Charge critique d’Euler

Colonne à extrémités articuléesEdit

Le modèle suivant s’applique aux colonnes simplement supportées à chaque extrémité ( K = 1 {\displaystyle K=1}

).

Premièrement, nous allons mettre l’attention sur le fait qu’il n’y a pas de réactions dans les extrémités articulées, donc nous n’avons également aucun effort de cisaillement dans n’importe quelle section transversale de la colonne. La raison de l’absence de réactions peut être obtenue à partir de la symétrie (donc les réactions devraient être dans la même direction) et de l’équilibre des moments (donc les réactions devraient être dans des directions opposées).

En utilisant le diagramme de corps libre dans le côté droit de la figure 3, et en faisant une sommation des moments autour du point x :

Σ M = 0 ⇒ M ( x ) + P w = 0 {\displaystyle \Sigma M=0\Rightarrow M(x)+Pw=0}.

où w est la déviation latérale.

Selon la théorie des poutres d’Euler-Bernoulli, la déflexion d’une poutre est reliée à son moment de flexion par :

M = – E I d 2 w d x 2 {\displaystyle M=-EI{\frac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}}

,

Fig. 3 : Colonne terminée par des broches sous l’effet de la charge de flambage

alors:

E I d 2 w d x 2 + P w = 0 {\displaystyle EI{\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}+Pw=0}.

Let λ 2 = P E I {\displaystyle \lambda ^{2}={\frac {P}{EI}}

, donc : d 2 w d x 2 + λ 2 w = 0 {\displaystyle {\frac {d^{2}w}{dx^{2}}+\lambda ^{2}w=0}

On obtient une équation différentielle ordinaire classique homogène du second ordre.

Les solutions générales de cette équation sont : w ( x ) = A cos ( λ x ) + B sin ( λ x ) {\displaystyle w(x)=A\cos(\lambda x)+B\sin(\lambda x)}.

, où A {\displaystyle A}

et B {\displaystyle B}

sont des constantes à déterminer par les conditions aux limites, qui sont :

• L’extrémité gauche épinglée → w ( 0 ) = 0 → A = 0 {\displaystyle \rightarrow w(0)=0\rightarrow A=0}.
  
• Fin de droite épinglée → w ( l ) = 0 → B sin ( λ l ) = 0 {\displaystyle \rightarrow w(l)=0\rightarrow B\sin(\lambda l)=0}
  

Fig. 4 : Trois premiers modes de charges de flambage

Si B = 0 {\displaystyle B=0}

, aucun moment de flexion n’existe et on obtient la solution triviale de w ( x ) = 0 {\displaystyle w(x)=0}.

.

Cependant, à partir de l’autre solution sin ( λ l ) = 0 {\displaystyle \sin(\lambda l)=0}.

on obtient λ n l = n π {\displaystyle \lambda _{n}l=n\pi }.

, pour n = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle n=0,1,2,\ldots}

Avec λ 2 = P E I {\displaystyle \lambda ^{2}={frac {P}{EI}}

tels que définis précédemment, les différentes charges critiques sont : P n = n 2 π 2 E I l 2 {\displaystyle P_{n}={\frac {n^{2}\pi ^{2}EI}{l^{2}}}}

, pour n = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle n=0,1,2,\ldots }

et selon la valeur de n {\displaystyle n}

, différents modes de flambage sont produits comme le montre la figure 4. La charge et le mode pour n=0 est le mode non flambé.

Théoriquement, n’importe quel mode de flambage est possible, mais dans le cas d’une charge appliquée lentement, seule la première forme modale est susceptible d’être produite.

La charge critique d’Euler pour une colonne à extrémité en épingle est donc :

P c r = π 2 E I l 2 {\displaystyle P_{cr}={\frac {\pi ^{2}EI}{l^{2}}}}}.

et la forme obtenue de la colonne flambée dans le premier mode est :

w ( x ) = B sin ( π l x ) {\displaystyle w(x)=B\sin \left({\pi \over l}x\right)}

.

Approche généraleEdit

Figure 5 : forces et moments agissant sur une colonne.

L’équation différentielle de l’axe d’une poutre est :

d 4 w d x 4 + P E I d 2 w d x 2 = q E I {\displaystyle {\frac {d^{4}w}{dx^{4}}+{\frac {P}{EI}}{\frac {d^{2}w}{dx^{2}}={\frac {q}{EI}}}

Pour une colonne avec une charge axiale seulement, la charge latérale q ( x ) {\displaystyle q(x)}

disparaît et en substituant λ 2 = P E I {\displaystyle \lambda ^{2}={\frac {P}{EI}}}.

, on obtient : d 4 w d x 4 + λ 2 d 2 w d x 2 = 0 {\displaystyle {\frac {d^{4}w}{dx^{4}}+\lambda ^{2}{\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}=0}

C’est une équation différentielle homogène d’ordre 4.ordre et sa solution générale est

w ( x ) = A sin ( λ x ) + B cos ( λ x ) + C x + D {\displaystyle w(x)=A\sin(\lambda x)+B\cos(\lambda x)+Cx+D}

Les quatre constantes A , B , C , D {\displaystyle A,B,C,D}

sont déterminées par les conditions aux limites (contraintes finales) sur w ( x ) {\displaystyle w(x)}.

, à chaque extrémité. Il existe trois cas :

1. Finale épinglée : w = 0 {\displaystyle w=0}
   

   et M = 0 → d 2 w d x 2 = 0 {\displaystyle M=0\rightarrow {d^{2}w \over dx^{2}}=0}.

   
2. Fixed end : w = 0 {\displaystyle w=0}
   

   et d w d x = 0 {\displaystyle {dw \over dx}=0}

   
3. Finale libre : M = 0 → d 2 w d x 2 = 0 {\displaystyle M=0\rightarrow {d^{2}w \over dx^{2}}=0}
   

   et V = 0 → d 3 w d x 3 + λ 2 d w d x = 0 {\displaystyle V=0\rightarrow {d^{3}w \over dx^{3}}+\lambda ^{2}{dw \over dx}=0}

   

Pour chaque combinaison de ces conditions aux limites, on obtient un problème de valeurs propres. En résolvant ceux-ci, on obtient les valeurs de la charge critique d’Euler pour chacun des cas présentés dans la figure 1.

.