Goldener Schnitt

Irrationalität

Der Goldene Schnitt ist eine irrationale Zahl. Nachfolgend zwei kurze Beweise für die Irrationalität:

Widerspruch aus einem Ausdruck in kleinsten Termen

Wäre φ rational, dann wäre es das Verhältnis der Seiten eines Rechtecks mit ganzzahligen Seiten (das Rechteck, das die gesamte Grafik umfasst). Es wäre aber auch das Verhältnis der ganzzahligen Seiten des kleineren Rechtecks (des ganz rechten Teils des Diagramms), das man durch Löschen eines Quadrats erhält. Die Folge abnehmender ganzzahliger Seitenlängen, die durch das Löschen von Quadraten gebildet wird, kann nicht unendlich fortgesetzt werden, weil die ganzen Zahlen eine untere Schranke haben, so dass φ nicht rational sein kann.

Erinnern Sie sich daran, dass:

das Ganze der längere Teil plus der kürzere Teil ist; das Ganze ist zum längeren Teil wie der längere Teil zum kürzeren Teil.

Wenn wir das Ganze n und den längeren Teil m nennen, dann wird die zweite Aussage oben zu

n ist zu m wie m zu n – m,

oder, algebraisch

n m = m n – m . ( ∗ ) {\displaystyle {\frac {n}{m}}={\frac {m}{n-m}}.\qquad (*)}

Zu sagen, dass der Goldene Schnitt φ rational ist, bedeutet, dass φ ein Bruch n/m ist, wobei n und m ganze Zahlen sind. Wir können annehmen, dass n/m in kleinsten Termen steht und dass n und m positiv sind. Aber wenn n/m in kleinsten Termen ist, dann sagt die oben mit (*) bezeichnete Identität, dass m/(n – m) in noch kleineren Termen ist. Das ist ein Widerspruch, der aus der Annahme folgt, dass φ rational ist.

Durch Irrationalität von √5

Ein weiterer kurzer Beweis – vielleicht der bekannteste – für die Irrationalität des Goldenen Schnitts macht sich die Schließung der rationalen Zahlen unter Addition und Multiplikation zunutze. Wenn 1 + 5 2 {\displaystyle \textstyle {\frac {1+{\sqrt {5}}{2}}}

rational ist, dann ist 2 ( 1 + 5 2 ) – 1 = 5 {\displaystyle \textstyle 2\left({\frac {1+{\sqrt {5}}{2}}\right)-1={\sqrt {5}}}

ist ebenfalls rational, was ein Widerspruch ist, wenn bereits bekannt ist, dass die Quadratwurzel aus einer nichtquadratischen natürlichen Zahl irrational ist.

Minimales Polynom

Der Goldene Schnitt ist auch eine algebraische Zahl und sogar eine algebraische ganze Zahl. Er hat ein minimales Polynom

x 2 – x – 1. {displaystyle x^{2}-x-1.}

Dieses Polynom hat mit dem Grad 2 tatsächlich zwei Wurzeln, die andere ist der konjugierte Goldene Schnitt.

Konjugierter Goldener Schnitt

Die konjugierte Wurzel zum Minimalpolynom x2 – x – 1 ist

– 1 φ = 1 – φ = 1 – 5 2 = – 0,61803 39887 … . {\displaystyle -{\frac {1}{\varphi }}=1-\varphi ={\frac {1-{\sqrt {5}}{2}}=-0.61803\,39887\dots .}

Der Absolutwert dieser Größe (≈ 0.618) entspricht dem Längenverhältnis in umgekehrter Reihenfolge (kürzere Segmentlänge über längere Segmentlänge, b/a) und wird manchmal auch als konjugierter Goldener Schnitt oder Silberschnitt bezeichnet. Er wird hier mit dem Großbuchstaben Phi ( Φ {\displaystyle \Phi }

) bezeichnet: Φ = 1 φ = φ – 1 = 0,61803 39887 … . Φ = 1 φ = φ – 1 = 0,61803 39887 … .

