Carico critico di Eulero

Colonna incernierata

Il seguente modello si applica a colonne semplicemente sostenute ad ogni estremità ( K = 1 {\displaystyle K=1}

$K=1$

Prima di tutto, porremo l’attenzione sul fatto che non ci sono reazioni nelle estremità incernierate, quindi non abbiamo nemmeno una forza di taglio in nessuna sezione trasversale della colonna. La ragione dell’assenza di reazioni può essere ottenuta dalla simmetria (quindi le reazioni dovrebbero essere nella stessa direzione) e dall’equilibrio dei momenti (quindi le reazioni dovrebbero essere in direzioni opposte).

Utilizzando il diagramma del corpo libero nella parte destra della figura 3, e facendo una somma di momenti intorno al punto x:

Σ M = 0 ⇒ M ( x ) + P w = 0 {\displaystyle \Sigma M=0\freccia destra M(x)+Pw=0}

$\Sigma M=0\freccia destra M(x)+Pw=0$

dove w è la deflessione laterale.

Secondo la teoria delle travi di Eulero-Bernoulli, la deflessione di una trave è legata al suo momento flettente da:

M = – E I d 2 w d x 2 {displaystyle M=-EI{\frac {mathrm {d} ^{2}w}{mathrm {d} x^{2}}}}

${{displaystyle M=-EI{frac {mathrm {d} ^{2}w}{mathrm {d} x^{2}}}}$

Fig. 3: Colonna con perno sotto l’effetto del carico di buckling

così:

E I d 2 w d x 2 + P w = 0 {displaystyle EI{\frac {d^{2}w}{dx^{2}}+Pw=0}

${{displaystyle EI{frac {d^{2}w}{dx^{2}}+Pw=0}$

Lascia che λ 2 = P E I {displaystyle \lambda ^{2}={\frac {P}{EI}}}

${{displaystyle \lambda ^{2}={frac {P}{EI}}}$

, quindi: d 2 w d x 2 + λ 2 w = 0 {displaystyle {\frac {d^{2}w}{dx^{2}}+\lambda ^{2}w=0}

${\frac {d^{2}w}{dx^{2}}+lambda ^{2}w=0$

Si ottiene una classica equazione differenziale ordinaria omogenea del secondo ordine.

La soluzione generale di questa equazione è: w ( x ) = A cos ( λ x ) + B sin ( λ x ) {\displaystyle w(x)=A\cos(\lambda x)+B\sin(\lambda x)}

${{displaystyle w(x)=A\cos(\lambda x)+B\sin(\lambda x)}$

, dove A {displaystyle A}

$A$

e B {\displaystyle B}

$B$

sono costanti che devono essere determinate dalle condizioni al contorno, che sono:

L’estremità sinistra appuntata → w ( 0 ) = 0 → A = 0 {\displaystyle \rightarrow w(0)=0\rightarrow A=0}
$\rightarrow w(0)=0\rightarrow A=0$
L’estremità destra appuntata → w ( l ) = 0 → B sin ( λ l ) = 0 {\displaystyle \rightarrow w(l)=0\rightarrow B\sin(\lambda l)=0}
$\rightarrow w(l)=0\rightarrow B\sin(\lambda l)=0$

Fig. 4: Primi tre modi dei carichi di instabilità

Se B = 0 {\displaystyle B=0}

$B = 0$

, non esiste alcun momento flettente e si ottiene la soluzione banale di w ( x ) = 0 {\displaystyle w(x)=0}

${{displaystyle w(x)=0}$

Tuttavia, dall’altra soluzione sin ( λ l ) = 0 {\displaystyle \sin(\lambda l)=0}

${{displaystyle \sin(\lambda l)=0}$

si ottiene λ n l = n π {displaystyle \lambda _{n}l=n\pi }

${{displaystyle \lambda _{n}l=n\pi }$

, per n = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle n=0,1,2,\ldots }

$n=0,1,2,\ldots$

Insieme a λ 2 = P E I {\displaystyle \lambda ^{2}={\frac {P}{EI}}

$\lambda ^{2}={frac {P}{EI}$

come definito prima, i vari carichi critici sono: P n = n 2 π 2 E I l 2 {displaystyle P_{n}={frac {n^{2}pi ^{2}EI}{l^{2}}}}

${{displaystyle P_{n}={frac {n^{2}\pi ^{2}EI}{l^{2}}}}$

, per n = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle n=0,1,2,\ldots }

${{displaystyle n=0,1,2,\ldots }$

e a seconda del valore di n {\displaystyle n}

${{displaystyle n}$

, si producono diverse modalità di instabilità come mostrato in figura 4. Il carico e la modalità per n=0 è la modalità di non instabilità.

