Dérivation de la formule exacte
Supposons qu’une certaine expérience nécessite plusieurs instruments pour être réalisée. Ces instruments ont chacun une variabilité différente dans leurs mesures. Les résultats de chaque instrument sont donnés comme : a, b, c, d…. (Par souci de simplification, seules les variables a, b et c seront utilisées dans cette dérivation). Le résultat final souhaité est \(x\), de sorte que \(x\) dépend de a, b et c. On peut écrire que \(x\) est une fonction de ces variables :
Comme chaque mesure a une incertitude sur sa moyenne, on peut écrire que l’incertitude de dxi de la ième mesure de \(x\) dépend de l’incertitude des ièmes mesures de a, b, et c :
L’écart total de \(x\) est alors dérivé de la dérivée partielle de x par rapport à chacune des variables :
Une relation entre les écarts types de x et de a, b, c, etc…. est formée en deux étapes :
- en élevant au carré l’équation \ref{3}, et
- en prenant la somme totale de \(i = 1\) à \(i = N\), où \(N\) est le nombre total de mesures.
Dans la première étape, deux termes uniques apparaissent sur le côté droit de l’équation : les termes carrés et les termes croisés.
Les termes carrés :
Termes croisés :
Les termes carrés, en raison de la nature de la quadrature, sont toujours positifs et ne s’annulent donc jamais. En revanche, les termes croisés peuvent s’annuler, en raison de la possibilité que chaque terme soit positif ou négatif. Si da, db et dc représentent des incertitudes aléatoires et indépendantes, environ la moitié des termes croisés seront négatifs et l’autre moitié positifs (ceci est principalement dû au fait que les variables représentent l’incertitude sur une moyenne). En effet, la somme des termes croisés devrait s’approcher de zéro, en particulier lorsque \(N\) augmente. Cependant, si les variables sont corrélées plutôt qu’indépendantes, le terme croisé peut ne pas s’annuler.
En supposant que les termes croisés s’annulent, alors la deuxième étape – la somme de \(i = 1\) à \(i = N\) – serait :
\
Diviser les deux côtés par \(N – 1\) :
\
L’étape précédente a créé une situation où l’équation \ref{7} pourrait imiter l’équation d’écart type. Ceci est souhaité, car cela crée une relation statistique entre la variable \(x\), et les autres variables \(a\), \(b\), \(c\), etc…. comme suit :
L’équation d’écart type peut être réécrite comme la variance (\(\sigma_x^2\)) de \(x\):
La réécriture de l’équation \ref{7} en utilisant la relation statistique créée donne la formule exacte de propagation de l’erreur :
On obtient ainsi le résultat final. L’équation \ref{9} montre une relation statistique directe entre plusieurs variables et leurs écarts types. Dans la section suivante, les dérivations des calculs courants sont données, avec un exemple de la façon dont la dérivation a été obtenue.
| Type | Exemple | Standard Ecart-type (\(\sigma_x\)) |
|---|---|---|
| Addition ou soustraction | \(x = a + b – c\) | \(\sigma_x= \sqrt{ {\sigma_a}^2+{\sigma_b}^2+{\sigma_c}^2} \label{10}\) |
| Multiplication ou division | \(x = \dfrac{ a x b}{c}\) | \( \dfrac{\sigma_x}{x}=\sqrt{\left(\dfrac{\sigma_a}{a}\right)^2+\left(\dfrac{\sigma_b}{b}\right)^2+\left(\dfrac{\sigma_c}{c}\right)^2} \) (11) |
| Exponentielle | \(x = a^y\) | \(\dfrac{\sigma_x}{x}=y(\dfrac{\sigma_a}{a})\) (12) |
| Logarithmique | \(x = \log(a)\) | \(\sigma_x=0,434(\dfrac{\sigma_a}{a})\) (13) |
| Anti-logarithmique | \(x = antilog(a)\) | \(\dfrac{\sigma_x}{x}=2,303({\sigma_a})\) (14) |
Où \(a\), \(b\), et \(c\) sont des variables mesurées d’une expérience et \(\sigma_a\), \(\sigma_b\), et \(\sigma_c\) sont les écarts types de ces variables.
L’addition, la soustraction et les équations logarithmiques conduisent à un écart-type absolu, tandis que la multiplication, la division, l’exponentielle et les équations anti-logarithmiques conduisent à des écarts-types relatifs.