Alternativ dazu kann Φ {\displaystyle \Phi }

kann ausgedrückt werden als Φ = φ – 1 = 1,61803 39887 … – 1 = 0,61803 39887 … . {\displaystyle \Phi =\varphi -1=1.61803\,39887\ldots -1=0.61803\,39887\ldots .}

Dies veranschaulicht die einzigartige Eigenschaft des Goldenen Schnitts unter den positiven Zahlen, dass

1 φ = φ – 1 , {\displaystyle {1 \über \varphi }=\varphi -1,}

oder sein Kehrwert:

1 Φ = Φ + 1. 1 Φ = Φ +1,.

Das bedeutet 0,61803…:1 = 1:1,61803….

Alternative Formen

Näherungen an den reziproken Goldenen Schnitt durch endliche Kettenbrüche, oder Verhältnisse von Fibonacci-Zahlen

Die Formel φ = 1 + 1/φ kann rekursiv erweitert werden, um einen Kettenbruch für den Goldenen Schnitt zu erhalten:

φ = = 1 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + ⋱ {\displaystyle \varphi ==1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}

und sein Kehrwert:

φ – 1 = = 0 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + ⋱ {\displaystyle \varphi ^{-1}==0+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}

Die Konvergenten dieser Kettenbrüche (1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, …., bzw. 1/1, 1/2, 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, …) sind Verhältnisse von aufeinanderfolgenden Fibonacci-Zahlen.

Die Gleichung φ2 = 1 + φ ergibt ebenfalls die fortgesetzte Quadratwurzel:

φ = 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ . φ = 1 + ⋯ φ + ⋯ }}}}}}}}.

Eine unendliche Reihe kann abgeleitet werden, um φ auszudrücken:

φ = 13 8 + ∑ n = 0 ∞ ( – 1 ) n + 1 ( 2 n + 1 ) ! 4 2 n + 3 n ! ( n + 2 ) ! . {\displaystyle \varphi ={\frac {13}{8}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}(2n+1)!}{4^{2n+3}n!(n+2)!}}.}

Auch:

φ = 1 + 2 sin ( π / 10 ) = 1 + 2 sin 18 ∘ {\displaystyle \varphi =1+2\sin(\pi /10)=1+2\sin 18^{\circ }}

φ = 1 2 csc ( π / 10 ) = 1 2 csc 18 ∘ {\displaystyle \varphi ={1 \über 2}\csc(\pi /10)={1 \über 2}\csc 18^{\circ }}

φ = 2 cos ( π / 5 ) = 2 cos 36 ∘ {\displaystyle \varphi =2\cos(\pi /5)=2\cos 36^{\circ }}

φ = 2 sin ( 3 π / 10 ) = 2 sin 54 ∘ . φ = 2 sin ( 3 π / 10 ) = 2 sin 54^{\circ } φ = 2 sin ( 3 π / 10 ) = 2 sin 54^{\circ }

Dies entspricht der Tatsache, dass die Länge der Diagonale eines regelmäßigen Fünfecks φ mal die Länge seiner Seite ist, und ähnlichen Beziehungen in einem Pentagramm.

Geometrie

Ungefähre und echte goldene Spiralen. Die grüne Spirale wird aus Viertelkreisen gebildet, die das Innere der Quadrate tangieren, während die rote Spirale eine Goldene Spirale ist, eine spezielle Art der logarithmischen Spirale. Sich überschneidende Teile erscheinen gelb. Die Seitenlänge eines Quadrats geteilt durch die des nächstkleineren Quadrats ist der Goldene Schnitt.

Die Zahl φ taucht in der Geometrie häufig auf, besonders bei Figuren mit fünfeckiger Symmetrie: Die Länge der Diagonale eines regelmäßigen Fünfecks ist φ mal seine Seite.Die Eckpunkte eines regelmäßigen Ikosaeders sind die von drei zueinander orthogonalen goldenen Rechtecken.

