Conception et analyse de circuits imprimés

Ce diapason C5 vibrera à sa fréquence naturelle amortie

Les personnes familières avec les oscillateurs sont plus susceptibles de penser en termes d’oscillateur harmonique simple, comme un pendule ou une masse sur un ressort. Ces systèmes sont conceptuellement simples, mais leurs modèles mathématiques ne rendent pas compte des propriétés réalistes de ces systèmes. Tout oscillateur possède certains paramètres physiques importants, et la réponse du système lorsqu’il est piloté ne correspondra pas à la réponse observée lorsqu’on le laisse osciller librement.

En électronique, différents circuits fonctionneront comme des oscillateurs, où la tension et le courant présentent une réponse périodique dans le temps. Tout comme les oscillateurs mécaniques, les circuits oscillateurs peuvent présenter une résonance dans les bonnes conditions. Les choses deviennent mathématiquement confuses pour certains concepteurs dans la mesure où la réponse réelle d’un oscillateur est définie en termes de trois fréquences différentes. Clarifions la différence entre la fréquence de résonance et la fréquence naturelle dans les circuits oscillateurs purement linéaires.

Fréquence d’oscillation amortie par rapport à la fréquence naturelle dans les oscillateurs non entraînés

Bien que nous puissions quantifier une fréquence naturelle dans les oscillateurs harmoniques mécaniques et électriques, le système n’oscille jamais vraiment à la fréquence naturelle. Cela est dû au fait que, dans un modèle idéal d’oscillateur, nous aimons ignorer l’effet de l’amortissement afin de pouvoir comprendre certains aspects fondamentaux du système. Dans un oscillateur mécanique, cela signifie que nous ignorons brièvement la friction ou tout autre mécanisme qui dissipe l’énergie cinétique. Dans un circuit, cela signifie que nous omettons les éléments du circuit qui dissipent l’énergie sous forme de chaleur, c’est-à-dire que le circuit ne contient que des éléments capacitifs et inductifs.

Lorsqu’un oscillateur non entraîné et non amorti est déplacé par rapport à l’équilibre, le système oscillera à sa fréquence naturelle. Cependant, les circuits d’oscillateurs réels contiennent toujours un certain amortissement ; dans un circuit LC, les conducteurs ont une certaine petite quantité de résistance, ce qui assure l’amortissement du circuit. Cela est également vrai dans les oscillateurs mécaniques ; il y a toujours une certaine source d’amortissement qui convertit l’énergie cinétique en chaleur, ce qui explique pourquoi un pendule oscillant finit par ralentir jusqu’à l’arrêt.

L’effet de l’amortissement conduit à deux phénomènes dans les oscillateurs non entraînés qui sont autorisés à osciller naturellement lorsqu’ils sont déplacés de l’équilibre :

• L’oscillation décroît avec le temps. L’amortissement dans un circuit oscillateur se produit parce qu’une partie de l’énergie électrique (c’est-à-dire l’énergie cinétique des charges qui circulent) est perdue sous forme de chaleur. Cela entraîne la décroissance de l’amplitude de l’oscillation dans le temps.

• La fréquence de l’oscillation amortie n’est pas égale à la fréquence naturelle. L’amortissement fait que la fréquence de l’oscillation amortie est légèrement inférieure à la fréquence naturelle. La fréquence de l’oscillation amortie est définie dans l’équation ci-dessous :

La fréquence d’oscillation d’un oscillateur amorti, undriven oscillator

Enfin, lorsque le taux d’amortissement est égal à la fréquence naturelle, il n’y a pas d’oscillation transitoire, ce qui signifie que la tension et le courant dans le circuit décroissent simplement pour revenir à l’équilibre ; C’est ce qu’on appelle l’amortissement critique. Lorsque le taux d’amortissement ne cesse d’augmenter au-dessus de la fréquence naturelle, le temps nécessaire à la tension et au courant pour retomber à l’équilibre s’allonge.

Si vous deviez effectuer une analyse transitoire d’un circuit oscillateur et mesurer la fréquence d’oscillation, vous ne mesurez pas la fréquence naturelle. Vous mesurez en fait la fréquence d’oscillation amortie définie dans l’équation ci-dessus. Vous pouvez ensuite extraire le taux d’amortissement en traçant le logarithme naturel des données de décroissance (indiquées à l’aide de points rouges dans le graphique ci-dessous) de la forme d’onde de réponse en fonction du temps ; la négative de la pente de cette ligne est égale au taux d’amortissement.

La fréquence d’oscillation d’un oscillateur amorti, undriven oscillator

Dans le graphique ci-dessus, les maxima successifs sont marqués par des points rouges, et le logarithme de ces données de courant électrique est tracé dans le graphique de droite. D’après la droite de régression, on constate que le taux d’amortissement dans ce circuit est de 0,76 par seconde. La vitesse d’oscillation amortie peut être déterminée entre deux maxima consécutifs dans le graphique de gauche et a une valeur de 3,929 rad par seconde. Une fois que vous connaissez le taux d’amortissement et la fréquence d’oscillation amortie, vous pouvez facilement calculer la fréquence naturelle en utilisant l’équation ci-dessus. Dans cette simulation, la fréquence naturelle est de 4 rad par seconde. Vous pouvez également voir sur la courbe de décroissance exponentielle que le courant initial était de 1 A.