Teoricamente, ogni modalità di instabilità è possibile, ma nel caso di un carico applicato lentamente solo la prima forma modale è probabile che venga prodotta.

Il carico critico di Eulero per una colonna con perno è quindi:

P c r = π 2 E I l 2 {displaystyle P_{cr}={frac {{pi ^{2}EI}{l^{2}}}}

$P_{cr}={frac {\pi ^{2}EI}{l^{2}}}$

e la forma ottenuta della colonna instabile nel primo modo è:

w ( x ) = B sin ( π l x ) {\displaystyle w(x)=B\sin \left({\pi \over l}x\right)}

${{displaystyle w(x)=B\sin \left({\pi \over l}x\right)}$

Approccio generaleModifica

Fig. 5: forze e momenti agenti su una colonna.

L’equazione differenziale dell’asse di una trave è:

d 4 w d x 4 + P E I d 2 w d x 2 = q E I {\displaystyle {\frac {d^{4}w}{dx^{4}}+{\frac {P}{EI}}{frac {d^{2}w}{dx^{2}}={\frac {q}{EI}}

${{displaystyle {\frac {d^{4}w}{dx^{4}}+{frac {P}{EI}}{frac {d^{2}w}{dx^{2}}={frac {q}{EI}}}$

Per una colonna con solo carico assiale, il carico laterale q ( x ) {\displaystyle q(x)}

$q(x)$

è nullo e sostituendo λ 2 = P E I {\displaystyle \lambda ^{2}={\frac {P}{EI}}}

$\lambda ^{2}={frac {P}{EI}$

, si ottiene: d 4 w d x 4 + λ 2 d 2 w d x 2 = 0 {\displaystyle {\frac {d^{4}w}{dx^{4}}+\lambda ^{2}{\frac {d^{2}w}{dx^{2}}=0}

${\frac {d^{4}w}{dx^{4}}+\lambda ^{2}{frac {d^{2}w}{dx^{2}}=0$

Questa è un’equazione differenziale omogenea di quartodi quarto ordine e la sua soluzione generale è

w ( x ) = A sin ( λ x ) + B cos ( λ x ) + C x + D {\displaystyle w(x)=A\sin(\lambda x)+B\cos(\lambda x)+Cx+D}

$w(x)=A\sin(\lambda x)+B\cos(\lambda x)+Cx+D$

Le quattro costanti A , B , C , D {\displaystyle A,B,C,D}

$A,B,C,D$

sono determinate dalle condizioni al contorno (vincoli finali) su w ( x ) {\displaystyle w(x)}

$w(x)$

, ad ogni estremità. Ci sono tre casi:

Fine appuntato: w = 0 {\displaystyle w=0}
$w = 0$

e M = 0 → d 2 w d x 2 = 0 {\displaystyle M=0}}d^{2}w \over dx^{2}}=0}

${{displaystyle M=0\rightarrow {d^{2}w \over dx^{2}}=0}$
Fine fisso: w = 0 {displaystyle w=0}
$w = 0$

e d w d x = 0 {ddisplaystyle {dw \over dx}=0}

${{displaystyle {dw \over dx}=0}$
Free end: M = 0 → d 2 w d x 2 = 0 {\displaystyle M=0\rightarrow {d^{2}w \over dx^{2}}=0}
${{displaystyle M=0\rightarrow {d^{2}w \over dx^{2}}=0}$

e V = 0 → d 3 w d x 3 + λ 2 d w d x = 0 {displaystyle V=0\rightarrow {d^{3}w \over dx^{3}}+\lambda ^{2}{dw \over dx}=0}

$V=0\rightarrow {d^{3}w \over dx^{3}}+lambda ^{2}{dw \over dx}=0$

Per ogni combinazione di queste condizioni al limite, si ottiene un problema di autovalori. Risolvendoli, otteniamo i valori del carico critico di Eulero per ognuno dei casi presentati nella Figura 1.

Colonna incernierata

Approccio generaleModifica

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