Irrationalité
Le ratio d’or est un nombre irrationnel. Voici deux courtes preuves de son irrationalité :
Contradiction à partir d’une expression en termes inférieurs
Rappelons que :
le tout est la partie la plus longue plus la partie la plus courte ; le tout est à la partie la plus longue comme la partie la plus longue est à la partie la plus courte.
Si nous appelons le tout n et la partie plus longue m, alors la deuxième affirmation ci-dessus devient
n est à m comme m est à n – m,
ou, algébriquement
n m = m n – m . ( ∗ ) {\displaystyle {\frac {n}{m}}={\frac {m}{n-m}}.\qquad (*)}
Dire que le nombre d’or φ est rationnel signifie que φ est une fraction n/m où n et m sont des entiers. On peut considérer que n/m est aux termes les plus bas et que n et m sont positifs. Mais si n/m est la plus petite fraction, alors l’identité marquée (*) ci-dessus dit que m/(n – m) est une fraction encore plus petite. C’est une contradiction qui découle de l’hypothèse que φ est rationnel.
Par l’irrationalité de √5
Une autre courte preuve – peut-être plus connue – de l’irrationalité du nombre d’or fait appel à la fermeture des nombres rationnels sous addition et multiplication. Si 1 + 5 2 {\displaystyle \textstyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}
est rationnel, alors 2 ( 1 + 5 2 ) – 1 = 5 {\displaystyle \textstyle 2\left({\frac {1+{\sqrt {5}}{2}}\right)-1={\sqrt {5}}
est également rationnel, ce qui est une contradiction si l’on sait déjà que la racine carrée d’un entier naturel non carré est irrationnelle.
Polynôme minimal
Le nombre d’or est aussi un nombre algébrique et même un entier algébrique. Il possède un polynôme minimal
x 2 – x – 1. {\displaystyle x^{2}-x-1.}
Ayant un degré 2, ce polynôme a en fait deux racines, l’autre étant le conjugué du nombre d’or.
Rapport d’or conjugué
La racine conjuguée au polynôme minimal x2 – x – 1 est
– 1 φ = 1 – φ = 1 – 5 2 = – 0,61803 39887 …. {\displaystyle -{\frac {1}{\varphi }}=1-\varphi ={\frac {1-{\sqrt {5}}{2}}=-0.61803\,39887\dots .}
La valeur absolue de cette quantité (≈ 0.618) correspond au rapport des longueurs pris dans l’ordre inverse (longueur de segment plus courte sur longueur de segment plus longue, b/a), et est parfois appelée conjugué du nombre d’or ou rapport d’argent. Il est désigné ici par la majuscule Phi ( Φ {\displaystyle \Phi }
) : Φ = 1 φ = φ – 1 = 0,61803 39887 … . {\displaystyle \Phi ={1 \over \varphi }=\varphi ^{-1}=0.61803\,39887\ldots .}
Alternativement, Φ {\displaystyle \Phi }
peut être exprimé comme Φ = φ – 1 = 1,61803 39887 … – 1 = 0,61803 39887 … . {\displaystyle \Phi =\varphi -1=1.61803\,39887\ldots -1=0.61803\,39887\ldots .}
Cela illustre la propriété unique du nombre d’or parmi les nombres positifs, que
1 φ = φ – 1 , {\displaystyle {1 \over \varphi }=\varphi -1,}
ou son inverse :
1 Φ = Φ + 1. isplaystyle {1 \over \Phi }=\Phi +1.}
Ce qui signifie 0,61803…:1 = 1:1,61803…..
Formes alternatives
La formule φ = 1 + 1/φ peut être développée de manière récursive pour obtenir une fraction continue pour le nombre d’or :
φ = = 1 + 1 1 + 1 1 + 1 ⋱ {\displaystyle \varphi ==1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}
et sa réciproque :
φ – 1 = = 0 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + ⋱ {\displaystyle \varphi ^{-1}==0+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}
Les convergents de ces fractions continues (1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, ….., ou 1/1, 1/2, 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, …) sont des rapports de nombres de Fibonacci successifs.
