Centroïde d’un triangle (Comment trouver, définition, formule, & Exemples)
VidéoDefinitionMédianeComment trouver les longueurs médianesEmplacement du centroïde
Les centroïdes peuvent ressembler à de gros rochers venus de l’espace, mais ils sont en fait des caractéristiques importantes des triangles. Ils ont également des applications en aéronautique, car ils concernent le centre de gravité (CG) des formes.
Ce que vous allez apprendre :
Après avoir travaillé sur cette leçon et cette vidéo, vous serez capable de :
- Rappeler la définition du centroïde d’un triangle et des médianes de triangles
- Expliquer comment trouver le centroïde d’un triangle
- Relier le centroïde au centre de gravité
- Calculer la longueur des médianes en utilisant le centroïde d’un triangle
- Marquer l’emplacement d’un centroïde en utilisant une seule médiane
Centroïde d’un triangle
Tout triangle possède un point unique quelque part près de son « milieu » qui permet au triangle de s’équilibrer parfaitement, si le triangle est fait d’un matériau rigide. Le centroïde d’un triangle est ce point d’équilibre, créé par l’intersection des trois médianes.
Si le triangle était découpé dans un matériau uniformément dense, comme du carton solide, de la tôle ou du contreplaqué, le centroïde serait l’endroit où le triangle tiendrait en équilibre sur le bout de votre doigt.
Médiane d’un triangle
La médiane d’un triangle est le segment de droite créé en joignant un sommet au point médian du côté opposé, comme ceci :
Puisque chaque triangle a trois côtés et trois angles, il a trois médianes :
Comment trouver le centroïde
Pour trouver le centroïde d’un triangle quelconque, construisez des segments de droite à partir des sommets des angles intérieurs du triangle jusqu’aux points médians de leurs côtés opposés. Ces segments de droite sont les médianes. Leur intersection est le centroïde.
Le centroïde a une propriété intéressante en plus d’être un point d’équilibre pour le triangle. Il est toujours à 23 du sommet le long de la médiane, ce qui signifie qu’il est aussi à 13 du milieu du côté. Ceci est vrai pour tous les triangles.
Une autre façon de penser à cette rupture de la médiane est de remarquer que c’est un rapport de 2:1, le 2 étant toujours la partie de l’angle intérieur au centroïde, et le 1 étant toujours la distance du centroïde au milieu d’un côté.
Calcul des longueurs de médiane
Voici △CAT avec les médianes AW, TM et CE. On sait que le centroïde, le point O, se trouve à cet endroit exact :
- 23 de la distance le long de chaque médiane des angles intérieurs C, A et T
- 13 de la distance le long de la médiane du milieu des côtés CA, AT et CT
Si on sait que le centroïde est à 6 cm de l’angle intérieur C, quelle est la longueur de la médiane CE ?
Si nous savons que le centroïde O est à 23 de la médiane AW, et qu’il est à 7,5 cm de l’angle intérieur A, quelle est la longueur de la médiane AW ?
Réfléchissez : 7,5 est 23 de quel nombre ?
Vous avez dit 11,25 cm ? Nous l’espérons, car c’est la bonne réponse !
Découvrir l’emplacement du centroïde
Maintenant que vous savez que le centroïde doit être à 23 de la distance de la médiane par rapport à un angle intérieur, vous pouvez trouver le centroïde de n’importe quel triangle en utilisant une seule médiane !
Voici △DOG, avec une seule médiane, OF, construite en situant le point F exactement à mi-chemin de DG. La médiane OF mesure 36 cm de long.
Puisque vous savez que le centroïde est égal à 23 de la distance le long de OF, vous pouvez mesurer 23 de 36 cm, soit 24 cm, le long de OF pour trouver le centroïde.
Maintenant, vous faites un essai ! Supposons que vous sachiez que l’UD médian est de 18 cm ; à quelle distance le long de celui-ci se trouvera le centroïde ?
Nous espérons que vous avez dit 12 cm, car 12 cm est 23 de 18 cm !
Faire et trouver un centroïde !
Vous pouvez apprendre à trouver le centroïde, et vous prouver qu’il s’agit bien du centre de gravité (CG) du triangle, à l’aide d’un morceau de carton solide (comme du carton pour affiche ou de l’aggloméré), d’une règle, d’un crayon et de ciseaux.
Utilisez la règle pour dessiner le type de triangle que vous voulez : aigu, droit, obtus. Dans chaque triangle, le centroïde est toujours à l’intérieur du triangle !
Mesurez et localisez le point médian de chaque côté du triangle. Marquez clairement le point médian. Reliez les trois points médians avec leurs sommets opposés. Ces lignes sont les médianes.
L’endroit où les médianes se croisent est le centroïde. Découpez le triangle avec précaution. Tenez-le au-dessus de votre index, de façon à ce que le centroïde soit sur le bout de votre doigt. Relâchez avec l’autre main. Le triangle doit s’équilibrer parfaitement !
Centroïdes artistiques
Les centroïdes fournissent des points d’équilibre pour les triangles, ils sont donc des points importants pour les artistes qui construisent des mobiles, ou des sculptures mobiles. Vous pouvez fabriquer vous-même un tel mobile, en utilisant du fil de fer, de la ficelle ou du fil de pêche, et des triangles de différentes tailles découpés dans du plastique rigide, du carton ou du bois fin.
Peut-on peindre chaque triangle d’une couleur vive (les couleurs primaires et secondaires vont très bien ensemble), puis attacher chaque triangle par son centroïde à un fil de fer. Le fil peut être suspendu à un autre fil, et ainsi de suite, jusqu’à ce que vous ayez un mobile équilibré. Chaque triangle planera dans l’air complètement à plat, puisque le centroïde est son point d’équilibre.
Le sculpteur Alexander Calder est célèbre pour ses mobiles aux couleurs vives, utilisant souvent des pièces très proches des formes triangulaires.
Centroïdes aéronautiques
Les avions doivent être parfaitement équilibrés autour de leur centroïde, ou centre de gravité (CG) pour que le pilote puisse garder le contrôle. De nombreux facteurs influencent la capacité du pilote à contrôler le mouvement de l’avion dans trois axes différents, mais si l’avion n’est pas conçu pour s’équilibrer autour de son CG ou centroïde, aucun contrôle du pilote ne sera suffisant pour que l’avion vole correctement.
Le CG d’un avion s’applique que vous construisiez un modèle réduit, un avion radiocommandé ou un véritable avion militaire ou de passagers. Vous pouvez en apprendre beaucoup plus sur le centroïde d’une forme irrégulière, le CG d’un avion et les mathématiques pour trouver le CG, avec une vidéo de la NASA disponible en ligne.
Résumé de la leçon
Maintenant que vous avez exploré chaque aspect de cette leçon, vous êtes capable de rappeler la définition du centroïde d’un triangle, de rappeler la définition et de reconnaître les médianes des triangles, et d’expliquer comment trouver le centroïde d’un triangle. Vous êtes également en mesure de faire le lien entre le centroïde et le centre de gravité, et de calculer la longueur des médianes à l’aide du centroïde d’un triangle, et de trouver le centroïde en utilisant une seule médiane.
La prochaine leçon:
Comment trouver l’orthocentre d’un triangle