Les essais répétés indépendants d’une expérience avec exactement deux résultats possibles sont appelés essais de Bernoulli. Appelons l’une des issues » succès » et l’autre issue » échec « . Soit p {\displaystyle p}
la probabilité de succès dans un essai de Bernoulli, et q {\displaystyle q}.
être la probabilité d’échec. Alors la probabilité de succès et la probabilité d’échec s’additionnent à un, puisque ce sont des événements complémentaires : « succès » et « échec » sont mutuellement exclusifs et exhaustifs. On a donc les relations suivantes : p = 1 – q , q = 1 – p , p + q = 1. {\displaystyle p=1-q,\quad \quad q=1-p,\quad \quad p+q=1.}
Alternativement, on peut les énoncer en termes de chances : étant donné la probabilité p de succès et q d’échec, les chances pour sont p : q {\displaystyle p:q}.
et les chances contre sont q : p . {\displaystyle q:p.}
On peut aussi les exprimer sous forme de nombres, en les divisant, ce qui donne les chances pour, de isplaystyle o_{f}}.
, et les chances contre, o a : {\displaystyle o_{a}:}
, o f = p / q = p / ( 1 – p ) = ( 1 – q ) / q o a = q / p = ( 1 – p ) / p = q / ( 1 – q ) {\displaystyle {\begin{aligned}o_{f}&=p/q=p/(1-p)=(1-q)/q\\o_{a}&=q/p=(1-p)/p=q/(1-q)\end{aligned}}}
Ce sont des inverses multiplicatifs, donc ils se multiplient par 1, avec les relations suivantes :
o f = 1 / o a , o a = 1 / o f , o f ⋅ o a = 1. {\displaystyle o_{f}=1/o_{a},\quad o_{a}=1/o_{f},\quad o_{f}\cdot o_{a}=1.}
Dans le cas où une épreuve de Bernoulli représente un événement parmi un nombre fini d’issues également probables, où S des issues sont des succès et F des échecs, les chances pour sont S : F {\displaystyle S:F}.
et les chances contre sont F : S . {\displaystyle F:S.}
On obtient ainsi les formules suivantes pour la probabilité et les chances : p = S / ( S + F ) q = F / ( S + F ) o f = S / F o a = F / S {\displaystyle {\begin{aligned}p&=S/(S+F)\q&=F/(S+F)\\o_{f}&=S/F\\o_{a}&=F/S\end{aligned}}}
Notez qu’ici les chances sont calculées en divisant le nombre d’issues, et non les probabilités, mais la proportion est la même, puisque ces rapports ne diffèrent qu’en multipliant les deux termes par le même facteur constant.
Les variables aléatoires décrivant les essais de Bernoulli sont souvent codées en utilisant la convention selon laquelle 1 = « succès », 0 = « échec ».
Un essai de Bernoulli est étroitement lié à une expérience binomiale, qui consiste en un nombre fixe n {\displaystyle n}.
d’essais de Bernoulli statistiquement indépendants, chacun ayant une probabilité de succès p {\displaystyle p}.
, et compte le nombre de réussites. Une variable aléatoire correspondant à une binomiale est notée B ( n , p ) {\displaystyle B(n,p)}.
, et on dit qu’elle a une distribution binomiale.La probabilité d’avoir exactement k {\displaystyle k}
succès dans l’expérience B ( n , p ) {\displaystyle B(n,p)}
est donné par : P ( k ) = ( n k ) p k q n – k {\displaystyle P(k)={n \choose k}p^{k}q^{n-k}}}
où ( n k ) {\displaystyle {n \choose k}}
est un coefficient binomial.
Les essais de Bernoulli peuvent également conduire à des distributions binomiales négatives (qui comptent le nombre de succès dans une série d’essais de Bernoulli répétés jusqu’à ce qu’un nombre spécifié d’échecs soit observé), ainsi qu’à diverses autres distributions.
Lorsque plusieurs essais de Bernoulli sont effectués, chacun ayant sa propre probabilité de succès, on parle parfois d’essais de Poisson.
Les essais de Poisson sont des essais qui ont pour but de déterminer la probabilité de succès.