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- Les lois du mouvement planétaire de Kepler
Première loi
Kepler était un mathématicien sophistiqué, et donc l’avancée qu’il a faite dans l’étude du mouvement des planètes a été d’introduire une base mathématique pour le modèle héliocentrique du système solaire. Alors que Ptolémée et Copernic s’appuyaient sur des hypothèses, telles que le cercle est une forme « parfaite » et que toutes les orbites doivent être circulaires, Kepler a montré que, mathématiquement, une orbite circulaire ne pouvait pas correspondre aux données concernant Mars, mais qu’une orbite elliptique y correspondait ! Nous faisons maintenant référence à l’énoncé suivant comme étant la première loi de Kepler :
- Les planètes orbitent autour du Soleil en ellipses avec le Soleil à un foyer (l’autre foyer est vide).
Pour plus d’informations sur les ellipses, vous pouvez lire dans des détails mathématiques sanglants la page hébergée sur Mathworld, et il y a aussi des informations sur les ellipses dans Wikipedia.
Voici une démonstration de la méthode classique pour dessiner une ellipse:
Les deux punaises de l’image représentent les deux foyers de l’ellipse, et la ficelle fait en sorte que la somme des distances entre les deux foyers (les punaises) et le crayon soit une constante. Ci-dessous, une autre image d’une ellipse avec le grand axe et le petit axe définis:
Nous savons que dans un cercle, toutes les lignes qui passent par le centre (diamètres) sont exactement de même longueur. Cependant, dans une ellipse, les lignes que vous tracez par le centre varient en longueur. La ligne qui passe d’une extrémité à l’autre et qui inclut les deux foyers s’appelle le grand axe, et c’est la distance la plus longue entre deux points de l’ellipse. La ligne qui est perpendiculaire au grand axe en son centre s’appelle le petit axe, et c’est la distance la plus courte entre deux points de l’ellipse.
Dans l’image ci-dessus, les points verts sont les foyers (équivalents aux punaises sur la photo ci-dessus). Plus la distance entre les foyers est grande, plus l’excentricité de l’ellipse est grande. Dans le cas limite où les foyers sont superposés (excentricité de 0), la figure est en fait un cercle. Vous pouvez donc considérer un cercle comme une ellipse d’excentricité 0. Des études ont montré que les manuels d’astronomie introduisent une idée fausse en montrant les orbites des planètes comme étant fortement excentriques afin d’être sûr de faire comprendre qu’il s’agit d’ellipses et non de cercles. En réalité, les orbites de la plupart des planètes de notre système solaire sont très proches de la forme circulaire, avec des excentricités proches de 0 (par exemple, l’excentricité de l’orbite de la Terre est de 0,0167). Pour une animation montrant des orbites avec différentes excentricités, voir le diagramme d’excentricité sur « Windows to the Universe ». Notez que l’orbite avec une excentricité de 0,2, qui semble presque circulaire, est similaire à celle de Mercure, qui a la plus grande excentricité de toutes les planètes du système solaire. Le diagramme des orbites elliptiques de « Windows to the Universe » comprend une image avec une comparaison directe des excentricités de plusieurs planètes, d’un astéroïde et d’une comète. Notez que si vous suivez les instructions de la Nuit des étoiles à la page précédente pour observer les orbites de la Terre et de Mars depuis le ciel, vous pouvez également voir les formes de ces orbites et à quel point elles semblent circulaires.
La première loi de Kepler a plusieurs implications. Ce sont :
- La distance entre une planète et le Soleil change à mesure que la planète se déplace le long de son orbite.
- Le Soleil est décalé par rapport au centre de l’orbite de la planète.
Deuxième loi
Dans leurs modèles du système solaire, les Grecs s’en tenaient à la croyance aristotélicienne selon laquelle les objets dans le ciel se déplaçaient à une vitesse constante en cercle parce que c’est leur « mouvement naturel ». Cependant, la deuxième loi de Kepler (parfois appelée loi des aires égales), peut être utilisée pour montrer que la vitesse d’une planète change au fur et à mesure qu’elle se déplace sur son orbite !
La deuxième loi de Kepler est :
- La ligne joignant le Soleil et une planète balaie des aires égales en un temps égal.
L’image ci-dessous renvoie à une animation qui démontre que lorsqu’une planète est proche de l’aphélie (le point le plus éloigné du Soleil, marqué d’un B sur la capture d’écran ci-dessous), la ligne tracée entre le Soleil et la planète trace un long secteur maigre entre les points A et B. Lorsque la planète est proche du périhélie (le point le plus proche du Soleil, marqué d’un C sur la capture d’écran ci-dessous), la ligne tracée entre le Soleil et la planète trace un secteur plus court et plus gros entre les points C et D. Ces tranches qui alternent le gris et le bleu ont été dessinées de manière à ce que la zone à l’intérieur de chaque secteur soit la même. Autrement dit, le secteur entre C et D, à droite, contient la même superficie que le secteur entre A et B, à gauche.
La deuxième loi de Kepler
Puisque les surfaces de ces deux secteurs sont identiques, alors la deuxième loi de Kepler dit que le temps que met la planète à voyager entre A et B et aussi entre C et D doit être le même. Si vous regardez la distance le long de l’ellipse entre A et B, elle est plus courte que la distance entre C et D. Puisque la vitesse est la distance divisée par le temps, et puisque la distance entre A et B est plus courte que la distance entre C et D, lorsque vous divisez ces distances par la même quantité de temps, vous trouvez que :
- Une planète se déplace plus rapidement près du périhélie et plus lentement près de l’aphélie.
