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Relation réflexive sur l’ensemble

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La relation réflexive sur l’ensemble est un élément binaire dans lequel chaque élément est relié à lui-même.

Disons que A est un ensemble et que R est la relation définie dans cet ensemble.

R est définie comme étant réflexive, si (a, a) ∈ R pour tout a ∈ A c’est-à-dire que tout élément de A est relié à lui-même par R, autrement dit aRa pour tout a ∈ A.

Une relation R dans un ensemble A n’est pas réflexive s’il existe au moins un élément a ∈ A tel que (a, a) ∉ R.

Considérons, par exemple, un ensemble A = {p, q, r, s}.

La relation R\(_{1}\) = {(p, p), (p, r), (q, q), (r, r), (r, s), (s, s)} dans A est réflexive, puisque tout élément de A est R\(_{1}\)-relationnel à lui-même.

Mais la relation R\(_{2}\) = {(p, p), (p, r), (q, r), (q, s), (r, s)} n’est pas réflexive dans A puisque q, r, s ∈ A mais (q, q) ∉ R\(_{2}\), (r, r) ∉ R\(_{2}\) et (s, s) ∉ R\(_{2}\)

Exemple résolu de relation réflexive sur un ensemble :

1.On définit une relation R sur l’ensemble Z (ensemble de tous les entiers) par « aRb si et seulement si 2a + 3b est divisible par 5 », pour tous les a, b ∈ Z. Examinez si R est une relation réflexive sur Z.

Solution:

Laissons a ∈ Z. Or 2a + 3a = 5a, qui est divisible par 5. DoncaRa est valable pour tout a dans Z c’est-à-dire que R est réflexive.

2.Une relation R est définie sur l’ensemble Z par « aRb si a – b est divisible par 5 » pour a,b ∈ Z. Examiner si R est une relation réflexive sur Z.

Solution:

Laissons a ∈ Z. Alors a – a est divisible par 5. Donc aRa tient pour tout a dans Z c’est-à-dire que R est réflexive.

3.Considérons l’ensemble Z dans lequel une relation R est définie par ‘aRb si et seulement si a +3b est divisible par 4, pour a, b ∈ Z. Montrons que R est une relation réflexive sur l’ensembleZ.

Solution:

Qu’a ∈ Z. Or a + 3a = 4a, qui est divisible par 4. DoncaRa est valable pour tout a dans Z c’est-à-dire que R est réflexive.

4.Une relation ρ est définie sur l’ensemble de tous les nombres réels R par ‘xρy’ si et seulement si |x – y| ≤ y, pour x, y ∈ R. Montrez que la relation ρ n’est pas réflexive.

Solution:

La relation ρ n’est pas réflexive car x = -2 ∈ R mais |x – x| = 0qui n’est pas inférieur à -2(= x).

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