Le rang est le nombre de lignes qui sont « uniques » : non faites d’autres lignes. (Même chose pour les colonnes.)
Exemple :ThisMatrix
La deuxième ligne est juste 3 fois la première. Juste un copieur inutile. Ne compte pas.
Donc, même s’il y a 2 rangs, le rang n’est que de 1.
Qu’en est-il des colonnes ? La deuxième colonne est juste le double de la première colonne. Et la troisième colonne est trois fois la première (ou 1,5 fois la deuxième) donc ne compte pas non plus.
Donc les colonnes nous montrent aussi que le rang n’est que de 1.
Exemple :ThisMatrix
..
Le deuxième rang n’est pas constitué du premier rang, donc le rang est au moins 2.
Mais qu’en est-il de la troisième rangée ? C’est la première et la deuxième additionnées, donc ne compte pas.
Donc même s’il y a 3 rangées, le rang n’est que de 2.
Qu’en est-il des colonnes ? La deuxième colonne est bien, mais la colonne 3 est les colonnes 1 et 2 additionnées.
Donc les colonnes nous montrent aussi que le rang n’est que de 2.
Exemple :ThisMatrix
Le deuxième rang n’est pas constitué du premier rang, donc le rang est au moins 2.
La troisième rangée semble correcte, mais après beaucoup d’examen, nous découvrons qu’il s’agit de la première rangée moins deux fois la deuxième rangée. Sournois ! Donc le rang n’est que de 2.
Et pour les colonnes : Dans ce cas, la colonne 3 correspond aux colonnes 1 et 2 additionnées. Donc les colonnes nous montrent aussi que le rang est de 2.
Exemple :La matrice d’identité
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Tous les rangs sont des individus forts et indépendants, ne comptant pas sur les autres pour leur existence ! Donc le rang est 3.
Et exactement la même chose pour les colonnes, donc elles nous disent aussi que le rang est 3.
En fait, les rangs et les colonnes sont toujours d’accord sur le rang (étonnant mais vrai !).
Quand nous parlons ici des rangs, nous pouvons également dire la même chose des colonnes.
Nous n’avons donc pas vraiment besoin de travailler sur les deux.
Pourquoi trouver le rang ?
Le rang nous en dit long sur la matrice.
Il est utile pour nous permettre de savoir si nous avons une chance de résoudre un système d’équations linéaires : lorsque le rang est égal au nombre de variables, nous pouvons être en mesure de trouver une solution unique.
Exemple : Pommes et bananes
Si nous savons que
- 2 pommes et 3 bananes coûtent 7 $
- 3 pommes et 3 bananes coûtent 9 $
Alors nous pouvons déterminer que la pomme supplémentaire doit coûter 2 $, et donc que les bananes coûtent 1 $ chacune.
(Il y a 2 variables et le rang est aussi 2.)
Mais si nous savons seulement que
- 2 pommes et 3 bananes coûtent 7$
- 4 pommes et 6 bananes coûtent 14$
Nous ne pouvons pas aller plus loin car la deuxième ligne de données est juste le double de la première et ne nous donne aucune nouvelle information.(Il y a 2 variables et le rang n’est que de 1.)
Il a également des utilisations dans la communication, la stabilité des systèmes et plus encore.
Dépendance linéaire
Au lieu de « pas fait de », nous disons qu’ils sont linéairement indépendants, ce qui est une idée importante.
Linéaire signifie que nous pouvons multiplier par une constante, mais pas de puissances ou d’autres fonctions. La constante peut être n’importe quel nombre réel (0, 1, n’importe quel nombre entier, fraction, négatifs, etc.).
Dépendance signifie qu’ils dépendent les uns des autres, en d’autres termes, nous pouvons en additionner certains (après avoir multiplié par une constante) pour en faire un autre.
Imaginez qu’ils sont des vecteurs (ont une direction et une longueur). Pouvons-nous combiner les autres vecteurs (étirés ou rétrécis selon les besoins) pour obtenir le même résultat ?
c = a + 2b,
donc c dépend linéairement de a et b
Notez également que :
- a et b sont ensemble linéairement indépendants : on ne peut pas utiliser a tout seul pour arriver là où est b, ou vice versa.
- C’est la même chose pour b et c, ou a et c.
- Mais a, b et c sont ensemble linéairement dépendants.
Pour ne penser qu’à a et b : on peut en fait atteindre n’importe quel endroit du plan en utilisant ces deux vecteurs :
Les vecteurs a et b s’étendent sur tout le plan.
Quand des vecteurs sont linéairement indépendants et couvrent tout un espace, on dit qu’ils sont une « base » de cet espace.
Donc a et b sont une base du plan 2D.
Note : l’espace est un terme général couvrant 1, 2, 3 ou des dimensions supérieures, mais nous appelons souvent l’espace 2D un plan.
Donc a et b sont tout aussi utiles que les axes x,y. Et on pourrait dire la même chose pour n’importe quels 2 vecteurs linéairement indépendants dans le plan 2D.
La paire la plus basique de vecteurs linéairement indépendants est (1,0) et (0,1) qui forment la matrice d’identité 2×2 :
Ils constituent essentiellement les axes x,y familiers :
Et en 3D :
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Et en 4D :
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OK, c’est un peu difficile à illustrer, mais les chiffres fonctionnent très bien jusqu’à autant de dimensions que vous le souhaitez !
Comment trouver le rang
Il est généralement préférable d’utiliser un logiciel pour trouver le rang, il existe des algorithmes qui jouent avec les lignes et les colonnes pour le calculer. Mais dans certains cas, on peut le calculer nous-mêmes.
Pour une matrice carrée, le déterminant peut aider : un déterminant non nul nous indique que toutes les lignes (ou colonnes) sont linéairement indépendantes, elle est donc » full rank » et son rang est égal au nombre de lignes.
Exemple : ces vecteurs 4d sont-ils linéairement indépendants ?
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Le déterminant est (en utilisant la calculatrice matricielle) :
1(2(3×4-0×0)-2(0×4-0×1)+0(0×0-3×1))-2(0(3×4-0×0)-2(1×4-0×0)+0(1×0-3×0))+3(0(0×4-0×1)-2(1×4-0×0)+0(1×1-0×0))-4(0(0×0-3×1)-2(1×0-3×0)+2(1×1-0×0)) = 8
Le déterminant est non nul donc ils doivent tous être linéairement indépendants.
Et donc c’est un rang complet, et le rang est 4.
On sait donc qu’il s’agit en fait d’une base pour l’espace 4D : en utilisant ces 4 vecteurs, on peut couvrir tout l’espace 4D.
Un excellent exemple où les mathématiques peuvent nous dire quelque chose que nous ne pouvons pas facilement imaginer.
Autres propriétés
Le rang ne peut pas être plus grand que la plus petite dimension de la matrice.
Exemple : pour une matrice 2×4, le rang ne peut pas être plus grand que 2
Lorsque le rang est égal à la plus petite dimension, il est appelé « rang complet », un rang plus petit est appelé « rang déficient ».
Le rang est au moins égal à 1, sauf pour une matrice nulle (une matrice composée de tous les zéros) dont le rang est égal à 0.