Triangles droits spéciaux | Math Wiki

Un triangle droit spécial est un triangle droit avec une certaine caractéristique régulière qui rend les calculs sur le triangle plus faciles, ou pour lequel des formules simples existent. Par exemple, un triangle rectangle peut avoir des angles qui forment un rapport simple, comme 45-45-90. Il s’agit alors d’un triangle rectangle » à base d’angles « . Un triangle rectangle » à base de côtés » est un triangle dont les longueurs des côtés forment un rapport de nombres entiers, par exemple 3-4-5. Connaître les rapports des angles ou des côtés de ces triangles droits spéciaux permet de calculer rapidement diverses longueurs dans des problèmes géométriques sans avoir recours à des méthodes plus avancées.

Base sur les angles

Les triangles droits spéciaux « à base d’angles » sont spécifiés par le rapport entier des angles dont le triangle est composé. Le rapport entier des angles de ces triangles est tel que le plus grand angle (droit) est égal à la somme des petits angles : $m:n :(m+n)\,$ . Les longueurs des côtés sont généralement déduites de la base du cercle unitaire ou d’autres méthodes géométriques. Cette forme est surtout intéressante car elle peut être utilisée pour reproduire rapidement les valeurs des fonctions trigonométriques pour les angles 30°, 45°, & 60°.

Triangle 45-45-90

La construction de la diagonale d’un carré donne un triangle dont les trois angles sont dans le rapport $1 :1:2\,$ . La somme des trois angles étant égale à 180° (π), les angles mesurent respectivement 45° $({\frac {\pi }{4}}),$ $({\frac {\pi }{4}}),$ et 90° $({\frac {\pi }{2}}).$ Les côtés sont dans le rapport

$1:1:{\sqrt {2}}.$

Une preuve simple. Supposons que vous ayez un tel triangle avec les branches a et b et l’hypoténuse c. Supposons que a = 1. Puisque deux angles mesurent 45°, c’est un triangle isocèle et nous avons b = 1. Le fait que $c={\sqrt {2}}$ découle immédiatement du théorème de Pythagore.

Triangle 30-60-90

C’est un triangle dont les trois angles sont dans le rapport $1 :2:3\,$ , et mesurent respectivement 30°, 60° et 90°. Comme ce triangle est la moitié d’un triangle équilatéral, certains l’appellent le triangle hémisphérique. La désignation 30-60-90 n’est pas seulement encombrante, elle fait référence au degré, une division arbitraire de la mesure angulaire. Les côtés sont dans le rapport $1-{\sqrt {3}}-2$ .

La preuve de ce fait est claire en utilisant la trigonométrie. Bien que la preuve géométrique soit moins apparente, elle est tout aussi triviale :

Dessinez un triangle équilatéral ABC de longueur de côté 2 et dont le point D est le milieu du segment BC. Tracez une ligne d’altitude de A à D. Alors ABD est un triangle 30-60-90 (Hemieq) avec l’hypoténuse de longueur 2, et la base BD de longueur 1. Le fait que la jambe restante AD ait une longueur

${\sqrt {3}}$ découle immédiatement du théorème de Pythagore.

Triangles droits à côtés

Tous les triangles droits spéciaux à côtés possèdent des angles qui ne sont pas nécessairement des nombres rationnels, mais dont les côtés sont toujours de longueur entière et forment un triplet pythagoricien. Ils sont d’autant plus utiles qu’ils peuvent être facilement mémorisés et que tout multiple des côtés produit la même relation.

Triples de Pythagore courants

Il existe plusieurs triplets de Pythagore très connus, notamment :

$3:4:5\,$ $5:12 :13\,$ $6:8:10\,$ (un multiple du triple 3:4:5) $8 :15:17\,$ $7:24:25\,$

Le plus petit d’entre eux (et ses multiples, 6:8:10, 9:12:15,….) est le seul triangle rectangle dont les arêtes sont en progression arithmétique. Les triangles basés sur les triplets pythagoriciens sont héroniens et ont donc une aire entière.

Triangles de Fibonacci

En commençant par 5, tous les autres nombres de Fibonacci {0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144, 233,377, 710,…} est la longueur de l’hypoténuse d’un triangle rectangle à côtés entiers, ou en d’autres termes, le plus grand nombre dans un triple de Pythagore. La longueur de la branche la plus longue de ce triangle est égale à la somme des trois côtés du triangle précédent dans cette série de triangles, et la branche la plus courte est égale à la différence entre le nombre de Fibonacci contourné précédent et la branche la plus courte du triangle précédent.

Le premier triangle de cette série a des côtés de longueur 5, 4 et 3. En sautant 8, le triangle suivant a des côtés de longueur 13, 12 (5 + 4 + 3), et 5 (8 – 3). En sautant 21, le triangle suivant a des côtés de longueur 34, 30 (13 + 12 + 5) et 16 (21 – 5). Cette série se poursuit indéfiniment et se rapproche d’un triangle limite avec des rapports d’arêtes :

${\sqrt {5}}:2:1$ .

Ce triangle rectangle est parfois appelé dom, nom suggéré par Andrew Clarke pour souligner qu’il s’agit du triangle obtenu en disséquant un domino selon une diagonale. Le dom constitue la base du pavage apériodique de la roue d’épingle proposé par John Conway et Charles Radin.

Triples de Pythagore presque isocèles

Les triangles rectangles isocèles ne peuvent pas avoir de côtés à valeurs entières. Cependant, il existe une infinité de triangles rectangles presque isocèles. Ce sont des triangles rectangles à côtés entiers pour lesquels les longueurs des arêtes non hypoténuses diffèrent de un. De tels triangles rectangles presque isocèles peuvent être obtenus de manière récursive en utilisant l’équation de Pell :

a0 = 1, b0 = 2 an = 2bn-1 + an-1 bn = 2an + bn-1

an est la longueur de l’hypoténuse, n=1, 2, 3,…. . Les plus petits triplets pythagoriciens qui en résultent sont:

$3:4:5\,$ $20:21:29\,$ $119 :120:169\,$ $696:697:985\,$

Calcul des fonctions trigonométriques courantes

Des triangles spéciaux sont utilisés pour faciliter le calcul des fonctions trigonométriques courantes, comme ci-dessous :

${\frac {1}{2}$

Degrees	Radians	sin	cos	tan
0	0	0	1	0	30	${\frac {\pi }{6}$	${\frac {1}{2}$	${\frac {\sqrt {3}{2}$	${\frac {\sqrt {3}}{3}$
45	${\frac {\pi }{4}$	${{displaystyle {\frac {\sqrt {2}{2}}$	${{displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}$	1
60	${\frac {\pi }{3}$	${\frac {\sqrt {3}{2}$	${\sqrt {3}$
90	${\frac {\pi }{2}}$	1	0	–