L’équation φ2 = 1 + φ produit de même la racine carrée continue :
φ = 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ . {\displaystyle \varphi ={\sqrt{1+{\sqrt{1+{\sqrt{1+{\sqrt{1+{\cdots }}}}}}}}.}
Une série infinie peut être dérivée pour exprimer φ:
φ = 13 8 + ∑ n = 0 ∞ ( – 1 ) n + 1 ( 2 n + 1 ) ! 4 2 n + 3 n ! ( n + 2 ) ! . {\displaystyle \varphi ={\frac {13}{8}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}(2n+1)!}{4^{2n+3}n !(n+2)!}.}.}
Also:
φ = 1 + 2 sin ( π / 10 ) = 1 + 2 sin 18 ∘ {\displaystyle \varphi =1+2\sin(\pi /10)=1+2\sin 18^{\circ }}
φ = 1 2 csc ( π / 10 ) = 1 2 csc 18 ∘ {\displaystyle \varphi ={1 \over 2}\csc(\pi /10)={1 \over 2}\csc 18^{\circ }
φ = 2 cos ( π / 5 ) = 2 cos 36 ∘ {\displaystyle \varphi =2\cos(\pi /5)=2\cos 36^{\circ }}
φ = 2 sin ( 3 π / 10 ) = 2 sin 54 ∘ . {\displaystyle \varphi =2\sin(3\pi /10)=2\sin 54^{\circ }.}
Cela correspond au fait que la longueur de la diagonale d’un pentagone régulier est φ fois la longueur de son côté, et à des relations similaires dans un pentagramme.
Géométrie
Le nombre φ apparaît fréquemment en géométrie, en particulier dans les figures à symétrie pentagonale.La longueur de la diagonale d’un pentagone régulier est φ fois son côté.Les sommets d’un icosaèdre régulier sont ceux de trois rectangles d’or mutuellement orthogonaux.
Il n’existe pas d’algorithme général connu pour disposer un nombre donné de nœuds de manière égale sur une sphère, pour l’une quelconque des plusieurs définitions de la distribution égale (voir, par exemple, le problème de Thomson). Cependant, une approximation utile résulte de la division de la sphère en bandes parallèles de surface égale et du placement d’un nœud dans chaque bande à des longitudes espacées par un nombre d’or du cercle, soit 360°/φ ≅ 222,5°. Cette méthode a été utilisée pour disposer les 1500 miroirs du satellite Starshine-3, fruit d’une participation étudiante.
Division d’un segment de droite par division intérieure
- Avec un segment de droite AB, construire une perpendiculaire BC au point B, BC ayant la moitié de la longueur de AB. Dessinez l’hypoténuse AC.
- Dessinez un arc de centre C et de rayon BC. Cet arc coupe l’hypoténuse AC au point D.
- Tracer un arc de centre A et de rayon AD. Cet arc coupe le segment de droite original AB au point S. Le point S divise le segment de droite original AB en segments de droite AS et SB avec des longueurs dans le nombre d’or.
Division d’un segment de droite par division extérieure
- Tracer un segment de droite AS et construire à partir du point S un segment SC perpendiculaire à AS et de même longueur que AS.
- Faire une bissection du segment de droite AS avec M.
- Un arc de cercle autour de M de rayon MC coupe en un point B la droite passant par les points A et S (appelée aussi le prolongement de AS). Le rapport de AS au segment construit SB est le nombre d’or.
Des exemples d’application que vous pouvez voir dans les articles Pentagone avec une longueur de côté donnée, Décagone avec une circonférence donnée et Décagone avec une longueur de côté donnée.
Les deux algorithmes différents affichés ci-dessus produisent des constructions géométriques qui déterminent deux segments de ligne alignés où le rapport entre le plus long et le plus court est le nombre d’or.
Triangle d’or, pentagone et pentagramme
radians.
Triangle d’or
Le triangle d’or peut être caractérisé comme un triangle isocèle ABC ayant la propriété que la bissection de l’angle C produit un nouveau triangle CXB qui est un triangle similaire à l’original.
Si l’angle BCX = α, alors XCA = α à cause de la bissection, et CAB = α à cause des triangles semblables ; ABC = 2α à partir de la symétrie isocèle originale, et BXC = 2α par similitude. La somme des angles d’un triangle est égale à 180°, donc 5α = 180, ce qui donne α = 36°. Les angles du triangle d’or sont donc 36°-72°-72°. Les angles du triangle isocèle obtus restant AXC (parfois appelé le gnomon d’or) sont 36°-36°-108°.