Es ist kein allgemeiner Algorithmus bekannt, um eine gegebene Anzahl von Knoten gleichmäßig auf einer Kugel anzuordnen, und zwar für jede der verschiedenen Definitionen von gleichmäßiger Verteilung (siehe z. B. das Thomson-Problem). Eine brauchbare Näherung ergibt sich jedoch aus der Unterteilung der Kugel in parallele Bänder gleicher Fläche und der Platzierung eines Knotens in jedem Band auf Längengraden, die durch einen goldenen Schnitt des Kreises beabstandet sind, d. h. 360°/φ ≅ 222,5°. Diese Methode wurde für die Anordnung der 1500 Spiegel des Schüler-Satelliten Starshine-3 verwendet.

Teilung eines Liniensegments durch innere Division

Teilen eines Linienabschnitts durch innere Teilung nach dem Goldenen Schnitt

1. Haben Sie einen Linienabschnitt AB, Konstruieren Sie eine Senkrechte BC im Punkt B, wobei BC halb so lang ist wie AB. Zeichnen Sie die Hypotenuse AC.
2. Zeichnen Sie einen Bogen mit Mittelpunkt C und Radius BC. Dieser Bogen schneidet die Hypotenuse AC im Punkt D.
3. Zeichne einen Bogen mit dem Mittelpunkt A und dem Radius AD. Dieser Bogen schneidet den ursprünglichen Linienabschnitt AB im Punkt S. Der Punkt S teilt den ursprünglichen Linienabschnitt AB in die Linienabschnitte AS und SB mit Längen im goldenen Schnitt.

Teilung eines Linienabschnitts durch äußere Teilung

Teilung eines Linienabschnitts durch äußere Teilung nach dem Goldenen Schnitt

1. Zeichne ein Liniensegment AS und konstruiere vom Punkt S ein Segment SC, das senkrecht zu AS steht und die gleiche Länge wie AS hat.
2. Das Liniensegment AS wird durch M halbiert.
3. Ein Kreisbogen um M mit dem Radius MC schneidet im Punkt B die Gerade durch die Punkte A und S (auch als Verlängerung von AS bezeichnet). Das Verhältnis von AS zu dem konstruierten Segment SB ist der Goldene Schnitt.

Anwendungsbeispiele finden Sie in den Artikeln Fünfeck mit gegebener Seitenlänge, Zehneck mit gegebenem Umkreis und Zehneck mit gegebener Seitenlänge.

Beide der oben gezeigten unterschiedlichen Algorithmen erzeugen geometrische Konstruktionen, die zwei ausgerichtete Liniensegmente bestimmen, bei denen das Verhältnis des längeren zum kürzeren der Goldene Schnitt ist.

Goldenes Dreieck, Fünfeck und Pentagramm

Goldenes Dreieck. Der doppelt-rot-gewölbte Winkel beträgt 36 Grad oder π 5 {\displaystyle {\frac {\pi }{5}}}

Bogenmaß.

Goldenes Dreieck

Das goldene Dreieck kann als ein gleichschenkliges Dreieck ABC mit der Eigenschaft charakterisiert werden, dass die Winkelhalbierende des Winkels C ein neues Dreieck CXB erzeugt, das ein ähnliches Dreieck wie das ursprüngliche ist.

Wenn der Winkel BCX = α ist, dann ist XCA = α wegen der Halbierung und CAB = α wegen der ähnlichen Dreiecke; ABC = 2α aus der ursprünglichen gleichschenkligen Symmetrie, und BXC = 2α durch die Ähnlichkeit. Die Winkel in einem Dreieck addieren sich zu 180°, also 5α = 180, was α = 36° ergibt. Die Winkel des goldenen Dreiecks sind also 36°-72°-72°. Die Winkel des verbleibenden stumpfen gleichschenkligen Dreiecks AXC (auch goldener Gnomon genannt) sind 36°-36°-108°.

Angenommen, XB hat die Länge 1, und wir nennen BC die Länge φ. Wegen der gleichschenkligen Dreiecke sind XC=XA und BC=XC, also auch diese die Länge φ. Die Länge AC = AB, ist also gleich φ + 1. Aber das Dreieck ABC ist dem Dreieck CXB ähnlich, also ist AC/BC = BC/BX, AC/φ = φ/1, und somit ist AC auch gleich φ2. Somit ist φ2 = φ + 1, was bestätigt, dass φ tatsächlich der Goldene Schnitt ist.