Les orbites de la plupart des planètes sont presque circulaires, avec des excentricités proches de 0. Dans ce cas, les changements de leur vitesse ne sont pas trop importants au cours de leur orbite.
Pour ceux d’entre vous qui enseignent la physique, vous pourriez noter qu’en réalité, la deuxième loi de Kepler n’est qu’une autre façon d’affirmer que le moment angulaire est conservé. C’est-à-dire que lorsque la planète est proche du périhélie, la distance entre le Soleil et la planète est plus petite, elle doit donc augmenter sa vitesse tangentielle pour conserver le moment angulaire, et de même, lorsqu’elle est proche de l’aphélie, quand leur séparation est plus grande, sa vitesse tangentielle doit diminuer pour que le moment angulaire orbital total soit le même qu’au périhélie.
Troisième loi
Kepler disposait de toutes les données de Tycho sur les planètes, il a donc pu déterminer le temps que mettait chaque planète pour effectuer une orbite autour du Soleil. C’est ce qu’on appelle généralement la période d’une orbite. Kepler a remarqué que plus une planète était proche du Soleil, plus son orbite était rapide. Il a été le premier scientifique à étudier les planètes en partant du principe que le Soleil influençait leurs orbites. Autrement dit, contrairement à Ptolémée et Copernic, qui supposaient tous deux que le « mouvement naturel » des planètes consistait à se déplacer à des vitesses constantes le long de trajectoires circulaires, Kepler pensait que le Soleil exerçait une sorte de force sur les planètes pour les pousser le long de leurs orbites et que, pour cette raison, plus elles étaient proches du Soleil, plus elles devaient se déplacer rapidement.
Kepler a étudié les périodes des planètes et leur distance au Soleil, et a prouvé la relation mathématique suivante, qui est la troisième loi de Kepler :
- Le carré de la période de l’orbite d’une planète (P) est directement proportionnel au cube du demi-axe majeur (a) de sa trajectoire elliptique.
- P 2 ∝ a 3 Cette équation ne s’affiche pas correctement en raison d’un navigateur incompatible. Voir les exigences techniques dans l’orientation pour une liste de navigateurs compatibles.
Ce que cela signifie mathématiquement, c’est que si le carré de la période d’un objet double, alors le cube de son axe semi-majeur doit également doubler. Le signe de proportionnalité dans l’équation ci-dessus signifie que :
- P 2 = k a 3 Cette équation ne s’affiche pas correctement en raison d’un navigateur incompatible. Voir les exigences techniques dans l’orientation pour une liste des navigateurs compatibles.
où k est un nombre constant. Si nous divisons les deux côtés de l’équation par un 3 Cette équation ne s’affiche pas correctement en raison d’un navigateur incompatible. Consultez la section Exigences techniques dans l’orientation pour obtenir la liste des navigateurs compatibles. , nous voyons que :
- P 2 / a 3 = k Cette équation ne s’affiche pas correctement en raison d’un navigateur incompatible. Voir les exigences techniques dans l’orientation pour une liste des navigateurs compatibles.
Cela signifie que pour chaque planète de notre système solaire, le rapport entre leur période au carré et leur demi-axe majeur cubique est la même valeur constante, ce qui signifie donc que :
- ( P 2 / a 3 ) Terre = ( P 2 / a 3 ) Mars = ( P 2 / a 3 ) Jupiter Cette équation ne s’affiche pas correctement en raison d’un navigateur incompatible. Voir les exigences techniques dans l’orientation pour une liste de navigateurs compatibles.
Nous savons que la période de la Terre est de 1 an. À l’époque de Kepler, on ne connaissait pas les distances des planètes, mais on peut juste attribuer le demi-axe majeur de la Terre à une unité qu’on appelle l’unité astronomique (UA). En d’autres termes, sans savoir quelle est la taille d’une UA, nous pouvons simplement définir une Terre = 1 UA Cette équation ne s’affiche pas correctement en raison d’un navigateur incompatible. Consultez la section Exigences techniques dans l’orientation pour obtenir une liste des navigateurs compatibles. . Si vous branchez 1 an et 1 UA dans l’équation ci-dessus, vous voyez que :
- ( P 2 / a 3 ) Terre = ( P 2 / a 3 ) Mars = ( P 2 / a 3 ) Jupiter Cette équation ne s’affiche pas correctement en raison d’un navigateur incompatible. Voir les exigences techniques dans l’orientation pour une liste de navigateurs compatibles.
Donc pour chaque planète, P 2 / a 3 = 1 Cette équation ne s’affiche pas correctement en raison d’un navigateur incompatible. Consultez la rubrique Exigences techniques de l’orientation pour obtenir la liste des navigateurs compatibles. si P est exprimé en années et a en UA. Ainsi, si vous voulez calculer la distance entre Saturne et le Soleil en UA, il vous suffit de connaître sa période. Pour Saturne, celle-ci est d’environ 29 ans. Donc :
- ( P 2 / a 3 ) Saturne = ( 29 ans ) 2 / ( a AU ) 3 = 1 Cette équation ne s’affiche pas correctement en raison d’un navigateur incompatible. Voir les exigences techniques dans l’orientation pour une liste des navigateurs compatibles.
- ( a AU ) 3 = 841 Cette équation ne s’affiche pas correctement en raison d’un navigateur incompatible. Voir les exigences techniques dans l’orientation pour une liste de navigateurs compatibles.
- (a AU) = 3 √ 841 = 9,4 AU Cette équation ne s’affiche pas correctement en raison d’un navigateur incompatible. Consultez la section Exigences techniques dans l’orientation pour obtenir la liste des navigateurs compatibles.
Donc Saturne est 9,4 fois plus éloignée du Soleil que la Terre ne l’est!