SEMIGROUPS ET OPERATEURS DISSIPATIFS
Intégrez les deux côtés – en partant de x = 0, disons – pour obtenir
pour une certaine constante C. Pour trouver la valeur de C, prenez des limites des deux côtés de cette équation en tant que x → ∞. On a f(x) → 0 puisque f disparaît en ∞, et donc C=1λ∫0∞g(t)exp(-t/λ)dt. Cette intégrale converge, puisque g disparaît à l’infini et exp(-t/λ) disparaît exponentiellement vite. Par conséquent, la dernière équation affichée peut être réécrite
(I – λA)-1 est un opérateur linéaire nonexpansif défini partout sur C0(ℝ).
C’est typiquement le genre d’opérateur auquel le théorème de Crandall-Liggett est applicable – mais nous soulignons que ce théorème s’applique aussi à des opérateurs beaucoup plus compliqués.
Exercice En modifiant les calculs ci-dessus, montrez que (I + λA)-1 est aussi un opérateur linéaire nonexpansif défini partout sur C0(ℝ), pour chaque λ > 0.
20 Soit X un espace de Banach, et soit J : X → P(X*) sa cartographie de dualité (définie comme en 28.44). Soit A une cartographie quelconque d’un sous-ensemble de X en X. Alors les deux conditions suivantes sont équivalentes ; si l’une (donc les deux) est satisfaite, on dit que A est dissipatif (ou -A est accrétif) :
Preuve (suivant Cioranescu ). Soit y1 = A(x1) et y2 = A(x2). Soit x^=x1-x2 et y^=y1-y2 ; alors nous devons montrer que
si et seulement si
Pour (B′) ⇒ (A′) on calcule simplement
Puisque η0 est dans la boule unité, on peut conclure ‖x^‖≤η0(x^) et ||η0|| = 1. Alors φ=‖x^‖η0 est un membre de J(x^), satisfaisant φ(y^)≤0.
21 Soit X un espace de Banach, et soit J : X → P(X*) sa cartographie de dualité. Soit A un mapping d’un certain sous-ensemble de X vers X, et soit ω un nombre non négatif. Alors les trois conditions suivantes sont équivalentes (exercice) ; si elles sont satisfaites on dit que A est Ω-dissipatif :
22 Si A est un mapping lipschitzien, avec 〈A〉Lip ≤ ω, alors A et -A sont tous deux ω-dissipatifs. Pour cette raison, les conditions de dissipativité sont parfois appelées conditions de Lipschitz unilatérales.
Cependant, cette terminologie peut être trompeuse. Par exemple, définissons A comme dans l’article 30.19. Alors A et -A sont tous deux dissipatifs, mais A n’est pas Lipschitzien ; en fait, A n’est même pas continu.
Si X est unidimensionnel – c’est-à-dire si X est juste la ligne réelle – alors A est dissipatif si et seulement si (x1 – x2)(A(y1) – A(y2)) ≤ 0 ; cette inégalité est satisfaite si et seulement si A est une fonction décroissante.
24 Soit C un sous-ensemble d’un espace de Banach X, et soit S un semigroupe d’auto-mappages de C. Supposons que 〈S(t)〉Lip ≤ eωt pour une certaine constante ω ≥ 0 et tout t ≥ 0. Définissons un mapping d’un sous-ensemble de C vers X par
où le domaine de l’opérateur A est l’ensemble de tous les x ∈ C pour lesquels la limite existe. Alors A est ω-dissipatif.
Preuve Fixez tout x1, x2 ∈ Dom(A) et λ ∈ (0, 1/ω) ; laissez h > 0. Alors
Prendre des limites comme h ↓ 0, pour prouver
Preuve Soit x = R(α)u et y = R(β)υ ; donc u = x – αA(x) et υ = y – βA(y). On choisit une certaine φ ∈ J(x – y) telle que φ ≤ ω||x – y||2. Alors
Diviser par par ||x – y|| pour obtenir l’inégalité désirée.
26 Soit α et β des nombres positifs. Soit cj,k des nombres réels non négatifs qui satisfont
pour tous les entiers non négatifs j, k. Alors cj,k≤(jα-kβ)2+jα2+kβ2 pour tous les entiers non négatifs j, k.
Plus généralement, que α, β > 0 et ω ≥ 0 avec max{ωα, ωβ}. < 1. Soit cj,k des nombres réels non négatifs qui satisfont
pour tous les entiers non négatifs j, k. Alors
pour tous les entiers non négatifs j, k.
Remarques Cette inégalité sera utilisée en 30,27. Elle montre que cj,k peut être petit même avec j, k grands, à condition que α, β, et jα – kβ soient petits. Dans une première lecture, le lecteur peut souhaiter se concentrer sur le cas particulier de ω = 0, énoncé dans le premier paragraphe du lemme, car ce cas est légèrement plus simple en notation et contient encore la plupart des idées principales.
