Unabhängig wiederholte Versuche eines Experiments mit genau zwei möglichen Ergebnissen werden als Bernoulli-Versuche bezeichnet. Nennen Sie einen der Ausgänge „Erfolg“ und den anderen Ausgang „Misserfolg“. Sei p {\displaystyle p}
sei die Erfolgswahrscheinlichkeit in einem Bernoulli-Versuch, und q {\displaystyle q}
sei die Misserfolgswahrscheinlichkeit. Dann addieren sich die Erfolgswahrscheinlichkeit und die Misserfolgswahrscheinlichkeit zu eins, da es sich um komplementäre Ereignisse handelt: „Erfolg“ und „Misserfolg“ schließen sich gegenseitig aus und sind erschöpfend. Somit hat man folgende Beziehungen: p = 1 – q , q = 1 – p , p + q = 1. {\displaystyle p=1-q,\quad \quad q=1-p,\quad \quad p+q=1.}
Alternativ können diese in Form von Quoten angegeben werden: bei einer Wahrscheinlichkeit p für Erfolg und q für Misserfolg sind die Quoten für p : q {\displaystyle p:q}
und die Quoten gegen sind q : p .
Diese können auch als Zahlen ausgedrückt werden, indem sie geteilt werden, was die Quoten für, f {\displaystyle o_{f}}
, und die Quoten gegen, o a : {\displaystyle o_{a}:}
, o f = p / q = p / ( 1 – p ) = ( 1 – q ) / q o a = q / p = ( 1 – p ) / p = q / ( 1 – q ) {\displaystyle {\begin{aligned}o_{f}&=p/q=p/(1-p)=(1-q)/q\\o_{a}&=q/p=(1-p)/p=q/(1-q)\end{aligned}}}
Dies sind multiplikative Inverse, also multiplizieren sie zu 1, mit den folgenden Beziehungen:
o f = 1 / o a , o a = 1 / o f , o f ⋅ o a = 1. o f = 1 / o a , o a = 1 / o f , o a = 1 / o f , o f ⋅ o a = 1.}
Für den Fall, dass ein Bernoulli-Versuch ein Ereignis aus endlich vielen gleich wahrscheinlichen Ausgängen darstellt, wobei S der Ausgänge Erfolg und F der Ausgänge Misserfolg sind, sind die Quoten für S : F {\displaystyle S:F}
und die Quoten gegen sind F : S .
Daraus ergeben sich die folgenden Formeln für Wahrscheinlichkeit und Quoten: p = S / ( S + F ) q = F / ( S + F ) o f = S / F o a = F / S {\displaystyle {\begin{aligned}p&=S/(S+F)\\q&=F/(S+F)\\o_{f}&=S/F\\o_{a}&=F/S\end{aligned}}}
Beachten Sie, dass hier die Quoten berechnet werden, indem die Anzahl der Ergebnisse dividiert wird, nicht die Wahrscheinlichkeiten, aber das Verhältnis ist dasselbe, da sich diese Verhältnisse nur durch Multiplikation beider Terme mit demselben konstanten Faktor unterscheiden.
Zufallsvariablen, die Bernoulli-Versuche beschreiben, werden oft mit der Konvention kodiert, dass 1 = „Erfolg“, 0 = „Misserfolg“ ist.
Nah verwandt mit einem Bernoulli-Versuch ist ein Binomialversuch, der aus einer festen Zahl n {\displaystyle n} besteht
von statistisch unabhängigen Bernoulli-Versuchen, jeder mit einer Erfolgswahrscheinlichkeit p {\displaystyle p}
, und zählt die Anzahl der Erfolge. Eine Zufallsvariable, die einem Binom entspricht, wird mit B ( n , p ) {\displaystyle B(n,p)} bezeichnet
, und man sagt, sie hat eine Binomialverteilung.Die Wahrscheinlichkeit von genau k {\displaystyle k}
Erfolge in dem Experiment B ( n , p ) {\displaystyle B(n,p)}
ist gegeben durch: P ( k ) = ( n k ) p k q n – k {\displaystyle P(k)={n \chose k}p^{k}q^{n-k}}
wobei ( n k ) {\displaystyle {n \Wahl k}}
ein Binomialkoeffizient ist.
Bernoulli-Versuche können auch zu negativen Binomialverteilungen führen (die die Anzahl der Erfolge in einer Reihe von wiederholten Bernoulli-Versuchen zählen, bis eine bestimmte Anzahl von Misserfolgen auftritt), sowie zu verschiedenen anderen Verteilungen.
Wenn mehrere Bernoulli-Versuche durchgeführt werden, jeder mit seiner eigenen Erfolgswahrscheinlichkeit, werden diese manchmal als Poisson-Versuche bezeichnet.