Auch das Verhältnis der Fläche des größeren Dreiecks AXC zum kleineren CXB ist gleich φ, während das umgekehrte Verhältnis φ – 1 ist.

Fünfeck

In einem regelmäßigen Fünfeck ist das Verhältnis einer Diagonale zu einer Seite der Goldene Schnitt, während sich schneidende Diagonalen sich im Goldenen Schnitt schneiden.

Odoms Konstruktion

Lassen Sie A und B die Mittelpunkte der Seiten EF und ED eines gleichseitigen Dreiecks DEF sein. Verlängere AB so, dass es den Umkreis von DEF in C trifft.
| A B | | B C | = | A C | | A B | = ϕ {\displaystyle {\tfrac {|AB|}{|BC|}}={\tfrac {|AC|}{|AB|}}=\phi }

George Odom hat eine bemerkenswert einfache Konstruktion für φ gegeben, die ein gleichseitiges Dreieck einbezieht: Wenn ein gleichseitiges Dreieck in einen Kreis eingeschrieben ist und das Liniensegment, das die Mittelpunkte zweier Seiten verbindet, so erzeugt wird, dass es den Kreis in einem von zwei Punkten schneidet, dann sind diese drei Punkte im goldenen Verhältnis. Dieses Ergebnis ist eine einfache Folge des Satzes von den sich schneidenden Sehnen und kann verwendet werden, um ein regelmäßiges Fünfeck zu konstruieren, eine Konstruktion, die die Aufmerksamkeit des bekannten kanadischen Geometers H. S. M. Coxeter erregte, der sie in Odoms Namen als Diagramm im American Mathematical Monthly veröffentlichte, begleitet von dem einzigen Wort „Behold!“

Pentagramm

Ein Pentagramm, das farblich so gestaltet ist, dass seine Liniensegmente unterschiedlicher Länge zu unterscheiden sind. Die vier Längen stehen im goldenen Schnittverhältnis zueinander.

Der goldene Schnitt spielt eine wichtige Rolle in der Geometrie von Pentagrammen. Jeder Schnittpunkt von Kanten schneidet andere Kanten im goldenen Schnitt. Außerdem ist das Verhältnis der Länge des kürzeren Segments zu dem durch die beiden sich schneidenden Kanten begrenzten Segment (eine Seite des Fünfecks in der Mitte des Pentagramms) φ, wie die vierfarbige Abbildung zeigt.

Das Pentagramm enthält zehn gleichschenklige Dreiecke: fünf spitze und fünf stumpfe gleichschenklige Dreiecke. Bei allen ist das Verhältnis der längeren Seite zur kürzeren Seite φ. Die spitzen Dreiecke sind goldene Dreiecke. Die stumpfen gleichschenkligen Dreiecke sind goldene Gnome.

Satz des Ptolemäus

Der goldene Schnitt in einem regelmäßigen Fünfeck kann mit dem Satz des Ptolemäus berechnet werden.

Die Eigenschaften des Goldenen Schnitts eines regelmäßigen Fünfecks können bestätigt werden, indem man den Satz des Ptolemäus auf das Viereck anwendet, das durch das Entfernen eines seiner Eckpunkte gebildet wird. Wenn die lange Kante und die Diagonalen des Vierecks b und die kurzen Kanten a sind, dann ergibt der Satz des Ptolemäus b2 = a2 + ab, was

b a = 1 + 5 2 ergibt. {\displaystyle {b \über a}={{1+{\sqrt {5}}} {\over 2}.}

Skalarität von Dreiecken

Betrachten Sie ein Dreieck mit den Seitenlängen a, b und c in abnehmender Reihenfolge. Definieren Sie die „Skalarität“ des Dreiecks als das kleinere der beiden Verhältnisse a/b und b/c. Die Skalizität ist immer kleiner als φ und kann beliebig nahe an φ gebracht werden.

