Centroide di un triangolo (come trovare, definizione, formula, & Esempi)
VideoDefinizioneMedianoCome trovare le lunghezze medianeLa posizione del centroide
I centroidi possono sembrare grandi rocce provenienti dallo spazio, ma in realtà sono importanti caratteristiche dei triangoli. Hanno anche applicazioni in aeronautica, dato che si riferiscono al centro di gravità (CG) delle forme.
Cosa imparerai:
Dopo aver lavorato attraverso questa lezione e questo video, sarai in grado di:
- Ricordare la definizione di centroide di un triangolo e di mediane di triangoli
- Spiegare come trovare il centroide di un triangolo
- Relare il centroide al centro di gravità
- Calcolare la lunghezza delle mediane usando il centroide di un triangolo
- Marcare la posizione di un centroide usando solo una mediana
Centroide di un triangolo
Ogni triangolo ha un singolo punto da qualche parte vicino al suo “centro” che permette al triangolo di stare perfettamente in equilibrio, se il triangolo è fatto di un materiale rigido. Il centroide di un triangolo è quel punto di equilibrio, creato dall’intersezione delle tre mediane.
Se il triangolo fosse tagliato da un materiale uniformemente denso, come un robusto cartone, una lamiera o un compensato, il centroide sarebbe il punto in cui il triangolo starebbe in equilibrio sulla punta del tuo dito.
Mediana di un triangolo
La mediana di un triangolo è il segmento di linea creato unendo un vertice al punto medio del lato opposto, come questo:
Siccome ogni triangolo ha tre lati e tre angoli, ha tre mediane:
Come trovare il centroide
Per trovare il centroide di qualsiasi triangolo, costruisci dei segmenti di linea dai vertici degli angoli interni del triangolo ai punti medi dei loro lati opposti. Questi segmenti di linea sono le mediane. La loro intersezione è il centroide.
Il centroide ha una proprietà interessante oltre ad essere un punto di equilibrio per il triangolo. Si trova sempre a 23 dal vertice lungo la mediana, il che significa che è anche a 13 dal punto medio del lato. Questo è vero per ogni triangolo.
Un altro modo di pensare a questa rottura della mediana è notare che è un rapporto di 2:1, con il 2 che è sempre la parte dall’angolo interno al centroide, e l’1 che è sempre la distanza dal centroide al punto medio di un lato.
Calcolo della lunghezza della mediana
Ecco △CAT con mediane AW, TM e CE. Sappiamo che il centroide, il punto O, si trova esattamente in questa posizione:
- 23 della distanza lungo ciascuna mediana dagli angoli interni C, A e T
- 13 della distanza lungo la mediana dal punto medio dei lati CA, AT e CT
Se sappiamo che il centroide è a 6 cm dall’angolo interno C, qual è la lunghezza della mediana CE?
Se sappiamo che il centroide O si trova a 23 della via lungo la mediana AW e dista 7,5 cm dall’angolo interno A, quanto è lunga la mediana AW?
Pensa: 7,5 è 23 di quale numero?
Hai detto 11,25 cm? Speriamo di sì, perché questa è la risposta corretta!
Trovare la posizione del centroide
Ora che sai che il centroide deve essere 23 della distanza della mediana da un angolo interno, puoi trovare il centroide di qualsiasi triangolo usando solo una mediana!
Ecco △DOG, con una sola mediana, OF, costruita localizzando il punto F esattamente a metà di DG. La mediana OF è lunga 36 cm.
Siccome sai che il centroide è 23 della distanza lungo OF, puoi misurare 23 di 36 cm, ovvero 24 cm, lungo OF per trovare il centroide.
Ora provaci tu! Supponiamo che tu sappia che la mediana DU è 18 cm; quanto lungo essa sarà il centroide?
Speriamo che tu abbia detto 12 cm, perché 12 cm sono 23 di 18 cm!
Fai e trova un centroide!
Puoi imparare a trovare il centroide, e provare a te stesso che è davvero il centro di gravità (CG) del triangolo, usando un pezzo di cartone robusto (come il cartoncino o il truciolato), un righello, una matita e delle forbici.
Usa il righello per disegnare qualsiasi tipo di triangolo tu voglia: acuto, retto, ottuso. In ogni triangolo, il centroide è sempre all’interno del triangolo!
Misura e individua il punto medio di ogni lato del triangolo. Segna chiaramente il punto medio. Collega i tre punti medi con i loro vertici opposti. Queste linee sono le mediane.
Il punto in cui le mediane si incrociano è il centroide. Ritaglia il triangolo con attenzione. Tienilo sopra il tuo dito indice, in modo che il centroide sia sulla punta del tuo dito. Lascialo andare con l’altra mano. Il triangolo dovrebbe essere perfettamente in equilibrio!
Centriidi artistici
I centriidi forniscono punti di equilibrio per i triangoli, quindi sono punti importanti per gli artisti che costruiscono mobili, o sculture in movimento. Puoi fare tu stesso un mobile di questo tipo, usando filo, spago o filo da pesca, e triangoli di varie dimensioni tagliati da plastica rigida, cartone o legno sottile.
Pittura ogni triangolo di un colore brillante (colori primari e secondari stanno bene insieme), poi lega ogni triangolo per il suo centroide a un filo. Il filo può essere sospeso ad un altro filo, e così via, fino ad avere un mobile bilanciato. Ogni triangolo scivolerà nell’aria completamente piatto, poiché il centroide è il suo punto di equilibrio.
Lo scultore Alexander Calder è famoso per i suoi mobili dai colori vivaci, spesso usando pezzi che sono molto vicini a forme triangolari.
Centriidi aeronautici
Gli aerei devono essere perfettamente bilanciati intorno al loro centroide, o centro di gravità (CG) perché il pilota possa mantenere il controllo. Molti fattori influenzano la capacità del pilota di controllare il movimento dell’aeroplano in tre diversi assi, ma se l’aeroplano non è progettato per bilanciare intorno al suo centroide, nessuna quantità di controllo del pilota sarà sufficiente per mantenere l’aereo in volo correttamente.
Il CG di un aeroplano si applica se si sta costruendo un aeromodello, un aereo radio controllato, o un vero jet militare o passeggeri. Puoi imparare molto di più sul centroide di una forma irregolare, il CG degli aerei, e la matematica per trovare il CG, con un video della NASA disponibile online.
Riassunto della lezione
Ora che hai esplorato ogni aspetto di questa lezione, sei in grado di ricordare la definizione di centroide di un triangolo, ricordare la definizione di, e riconoscere, mediane di triangoli, e spiegare come trovare il centroide di un triangolo. Sarai anche in grado di mettere in relazione il centroide con il centro di gravità, e calcolare la lunghezza delle mediane usando il centroide di un triangolo, e trovare il centroide usando solo una mediana.
Prossima lezione:
Come trovare l’ortocentro di un triangolo