Was ist die Binomialverteilung?
Die Binomialverteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Wahrscheinlichkeit zusammenfasst, dass ein Wert einen von zwei unabhängigen Werten unter einem gegebenen Satz von Parametern oder Annahmen annehmen wird. Die zugrundeliegenden Annahmen der Binomialverteilung sind, dass es nur ein Ergebnis für jeden Versuch gibt, dass jeder Versuch die gleiche Erfolgswahrscheinlichkeit hat und dass jeder Versuch sich gegenseitig ausschließt oder unabhängig voneinander ist.
Key Takeaways
- Die Binomialverteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Wahrscheinlichkeit zusammenfasst, dass ein Wert einen von zwei unabhängigen Werten unter einem gegebenen Satz von Parametern oder Annahmen annehmen wird.
- Die zugrundeliegenden Annahmen der Binomialverteilung sind, dass es nur ein Ergebnis für jeden Versuch gibt, dass jeder Versuch die gleiche Erfolgswahrscheinlichkeit hat und dass jeder Versuch sich gegenseitig ausschließt oder unabhängig voneinander ist.
- Die Binomialverteilung ist eine gängige diskrete Verteilung, die in der Statistik verwendet wird, im Gegensatz zu einer kontinuierlichen Verteilung wie der Normalverteilung.
Verständnis der Binomialverteilung
Die Binomialverteilung ist eine gängige diskrete Verteilung, die in der Statistik verwendet wird, im Gegensatz zu einer kontinuierlichen Verteilung wie der Normalverteilung. Das liegt daran, dass die Binomialverteilung nur zwei Zustände zählt, die typischerweise als 1 (für einen Erfolg) oder 0 (für einen Misserfolg) bei einer bestimmten Anzahl von Versuchen in den Daten dargestellt werden. Die Binomialverteilung stellt also die Wahrscheinlichkeit für x Erfolge in n Versuchen dar, gegeben eine Erfolgswahrscheinlichkeit p für jeden Versuch.
Die Binomialverteilung fasst die Anzahl der Versuche oder Beobachtungen zusammen, wenn jeder Versuch die gleiche Wahrscheinlichkeit hat, einen bestimmten Wert zu erreichen. Die Binomialverteilung bestimmt die Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte Anzahl erfolgreicher Ergebnisse in einer bestimmten Anzahl von Versuchen zu beobachten.
Die Binomialverteilung wird in der sozialwissenschaftlichen Statistik häufig als Baustein für Modelle für dichotome Ergebnisvariablen verwendet, z. B. ob ein Republikaner oder Demokrat eine anstehende Wahl gewinnen wird oder ob eine Person innerhalb eines bestimmten Zeitraums sterben wird usw.
Analysieren der Binomialverteilung
Der Erwartungswert oder Mittelwert einer Binomialverteilung wird berechnet, indem man die Anzahl der Versuche mit der Erfolgswahrscheinlichkeit multipliziert. Zum Beispiel ist der Erwartungswert für die Anzahl der Köpfe in 100 Versuchen von Kopf und Zahl 50 oder (100 * 0,5). Ein weiteres gängiges Beispiel für die Binomialverteilung ist die Abschätzung der Erfolgswahrscheinlichkeit für einen Freiwurfschützen im Basketball, wobei 1 = ein Korb erzielt wird und 0 = ein Fehlwurf.
Der Mittelwert der Binomialverteilung ist np, und die Varianz der Binomialverteilung ist np (1 – p). Wenn p = 0,5 ist, ist die Verteilung symmetrisch um den Mittelwert. Wenn p > 0,5 ist, ist die Verteilung nach links schief. Wenn p < 0,5 ist, ist die Verteilung schief nach rechts.
Die Binomialverteilung ist die Summe einer Reihe von mehreren unabhängigen und identisch verteilten Bernoulli-Versuchen. Bei einem Bernoulli-Versuch wird das Experiment als zufällig bezeichnet und kann nur zwei mögliche Ergebnisse haben: Erfolg oder Misserfolg.
Zum Beispiel wird das Werfen einer Münze als Bernoulli-Versuch betrachtet; jeder Versuch kann nur einen von zwei Werten annehmen (Kopf oder Zahl), jeder Erfolg hat die gleiche Wahrscheinlichkeit (die Wahrscheinlichkeit, Kopf zu werfen, ist 0,5), und die Ergebnisse eines Versuchs beeinflussen die Ergebnisse eines anderen nicht. Die Bernoulli-Verteilung ist ein Spezialfall der Binomialverteilung, bei der die Anzahl der Versuche n = 1 ist.
Beispiel für die Binomialverteilung
Die Binomialverteilung wird berechnet, indem man die Erfolgswahrscheinlichkeit potenziert mit der Anzahl der Erfolge und die Misserfolgswahrscheinlichkeit potenziert mit der Differenz zwischen der Anzahl der Erfolge und der Anzahl der Versuche multipliziert. Dann multipliziert man das Produkt mit der Kombination aus der Anzahl der Versuche und der Anzahl der Erfolge.
Angenommen, ein Kasino hat ein neues Spiel entwickelt, bei dem die Teilnehmer Wetten auf die Anzahl von Kopf oder Zahl bei einer bestimmten Anzahl von Münzwürfen platzieren können. Angenommen, ein Teilnehmer möchte eine Wette im Wert von $10 darauf platzieren, dass bei 20 Münzwürfen genau sechs Mal Kopf fällt. Der Teilnehmer möchte die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass dies eintritt, und verwendet daher die Berechnung für die Binomialverteilung.
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