Dreieck, dessen Seiten eine geometrische Progression bilden

Bilden die Seitenlängen eines Dreiecks eine geometrische Progression und stehen im Verhältnis 1 : r : r2, wobei r das gemeinsame Verhältnis ist, dann muss r im Bereich φ-1 < r < φ liegen, was eine Folge der Dreiecksungleichung ist (die Summe zweier beliebiger Seiten eines Dreiecks muss streng größer sein als die Länge der dritten Seite). Wenn r = φ ist, dann sind die beiden kürzeren Seiten 1 und φ, aber ihre Summe ist φ2, also ist r < φ. Eine ähnliche Berechnung zeigt, dass r > φ-1 ist. Ein Dreieck, dessen Seiten im Verhältnis 1 : √φ : φ stehen, ist ein rechtwinkliges Dreieck (weil 1 + φ = φ2), das als Kepler-Dreieck bezeichnet wird.

Goldenes Dreieck, Rhombus, und rhombisches Triakontaeder

Eine der Rauten des rhombischen Triakontaeders

Alle Flächen des rhombischen Triaktaeders sind goldene Rhomben

Ein goldener Rhombus ist ein Rhombus, dessen Diagonalen im goldenen Schnitt liegen. Das rhombische Triaktaeder ist ein konvexes Polytop, das eine ganz besondere Eigenschaft hat: alle seine Flächen sind goldene Rhomben. Im rhombischen Triakontaeder beträgt der Flächenwinkel zwischen zwei beliebigen benachbarten Rhomben 144°, was dem doppelten gleichschenkligen Winkel eines goldenen Dreiecks und dem vierfachen spitzen Winkel entspricht.

Beziehung zur Fibonacci-Folge

Die Mathematik des goldenen Schnitts und der Fibonacci-Folge sind eng miteinander verknüpft. Die Fibonacci-Folge ist:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, …

Ein geschlossener Ausdruck für die Fibonacci-Folge beinhaltet den Goldenen Schnitt:

F ( n ) = φ n – ( 1 – φ ) n 5 = φ n – ( – φ ) – n 5 . {\displaystyle F\left(n\right)={{\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}} \über {\sqrt {5}}={{\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}} \over {\sqrt {5}}.}

Eine Fibonacci-Spirale, die sich der goldenen Spirale annähert, wobei die Quadrate der Fibonacci-Folge bis 34 verwendet werden. Die Spirale wird ausgehend vom inneren 1×1-Quadrat gezeichnet und setzt sich nach außen zu sukzessive größeren Quadraten fort.

Der Goldene Schnitt ist der Grenzwert der Verhältnisse aufeinanderfolgender Terme der Fibonacci-Folge (oder einer beliebigen Fibonacci-ähnlichen Folge), wie von Kepler gezeigt:

lim n → ∞ F n + 1 F n = φ . lim n → ∞ F_{n+1}}{F_{n}}= φ .

In anderen Worten, wenn eine Fibonacci-Zahl durch ihren unmittelbaren Vorgänger in der Folge geteilt wird, nähert sich der Quotient φ an; z.B., 987/610 ≈ 1.6180327868852. Diese Näherungen sind abwechselnd niedriger und höher als φ und konvergieren zu φ, wenn die Fibonacci-Zahlen zunehmen, und:

∑ n = 1 ∞ | F n φ – F n + 1 | = φ . ∞ F_{n} φ – F n + 1 | φ .

