau.) Der Satz von Bayes sagt uns genau, wie wir diese Wahrscheinlichkeit berechnen können:

$P(\text{Krankheit}|+) = \frac{P(+|\text{Krankheit})P(\text{Krankheit})}{P(+)}$

Wie die Gleichung zeigt, hängt die posteriore Wahrscheinlichkeit, die Krankheit zu haben, wenn der Test positiv war, von der vorherigen Wahrscheinlichkeit der Krankheit \( P(\text{Krankheit}) \) ab. Stellen Sie sich dies als die Inzidenz der Krankheit in der Allgemeinbevölkerung vor. Bestimmen Sie diese Wahrscheinlichkeit, indem Sie die Balken unten ziehen.

Die Nachwahrscheinlichkeit hängt auch von der Testgenauigkeit ab: Wie oft meldet der Test korrekt ein negatives Ergebnis für einen gesunden Patienten, und wie oft meldet er ein positives Ergebnis für jemanden mit der Krankheit? Bestimmen Sie diese beiden Verteilungen unten.

Schließlich müssen wir die Gesamtwahrscheinlichkeit für ein positives Ergebnis kennen. Verwenden Sie die Schaltflächen unten, um die Durchführung des Tests an einer repräsentativen Stichprobe aus der Bevölkerung zu simulieren.

Wir haben jetzt alles, was wir brauchen, um die posteriore Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, dass Sie die Krankheit haben. Die folgende Tabelle gibt diese Wahrscheinlichkeit unter anderem mit Hilfe des Satzes von Bayes an.