Supposons que XB a la longueur 1, et nous appelons BC la longueur φ. En raison des triangles isocèles XC=XA et BC=XC, donc ceux-ci ont aussi la longueur φ. La longueur AC = AB, est donc égale à φ + 1. Mais le triangle ABC est semblable au triangle CXB, donc AC/BC = BC/BX, AC/φ = φ/1, et donc AC est aussi égal à φ2. Ainsi φ2 = φ + 1, ce qui confirme que φ est bien le nombre d’or.
De même, le rapport de l’aire du plus grand triangle AXC sur le plus petit CXB est égal à φ, tandis que le rapport inverse est φ – 1.
Pentagone
Dans un pentagone régulier, le rapport d’une diagonale à un côté est le nombre d’or, tandis que les diagonales qui se croisent se sectionnent selon le nombre d’or.
Construction d’Odom
George Odom a donné une construction remarquablement simple pour φ impliquant un triangle équilatéral : si un triangle équilatéral est inscrit dans un cercle et que le segment de droite joignant les points médians de deux côtés est produit pour couper le cercle en l’un ou l’autre de deux points, alors ces trois points sont en proportion dorée. Ce résultat est une conséquence directe du théorème des cordes sécantes et peut être utilisé pour construire un pentagone régulier, une construction qui a attiré l’attention du célèbre géomètre canadien H. S. M. Coxeter qui l’a publié au nom d’Odom sous la forme d’un diagramme dans l’American Mathematical Monthly accompagné du seul mot » Behold ! « .
Pentagramme
Le nombre d’or joue un rôle important dans la géométrie des pentagrammes. Chaque intersection d’arêtes sectionne d’autres arêtes selon le nombre d’or. Aussi, le rapport entre la longueur du segment le plus court et le segment délimité par les deux arêtes qui se croisent (un côté du pentagone au centre du pentagramme) est φ, comme le montre l’illustration en quadrichromie.
Le pentagramme comprend dix triangles isocèles : cinq triangles isocèles aigus et cinq triangles isocèles obtus. Dans tous ces triangles, le rapport entre le côté le plus long et le côté le plus court est φ. Les triangles aigus sont des triangles d’or. Les triangles isocèles obtus sont des gnomons d’or.
Théorème de Ptolémée
Les propriétés du nombre d’or d’un pentagone régulier peuvent être confirmées en appliquant le théorème de Ptolémée au quadrilatère formé en retirant un de ses sommets. Si l’arête longue et les diagonales du quadrilatère sont b, et les arêtes courtes sont a, alors le théorème de Ptolémée donne b2 = a2 + ab ce qui donne
b a = 1 + 5 2 . {\displaystyle {b \over a}={1+{\sqrt {5}}} \over 2}.}
Scalénité des triangles
Considérez un triangle dont les côtés sont de longueur a, b et c dans l’ordre décroissant. Définissez la « scalénité » du triangle comme étant le plus petit des deux rapports a/b et b/c. La scalénité est toujours inférieure à φ et peut être rendue aussi proche que souhaité de φ.
Triangle dont les côtés forment une progression géométrique
Si les longueurs des côtés d’un triangle forment une progression géométrique et sont dans le rapport 1 : r : r2, où r est le rapport commun, alors r doit être compris dans l’intervalle φ-1 < r < φ, ce qui est une conséquence de l’inégalité triangulaire (la somme de deux côtés quelconques d’un triangle doit être strictement plus grande que la longueur du troisième côté). Si r = φ, alors les deux côtés les plus courts sont 1 et φ mais leur somme est φ2, donc r < φ. Un calcul similaire montre que r > φ-1. Un triangle dont les côtés sont dans le rapport 1 : √φ : φ est un triangle rectangle (car 1 + φ = φ2) appelé triangle de Kepler.
Triangle d’or, losange, et triacontaèdre rhombique
Un losange d’or est un losange dont les diagonales sont dans le nombre d’or. Le triacontaèdre rhombique est un polytope convexe qui possède une propriété très particulière : toutes ses faces sont des rhombes d’or. Dans le triacontaèdre rhombique, l’angle dièdre entre deux rhombes adjacents quelconques est de 144°, soit deux fois l’angle isocèle d’un triangle d’or et quatre fois son angle le plus aigu.