Allgemeiner:

lim n → ∞ F n + a F n = φ a , {\displaystyle \lim _{n\bis \infty }{\frac {F_{n+a}}{F_{n}}}=\varphi ^{a},}

wobei oben, die Verhältnisse der aufeinanderfolgenden Terme der Fibonacci-Folge, ein Fall ist, wenn a = 1. a=1.}

Außerdem gehorchen die aufeinanderfolgenden Potenzen von φ der Fibonacci-Rekurrenz:

φ n + 1 = φ n + φ n – 1 . φ n + 1 = φ n + φ n – 1.}

Durch diese Identität kann jedes Polynom in φ auf einen linearen Ausdruck reduziert werden. Zum Beispiel:

3 φ 3 – 5 φ 2 + 4 = 3 ( φ 2 + φ ) – 5 φ 2 + 4 = 3 – 5 ( φ + 1 ) + 4 = φ + 2 ≈ 3,618. {\displaystyle {\begin{aligned}3\varphi ^{3}-5\varphi ^{2}+4&=3(\varphi ^{2}+\varphi )-5\varphi ^{2}+4\\&=3-5(\varphi +1)+4\\&=\varphi +2\approx 3.618.\end{aligned}}

Die Reduktion auf einen linearen Ausdruck kann in einem Schritt mit Hilfe der Beziehung

φ k = F k φ + F k – 1 durchgeführt werden, {\displaystyle \varphi ^{k}=F_{k}\varphi +F_{k-1},}

wobei F k {\displaystyle F_{k}}

ist die k-te Fibonacci-Zahl.

Dies ist jedoch keine besondere Eigenschaft von φ, denn Polynome in jeder Lösung x einer quadratischen Gleichung lassen sich auf analoge Weise reduzieren, indem man gilt:

x 2 = a x + b {\displaystyle x^{2}=ax+b}

für gegebene Koeffizienten a, b so, dass x die Gleichung erfüllt. Noch allgemeiner kann jede rationale Funktion (mit rationalen Koeffizienten) der Wurzel eines irreduziblen Polynoms n-ten Grades über den Rationalen auf ein Polynom des Grades n – 1 reduziert werden. In feldtheoretischen Begriffen ausgedrückt: Wenn α eine Wurzel eines irreduziblen Polynoms n-ten Grades ist, dann ist Q ( α ) {\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha )}

hat Grad n über Q {\displaystyle \mathbb {Q} }

, mit der Basis { 1 , α , … , α n – 1 } . {1,α , … , α n – 1 }.

Symmetrien

Der Goldene Schnitt und der inverse Goldene Schnitt φ ± = ( 1 ± 5 ) / 2 {\displaystyle \varphi _{\pm }=(1\pm {\sqrt {5}})/2}

haben eine Reihe von Symmetrien, die sie erhalten und miteinander in Beziehung setzen. Sie werden beide durch die gebrochenen linearen Transformationen x , 1 / ( 1 – x ) , ( x – 1 ) / x , {\displaystyle x,1/(1-x),(x-1)/x,}

erhalten – diese Tatsache entspricht der Identität und der Definition quadratische Gleichung.Außerdem werden sie durch die drei Karten 1 / x , 1 – x , x / ( x – 1 ) {\displaystyle 1/x,1-x,x/(x-1)} vertauscht

– sie sind reziprok, symmetrisch um 1 / 2 {\displaystyle 1/2}

, und (projektiv) symmetrisch um 2.

Tiefergehend bilden diese Karten eine Untergruppe der Modulgruppe PSL ( 2 , Z ) {\displaystyle \operatorname {PSL} (2,\mathbf {Z} )}

isomorph zur symmetrischen Gruppe auf 3 Buchstaben, S 3 , {\displaystyle S_{3},}

entsprechend dem Stabilisator der Menge { 0 , 1 , ∞ } }{0,1,∞}

von 3 Standardpunkten auf der projektiven Linie, und die Symmetrien entsprechen der Quotientenkarte S 3 → S 2 {\displaystyle S_{3}\zu S_{2}}

– die Untergruppe C 3 < S 3 {\displaystyle C_{3}<S_{3}}

bestehend aus den 3-Zyklen und der Identität ( ) ( 01 ∞ ) ( 0 ∞ 1 ) {\displaystyle ()(01\infty )(0\infty 1)}

fixiert die beiden Zahlen, während die 2-Zyklen diese vertauschen und so die Abbildung realisieren.