Fréquence de résonance vs fréquence naturelle dans les oscillateurs pilotés

Lorsqu’un circuit oscillateur est piloté par un signal périodique, le courant et la tension oscillent à la même fréquence de répétition que le signal de pilotage. Cependant, les formes d’onde ne correspondront pas parfaitement car la fonction de transfert d’un circuit oscillateur déforme ces signaux ; en d’autres termes, le circuit oscillateur agit également comme un filtre/amplificateur (plus d’informations à ce sujet ci-dessous). Pour voir comment différents circuits oscillateurs peuvent se comporter, il est utile de considérer un oscillateur mécanique qui est uniquement piloté avec un signal sinusoïdal.

La résonance est un phénomène qui se produit lorsqu’un oscillateur est piloté avec un signal périodique ayant une fréquence spécifique, appelée fréquence de résonance. Dans un oscillateur piloté sans amortissement, la fréquence de résonance est égale à la fréquence propre. C’est toujours le cas pour les oscillateurs non amortis, mais ce n’est pas toujours le cas pour les oscillateurs amortis. Les véritables oscillateurs pilotés sont amortis, et la fréquence de résonance n’est pas toujours égale à la fréquence naturelle. Pour un oscillateur mécanique amorti piloté typique, la fréquence de résonance est définie par l’équation suivante:

Fréquence de résonance vs fréquence naturelle d’un oscillateur mécanique amorti entraîné

Notez que la résonance ne peut se produire que lorsque la fréquence naturelle est supérieure au taux d’amortissement, multiplié par la racine carrée de 2. Si l’amortissement est trop important, la résonance ne peut pas se produire.

Qu’en est-il dans le cas d’un faible amortissement ? Dans la limite où la constante d’amortissement est nulle, la fréquence de résonance est égale à la fréquence naturelle et il n’y a pas de dissipation d’énergie dans le circuit. Par conséquent, lorsqu’un oscillateur non amorti est entraîné exactement à sa fréquence naturelle, l’amplitude de l’oscillation résultante diverge (théoriquement) vers l’infini à une vitesse linéaire. Dans un circuit réel, les effets non linéaires finiront par prendre le dessus à une tension/courant élevée, ce qui peut entraîner une saturation de la réponse, ou provoquera la combustion du circuit.

Il existe une certaine plage de fréquences entre lesquelles l’oscillateur mécanique ne présentera pas de résonance lorsqu’il est piloté, mais il présentera toujours une oscillation décroissante lorsqu’il sera déplacé de l’équilibre. Cette oscillation décroissante se produira toujours avec la fréquence d’oscillation amortie définie dans la première équation ci-dessus. Si l’on revient à un oscillateur mécanique, on a:

. fréquence naturelle

Cas où la résonance est éliminée, mais où il peut toujours y avoir une oscillation amortie

Notez que les conditions ci-dessus que nous avons discutées pour un oscillateur mécanique s’appliquent également à un circuit RL avec un condensateur parallèle.

Fonctions de transfert d’un oscillateur

L’amortissement dans un circuit définira la fonction de transfert du circuit, qui est généralement décrite en termes de bande passante. Lorsque l’oscillateur est piloté avec un signal sinusoïdal, la sortie sera également sinusoïdale. Cependant, lorsque l’oscillateur est piloté par un signal périodique non sinusoïdal (par exemple, une onde en dents de scie, un signal modulé en fréquence, un flux d’impulsions d’horloge ou toute autre forme d’onde analogique répétitive), les formes d’onde de tension et de courant résultantes dans l’oscillateur peuvent ne pas ressembler au signal de pilotage. Vous pouvez extraire la fonction de transfert d’un balayage de fréquence en appliquant une source sinusoïdale à votre circuit oscillateur. Voici des exemples qui montrent ces fonctions de transfert dans le domaine fréquentiel pour différents taux d’amortissement pour un oscillateur mécanique.

Courbes d’amplitude d’un oscillateur mécanique en fonction de la fréquence d’attaque

Notez que ces courbes sont normalisées par rapport à la fréquence naturelle. Encore une fois, certains circuits RLC auront des courbes similaires, tandis que d’autres (par exemple, le circuit RLC en série) auront des courbes qui culminent toujours à la fréquence naturelle, c’est-à-dire que la fréquence de résonance = la fréquence naturelle.

Les graphiques ci-dessus pour un oscillateur mécanique montrent comment le pic de chaque courbe (qui correspond à la fréquence de résonance) se déplace vers la fréquence naturelle lorsque le taux d’amortissement diminue. Chacune de ces courbes peut être considérée comme une fonction de transfert. Déterminer comment chacune de ces courbes affecte un signal de commande analogique arbitraire dans le domaine temporel nécessite de travailler avec des transformées de Fourier ou des transformées de Laplace, ce qui dépasse un peu le cadre de cet article.

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A propos de l’auteur

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