Relation avec la suite de Fibonacci
Les mathématiques du nombre d’or et de la suite de Fibonacci sont intimement liées. La séquence de Fibonacci est :
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, …. Une expression en forme fermée de la suite de Fibonacci fait intervenir le nombre d’or : F ( n ) = φ n – ( 1 – φ ) n 5 = φ n – ( – φ ) – n 5 . {\displaystyle F\left(n\right)={{\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}} \over {\sqrt {5}}={{\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}} \over {\sqrt {5}}.}
Le nombre d’or est la limite des rapports des termes successifs de la séquence de Fibonacci (ou de toute séquence de type Fibonacci), comme l’a montré Kepler :
lim n → ∞ F n + 1 F n = φ . {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}=\varphi .}
En d’autres termes, si un nombre de Fibonacci est divisé par son prédécesseur immédiat dans la séquence, le quotient est proche de φ ; par ex, 987/610 ≈ 1.6180327868852. Ces approximations sont alternativement inférieures et supérieures à φ, et convergent vers φ à mesure que les nombres de Fibonacci augmentent, et:
∑ n = 1 ∞ | F n φ – F n + 1 | = φ . {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|F_{n}\varphi -F_{n+1}|=\varphi .}
Plus généralement :
lim n → ∞ F n + a F n = φ a , {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n+a}}{F_{n}}}=\varphi ^{a},}
Où ci-dessus, les rapports des termes consécutifs de la suite de Fibonacci, est un cas où a = 1. {\displaystyle a=1.}
De plus, les puissances successives de φ obéissent à la récurrence de Fibonacci :
φ n + 1 = φ n + φ n – 1 . {\displaystyle \varphi ^{n+1}=\varphi ^{n}+\varphi ^{n-1}.}
Cette identité permet de réduire tout polynôme en φ à une expression linéaire. Par exemple :
3 φ 3 – 5 φ 2 + 4 = 3 ( φ 2 + φ ) – 5 φ 2 + 4 = 3 – 5 ( φ + 1 ) + 4 = φ + 2 ≈ 3,618. {\displaystyle {\begin{aligned}3\varphi ^{3}-5\varphi ^{2}+4&=3(\varphi ^{2}+\varphi )-5\varphi ^{2}+4\\\\=3-5(\varphi +1)+4\\&=\varphi +2\approx 3.618.\end{aligned}}
La réduction à une expression linéaire peut être accomplie en une étape en utilisant la relation
φ k = F k φ + F k – 1 , {\displaystyle \varphi ^{k}=F_{k}\varphi +F_{k-1},}
\varphi ^{k}=F_{k}\varphi +F_{k-1},où F k {\displaystyle F_{k}}
est le kième nombre de Fibonacci.
Cependant, il ne s’agit pas d’une propriété particulière de φ, car les polynômes de toute solution x d’une équation quadratique peuvent être réduits de manière analogue, en appliquant :
x 2 = a x + b {\displaystyle x^{2}=ax+b}.
pour des coefficients a, b donnés tels que x satisfasse l’équation. De manière encore plus générale, toute fonction rationnelle (à coefficients rationnels) de la racine d’un polynôme irréductible de degré n sur les rationnels peut être réduite à un polynôme de degré n – 1. En termes de théorie des champs, si α est une racine d’un polynôme irréductible du nième degré, alors Q ( α ) {\displaystyle \mathbb {Q} (\N- alpha )}
est de degré n sur Q {\displaystyle \mathbb {Q} }
, avec la base { 1 , α , … , α n – 1 } . {\displaystyle \{1,\alpha ,\dots ,\alpha ^{n-1}\}.}
Symmétries
Le nombre d’or et le nombre d’or inverse φ ± = ( 1 ± 5 ) / 2 {\displaystyle \varphi _{\pm }=(1\pm {\sqrt {5})/2}
ont un ensemble de symétries qui les préservent et les mettent en relation. Elles sont toutes deux préservées par les transformations linéaires fractionnaires x , 1 / ( 1 – x ) , ( x – 1 ) / x , {\displaystyle x,1/(1-x),(x-1)/x,}
– ce fait correspond à l’identité et à l’équation quadratique de définition.De plus, elles sont interchangées par les trois applications 1 / x , 1 – x , x / ( x – 1 ) {\displaystyle 1/x,1-x,x/(x-1)}.