Weitere Eigenschaften

Der Goldene Schnitt hat den einfachsten Ausdruck (und die langsamste Konvergenz) als fortgesetzte Bruchentwicklung aller irrationalen Zahlen (siehe oben unter Alternative Formen). Aus diesem Grund ist er einer der schlechtesten Fälle des Lagrangeschen Approximationssatzes und ein Extremfall der Hurwitz-Ungleichung für diophantische Approximationen. Dies mag der Grund sein, warum Winkel nahe dem Goldenen Schnitt oft in der Phyllotaxis (dem Wachstum von Pflanzen) auftauchen.

Das definierende quadratische Polynom und die konjugierte Beziehung führen zu Dezimalwerten, die ihren Bruchteil mit φ gemeinsam haben:

φ 2 = φ + 1 = 2,618 … {\displaystyle \varphi ^{2}=\varphi +1=2,618\dots }

1 φ = φ – 1 = 0,618 … . 1 φ = φ – 1 = 0,618 Punkte 1 φ = 1 = 0,618 Punkte …

Die Folge der Potenzen von φ enthält diese Werte 0.618…, 1.0, 1.618…, 2.618…; allgemeiner ausgedrückt, ist jede Potenz von φ gleich der Summe der beiden unmittelbar vorangehenden Potenzen:

φ n = φ n – 1 + φ n – 2 = φ ⋅ F n + F n – 1 . {\displaystyle \varphi ^{n}=\varphi ^{n-1}+\varphi ^{n-2}=\varphi \cdot \operatorname {F} _{n}+\operatorname {F} _{n-1}.}

Als Ergebnis kann man jede Potenz von φ leicht in ein Vielfaches von φ und eine Konstante zerlegen. Das Vielfache und die Konstante sind immer benachbarte Fibonacci-Zahlen. Dies führt zu einer weiteren Eigenschaft der positiven Potenzen von φ:

Wenn ⌊ n / 2 – 1 ⌋ = m {\displaystyle \lfloor n/2-1\rfloor =m}

, dann: φ n = φ n – 1 + φ n – 3 + ⋯ + φ n – 1 – 2 m + φ n – 2 – 2 m {\displaystyle \!\varphi ^{n}=\varphi ^{n-1}+\varphi ^{n-3}+\cdots +\varphi ^{n-1-2m}+\varphi ^{n-2-2m}}

φ n – φ n – 1 = φ n – 2 . {\displaystyle \!\varphi ^{n}-\varphi ^{n-1}=\varphi ^{n-2}.}

Wenn der Goldene Schnitt als Basis eines Zahlensystems verwendet wird (siehe Basis des Goldenen Schnitts, manchmal auch phinär oder φ-när genannt), hat jede ganze Zahl eine abschließende Darstellung, obwohl φ irrational ist, aber jeder Bruch hat eine nicht abschließende Darstellung.

Der Goldene Schnitt ist eine Grundeinheit des algebraischen Zahlenfeldes Q ( 5 ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {5}})}

und ist eine Pisot-Vijayaraghavan-Zahl. Im Feld Q ( 5 ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {5}})}

wir haben φ n = L n + F n 5 2 {\displaystyle \varphi ^{n}={{L_{n}+F_{n}{\sqrt {5}}} {\über 2}}

, wobei L n {\displaystyle L_{n}}

das n {\displaystyle n}

-te Lucas-Zahl.

Der Goldene Schnitt taucht auch in der hyperbolischen Geometrie auf, und zwar als maximaler Abstand von einem Punkt auf einer Seite eines idealen Dreiecks zu der näheren der beiden anderen Seiten: dieser Abstand, die Seitenlänge des gleichseitigen Dreiecks, das durch die Tangentenpunkte eines in das ideale Dreieck eingeschriebenen Kreises gebildet wird, ist 4 log ( φ ) {\displaystyle 4\log(\varphi )}

.