Schéma de la preuve D’abord, quelques calculs préliminaires. Montrer que
Aussi, de ω(α + β)2 – 2(α + β) ≤ 0 ≤ αβω on obtient
Aussi, par l’inégalité de Cauchy-Bunyakovski-Schwarz (2.10),
pour tout nombre non négatif p et q.
Maintenant, l’inégalité de Rasmussen-Kobayashi (RK) est claire à partir de (1) lorsque j = 0 ou k = 0. L’inégalité sera prouvée pour des j et k plus grands par double induction. Dans les calculs ci-dessous, l’étape (Ind) se fait par hypothèse d’induction. Calculer
Cela termine l’étape d’induction, et donc la preuve de (RK).
27 Le théorème de Crandall-Liggett est généralement considéré comme un théorème sur les équations différentielles dans les espaces de Banach. Le théorème de Crandall-Liggett n’a pas d’applications sauf dans ce cadre. Cependant, une grande partie de la preuve peut être présentée dans le cadre plus simple d’un espace métrique complet. Nous adopterons cette approche parce qu’elle peut être conceptuellement plus simple à appréhender sans les distractions de la structure linéaire, et parce qu’elle fournit une application intéressante de la complétude métrique. C’est l’un des rares cas connus de cet auteur où nous utilisons des mappings de Lipschitz sans utiliser le théorème du point fixe de la contraction.
Dans le théorème ci-dessous, nous permettons T = +∞ si ω = 0. Les calculs sont légèrement plus simples dans ce cas et les débutants peuvent donc souhaiter se concentrer sur ce cas.
et
et supposons que l’ensemble D = {x ∈ M : Γ(x) < ∞} est dense dans M.
La carte (t, x) ↦ S(t)x est conjointement continue de . Le livre de Haraux couvre une partie de la théorie des espaces de Banach mais consacre aussi une attention particulière au cas des espaces de Hilbert.
Le théorème de Crandall-Liggett, tel que nous l’avons présenté, s’étend facilement à l’inclusion différentielle u′(t) ∈ A(u(t)). Si nous renforçons la condition de portée, et exigeons que Ran(I – λA) = X pour tout λ suffisamment petit > 0, alors il est possible de prouver l’existence de solutions au problème de valeur initiale
On a également beaucoup écrit sur les inclusions différentielles de la forme u′(t) ∈ A(t, u(t)), où A(t, ⋅) est un opérateur Ω-dissipatif pour chaque t fixé. Une référence pour ce sujet est Pavel ; ce livre introduit également de nombreuses applications aux équations aux dérivées partielles. La théorie de ce sujet n’est pas aussi élégante, mais il y a une bonne raison. Pour une applicabilité maximale aux équations aux dérivées partielles, les chercheurs se sont intéressés à des problèmes où les différents opérateurs A(t, ⋅), pour différentes valeurs fixes de t, ont des domaines différents, et où Dom(A(t, ⋅)) varie de façon erratique avec t. Cela rend le problème considérablement plus compliqué.
30 Dans les pages précédentes, nous avons développé plusieurs théories sensiblement différentes des problèmes de valeur initiale, en utilisant des hypothèses de conditions de Lipschitz, de compacité, d’isotonicité et de dissipation. Historiquement, ces théories se sont développées séparément, pour différents types d’applications. Il est tentant d’essayer de faire de ces théories des cas particuliers d’une seule théorie plus générale. Il est certainement possible de prouver au moins quelques résultats faibles dans un cadre plus général – voir par exemple 30.6.
Mais en vérité, nous sommes très loin d’une théorie complète ou unifiée. Les plusieurs sous-théories principales – Lipschitzness, compacité, isotonicité, etc – sont de nature très différente ; de grands écarts conceptuels existent entre elles. La littérature ne contient qu’une poignée d’exemples de non-existence de solutions, la plupart similaires à l’exemple 30.4 de Dieudonné ; les exemples de non-existence ne sont pas suffisamment diversifiés pour expliquer les écarts entre nos théories de l’existence. Ainsi, nous sommes très loin d’une compréhension claire de ce qui fait » réellement » fonctionner les problèmes de valeurs initiales.
Plus modeste que la recherche d’une grande théorie unifiée est le programme de résolution des problèmes de la forme u′(t) = A(u(t)) + B(u(t)), où A et B sont des opérateurs de deux types différents – par exemple, où A satisfait à une condition de dissipation et B à une condition de compacité. Une théorie de ce type inclurait les théories de la dissipation et de la compacité comme cas particuliers, puisque nous pourrions prendre A = 0 ou B = 0 (puisque l’opérateur 0 est à la fois dissipatif et compact). Ce programme a rencontré un certain succès, du moins lorsque les opérateurs sont continus – par exemple, on sait que la somme d’un opérateur dissipatif continu, d’un opérateur compact continu et d’un opérateur isotone continu génère une évolution ; voir Volkmann . Mais sans continuité, le problème reste ouvert. Pour le problème compact plus dissipatif, quelques discussions et résultats partiels peuvent être trouvés dans Schechter et Vrabie .
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