– elles sont réciproques, symétriques autour de 1 / 2 {\displaystyle 1/2}
, et (en projection) symétriques autour de 2.
Plus profondément, ces cartes forment un sous-groupe du groupe modulaire PSL ( 2 , Z ) {\displaystyle \operatorname {PSL} (2,\mathbf {Z} )}
isomorphe au groupe symétrique sur 3 lettres, S 3 , {\displaystyle S_{3},}
correspondant au stabilisateur de l’ensemble { 0 , 1 , ∞ }. {\displaystyle \{0,1,\}}
de 3 points standards sur la droite projective, et les symétries correspondent à la carte quotient S 3 → S 2 {\displaystyle S_{3}\to S_{2}}.
– le sous-groupe C 3 < S 3 {\displaystyle C_{3}<S_{3}}
constitué des 3-cycles et de l’identité ( ) ( 01 ∞ ) ( 0 ∞ 1 ) {\displaystyle ()(01\infty )(0\infty 1)}
fixe les deux nombres, tandis que les 2-cycles les échangent, réalisant ainsi la carte.
Autres propriétés
Le nombre d’or a l’expression la plus simple (et la convergence la plus lente) comme expansion de fraction continue de tout nombre irrationnel (voir Formes alternatives ci-dessus). C’est, pour cette raison, l’un des pires cas du théorème d’approximation de Lagrange et c’est un cas extrême de l’inégalité de Hurwitz pour les approximations diophantiennes. C’est peut-être la raison pour laquelle les angles proches du nombre d’or apparaissent souvent dans la phyllotaxie (la croissance des plantes).
Le polynôme quadratique définitoire et la relation conjuguée conduisent à des valeurs décimales qui ont leur partie fractionnaire en commun avec φ:
φ 2 = φ + 1 = 2,618 … {\displaystyle \varphi ^{2}=\varphi +1=2,618\dots }.
1 φ = φ – 1 = 0.618 … . {\displaystyle {1 \over \varphi }=\varphi -1=0.618\dots .}
La suite des puissances de φ contient ces valeurs 0,618…, 1,0, 1,618…, 2.618… ; plus généralement,toute puissance de φ est égale à la somme des deux puissances immédiatement précédentes :
φ n = φ n – 1 + φ n – 2 = φ ⋅ F n + F n – 1 . {\displaystyle \varphi ^{n}=\varphi ^{n-1}+\varphi ^{n-2}=\varphi \cdot \operatorname {F} _{n}+\N-opérateur de nom {F} _{n-1}.}
En conséquence, on peut facilement décomposer toute puissance de φ en un multiple de φ et une constante. Le multiple et la constante sont toujours des nombres de Fibonacci adjacents. Cela conduit à une autre propriété des puissances positives de φ :
Si ⌊ n / 2 – 1 ⌋ = m {\displaystyle \lfloor n/2-1\rfloor =m}.
, alors : φ n = φ n – 1 + φ n – 3 + ⋯ + φ n – 1 – 2 m + φ n – 2 – 2 m {\displaystyle \!\nbsp;\nbsp;\nbsp;\nbsp;\N-).\\\\\N- \N-Varphi ^{n}=\N-Varphi ^{n-1}+\N-Varphi ^{n-3}+\cdots +\N-Varphi ^{n-1-2m}+\N-Varphi ^{n-2-2m}}
φ n – φ n – 1 = φ n – 2 . {\displaystyle}!\\N{\i1}Varphi ^{n}-{\i}varphi ^{n-1}={\i}varphi ^{n-2}.}
Lorsque le nombre d’or est utilisé comme base d’un système numérique (voir Base du nombre d’or, parfois surnommée phinaire ou φ-naire), chaque entier a une représentation terminale, bien que φ soit irrationnel, mais chaque fraction a une représentation non terminale.
Le nombre d’or est une unité fondamentale du champ numérique algébrique Q ( 5 ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {5}})}
et est un nombre de Pisot-Vijayaraghavan. Dans le champ Q ( 5 ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {5}})}
nous avons φ n = L n + F n 5 2 {\displaystyle \varphi ^{n}={L_{n}+F_{n}{\sqrt {5}}} \over 2}}
, où L n {\displaystyle L_{n}}
est le n {\displaystyle n}
-ième nombre de Lucas.