Dérivation d’un exemple arithmétique
La formule exacte de propagation de l’erreur dans l’équation \(\ref{9}\) peut être utilisée pour dériver les exemples arithmétiques notés dans le tableau \(\PageIndex{1}\). En commençant par une équation simple :
\
où \(x\) est le résultat souhaité avec un écart-type donné, et \(a\), \(b\), et \(c\) sont des variables expérimentales, chacune avec un écart-type de différence. En prenant la dérivée partielle de chaque variable expérimentale, \(a\), \(b\), et \(c\):
\
et
Plonger ces dérivées partielles dans l’équation \(\ref{9}\) donne :
En divisant l’équation \(\ref{17}\) par l’équation \(\ref{15}\) au carré, on obtient :
En annulant les termes et en mettant les deux côtés au carré, on obtient l’équation 11 du tableau \(\PageIndex{1}\) :
\
Exemple \(\PageIndex{1}\)
Poursuivant l’exemple de l’introduction (où nous calculons l’absorptivité molaire d’une molécule), supposons que nous ayons une concentration de 13.7(±0,3) moles/L, une longueur de trajet de 1,0(±0,1) cm, et une absorption de 0,172807(±0,000008). L’équation de l’absorptivité molaire est ε = A/(lc).
Solution
Comme la loi de Beer traite de la multiplication/division, nous utiliserons l’équation 11 :
Comme indiqué dans la note ci-dessus, l’équation 11 donne un écart-type relatif, ou un pourcentage de la variable ε. En utilisant la loi de Beer, ε = 0,012614 L moles-1 cm-1 Par conséquent, le \(\sigma_{\epsilon}\) pour cet exemple serait de 10,237% de ε, soit 0,001291.
En tenant compte des chiffres significatifs, la réponse finale serait :
ε = 0,013 ± 0.001 L moles-1 cm-1
Exemple \(\PageIndex{2}\)
Si l’on vous donne une équation qui relie deux variables différentes et que l’on vous donne les incertitudes relatives d’une des variables, il est possible de déterminer l’incertitude relative de l’autre variable en utilisant le calcul. Dans les problèmes, l’incertitude est généralement exprimée en pourcentage. Disons que nous mesurons le rayon d’un très petit objet. Le problème pourrait indiquer qu’il y a une incertitude de 5% lors de la mesure de ce rayon.
Solution
Pour utiliser réellement ce pourcentage afin de calculer les incertitudes inconnues d’autres variables, nous devons d’abord définir ce qu’est l’incertitude. L’incertitude, en calcul, est définie comme:
(dx/x)=(∆x/x) = incertitude
Exemple \(\PageIndex{3}\)
Reprenons l’exemple du rayon d’un objet. Si nous savons que l’incertitude du rayon est de 5%, l’incertitude est définie comme (dx/x)=(∆x/x)= 5% = 0,05.
Nous sommes maintenant prêts à utiliser le calcul pour obtenir une incertitude inconnue d’une autre variable. Disons que nous mesurons le rayon d’une artère et que nous trouvons que l’incertitude est de 5%. Quelle est l’incertitude de la mesure du volume de sang qui passe dans l’artère ? Le disons que l’équation reliant le rayon et le volume est :
\
Où c est une constante, r est le rayon et V(r) est le volume.
Solution
La première étape pour trouver l’incertitude du volume est de comprendre nos informations données. Comme on nous donne que le rayon a une incertitude de 5 %, nous savons que (∆r/r) = 0,05. Nous cherchons (∆V/V).
Maintenant que nous avons fait cela, la prochaine étape consiste à prendre la dérivée de cette équation pour obtenir :
\
Nous pouvons maintenant multiplier les deux côtés de l’équation pour obtenir :
\
Comme nous cherchons (∆V/V), nous divisons les deux côtés par V pour obtenir :
On nous donne l’équation du volume pour être \(V = c(r)^2\), nous pouvons donc réintégrer cela dans notre équation précédente pour \(V\) pour obtenir :
Maintenant nous pouvons annuler les variables qui sont à la fois dans le numérateur et le dénominateur pour obtenir :
Nous avons maintenant réduit l’équation de sorte qu’il ne reste que ∆r/r. Nous savons que la valeur de l’incertitude pour ∆r/r est de 5%, soit 0,05. En branchant cette valeur pour ∆r/r, nous obtenons :
\dfrac{∆V}{V} = 2 (0,05) = 0,1 = 10\%\]
L’incertitude du volume est de 10%. Cette méthode peut également être utilisée en chimie, et pas seulement dans l’exemple biologique présenté ci-dessus.
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