Der Goldene Schnitt taucht auch in der Theorie der modularen Funktionen auf. Sei

R ( q ) = q 1 / 5 1 + q 1 + q 2 1 + q 3 1 + ⋱ . {\displaystyle R(q)={\cfrac {q^{1/5}}{1+{\cfrac {q}{1+{\cfrac {q^{2}}{1+{\cfrac {q^{3}}{1+\ddots }}}}}}}}.}

Dann

R ( e – 2 π ) = φ 5 – φ , R ( e – 2 π 5 ) = 5 1 + ( 5 3 4 ( φ – 1 ) 5 2 – 1 ) 1 5 – φ . \displaystyle R(e^{-2\pi })={\sqrt {\varphi {\sqrt {5}}}}-\varphi ,\quad R(e^{-2\pi {\sqrt {5}})={\frac {\sqrt {5}}{1+\left(5^{\frac {3}{4}}(\varphi -1)^{\frac {5}{2}}-1\right)^{\frac {1}{5}}}}-\varphi .}

Auch wenn a , b ∈ R + {\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ^{+}}

und a b = π 2 {\displaystyle ab=\pi ^{2}}

, dann ist ( R ( e – 2 a ) + φ ) ( R ( e – 2 b ) + φ ) = φ 5 . {\displaystyle (R(e^{-2a})+\varphi )(R(e^{-2b})+\varphi )=\varphi {\sqrt {5}}.}

Dezimalentwicklung

Die Dezimalentwicklung des Goldenen Schnitts kann direkt aus dem Ausdruck

φ = 1 + 5 2 {\displaystyle \varphi ={1+{\sqrt {5}} \{{2}}

Mit √5 ≈ 2.2360679774997896964 OEIS: A002163. Die Quadratwurzel aus 5 kann mit der babylonischen Methode berechnet werden, indem man mit einer Anfangsschätzung wie xφ = 2 beginnt und iteriert

x n + 1 = ( x n + 5 / x n ) 2 {\displaystyle x_{n+1}={\frac {(x_{n}+5/x_{n})}{2}}

für n = 1, 2, 3, …, bis die Differenz zwischen xn und xn-1 Null wird, auf die gewünschte Anzahl von Stellen.

Der babylonische Algorithmus für √5 ist äquivalent zum Newtonschen Verfahren zur Lösung der Gleichung x2 – 5 = 0. In seiner allgemeineren Form kann das Newtonsche Verfahren direkt auf jede algebraische Gleichung angewendet werden, einschließlich der Gleichung x2 – x – 1 = 0, die den Goldenen Schnitt definiert. Dies ergibt eine Iteration, die gegen den Goldenen Schnitt selbst konvergiert,

x n + 1 = x n 2 + 1 2 x n – 1 , {\displaystyle x_{n+1}={\frac {x_{n}^{2}+1}{2x_{n}-1}},}

für eine geeignete Anfangsschätzung xφ wie xφ = 1. Eine etwas schnellere Methode besteht darin, die Gleichung in x – 1 – 1/x = 0 umzuschreiben; in diesem Fall wird die Newton-Iteration zu

x n + 1 = x n 2 + 2 x n x n 2 + 1 . {\displaystyle x_{n+1}={\frac {x_{n}^{2}+2x_{n}}{x_{n}^{2}+1}}.}

Diese Iterationen konvergieren alle quadratisch, d.h. mit jedem Schritt verdoppelt sich in etwa die Anzahl der richtigen Stellen. Der Goldene Schnitt ist also relativ einfach mit beliebiger Genauigkeit zu berechnen. Die Zeit, die benötigt wird, um n Ziffern des Goldenen Schnitts zu berechnen, ist proportional zu der Zeit, die benötigt wird, um zwei n-stellige Zahlen zu dividieren. Dies ist wesentlich schneller als bekannte Algorithmen für die transzendentalen Zahlen π und e.

Eine einfach zu programmierende Alternative, die nur ganzzahlige Arithmetik verwendet, ist die Berechnung zweier großer aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen und deren Division. Das Verhältnis der Fibonacci-Zahlen F 25001 und F 25000, jeweils über 5000 Stellen, ergibt über 10.000 signifikante Stellen des Goldenen Schnitts.

Die dezimale Erweiterung des Goldenen Schnitts φ wurde mit einer Genauigkeit von zwei Billionen (2×1012 = 2.000.000.000.000) Stellen berechnet.