Le nombre d’or apparaît également en géométrie hyperbolique, comme la distance maximale entre un point d’un côté d’un triangle idéal et le plus proche des deux autres côtés : cette distance, la longueur du côté du triangle équilatéral formé par les points de tangence d’un cercle inscrit dans le triangle idéal, est 4 log ( φ ) {\displaystyle 4\log(\varphi )}.
.
Le nombre d’or apparaît également dans la théorie des fonctions modulaires. Soit
R ( q ) = q 1 / 5 1 + q 1 + q 2 1 + q 3 1 + ⋱ . {\displaystyle R(q)={\cfrac {q^{1/5}}{1+{\cfrac {q}{1+{\cfrac {q^{2}}{1+{\cfrac {q^{3}}{1+{\dots }}}}}}}}.}
Alors
R ( e – 2 π ) = φ 5 – φ , R ( e – 2 π 5 ) = 5 1 + ( 5 3 4 ( φ – 1 ) 5 2 – 1 ) 1 5 – φ . {\displaystyle R(e^{-2\pi })={\sqrt {\varphi {\sqrt {5}}}}-\varphi ,\quad R(e^{-2\pi {\sqrt {5}})={\frac {\sqrt {5}}{1+\left(5^{\frac {3}{4}}(\varphi -1)^{\frac {5}{2}}-1\right)^{\frac {1}{5}}}}-\varphi .}
Alors si a , b ∈ R + {\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ^{+}}.
et a b = π 2{displaystyle ab=\pi ^{2}}.
, alors ( R ( e – 2 a ) + φ ) ( R ( e – 2 b ) + φ ) = φ 5 . {\displaystyle (R(e^{-2a})+\varphi )(R(e^{-2b})+\varphi )=\varphi {\sqrt {5}}.}
Développement décimal
Le développement décimal du nombre d’or peut être calculé directement à partir de l’expression
φ = 1 + 5 2 {\displaystyle \varphi ={1+{\sqrt {5}}. \over 2}}
avec √5 ≈ 2,2360679774997896964 OEIS : A002163. La racine carrée de 5 peut être calculée avec la méthode babylonienne, en commençant par une estimation initiale telle que xφ = 2 et en itérant
x n + 1 = ( x n + 5 / x n ) 2 {\displaystyle x_{n+1}={\frac {(x_{n}+5/x_{n})}{2}}.
pour n = 1, 2, 3, …, jusqu’à ce que la différence entre xn et xn-1 devienne nulle, au nombre de chiffres souhaité.
L’algorithme babylonien pour √5 est équivalent à la méthode de Newton pour résoudre l’équation x2 – 5 = 0. Dans sa forme plus générale, la méthode de Newton peut être appliquée directement à toute équation algébrique, y compris l’équation x2 – x – 1 = 0 qui définit le nombre d’or. Cela donne une itération qui converge vers le nombre d’or lui-même,
x n + 1 = x n 2 + 1 2 x n – 1 , {\displaystyle x_{n+1}={\frac {x_{n}^{2}+1}{2x_{n}-1}},}
pour une estimation initiale appropriée xφ telle que xφ = 1. Une méthode légèrement plus rapide consiste à réécrire l’équation sous la forme x – 1 – 1/x = 0, auquel cas l’itération de Newton devient
x n + 1 = x n 2 + 2 x n x n 2 + 1 . {\displaystyle x_{n+1}={\frac {x_{n}^{2}+2x_{n}}{x_{n}^{2}+1}}.}
Ces itérations convergent toutes de manière quadratique, c’est-à-dire que chaque étape double approximativement le nombre de chiffres corrects. Le nombre d’or est donc relativement facile à calculer avec une précision arbitraire. Le temps nécessaire pour calculer les n chiffres du nombre d’or est proportionnel au temps nécessaire pour diviser deux nombres à n chiffres. Cela est considérablement plus rapide que les algorithmes connus pour les nombres transcendantaux π et e.
Une alternative facilement programmable utilisant uniquement l’arithmétique des nombres entiers consiste à calculer deux grands nombres de Fibonacci consécutifs et à les diviser. Le rapport des nombres de Fibonacci F 25001 et F 25000, chacun de plus de 5000 chiffres, donne plus de 10 000 chiffres significatifs du nombre d’or.
L’expansion décimale du nombre d’or φ a été calculée avec une précision de deux trillions (2×1012 = 2 000 000 000 000) de chiffres.
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