Inferenza bayesiana

Teorema di Bayes

Supponiamo che nella vostra più recente visita all’ufficio del medico, decidiate di fare il test per una malattia rara. Se siete abbastanza sfortunati da ricevere un risultato positivo, la domanda successiva logica è: “Dato il risultato del test, qual è la probabilità che io abbia effettivamente questa malattia? (I test medici, dopo tutto, non sono perfettamente accurati.) Il Teorema di Bayes ci dice esattamente come calcolare questa probabilità:

$P(\testo{Malattia}|+) = \frac{P(+|testo{Malattia})P(\testo{Malattia})}{P(+)}$

Come indica l’equazione, la probabilità posteriore di avere la malattia dato che il test era positivo dipende dalla probabilità anteriore della malattia \( P(\testo{Malattia})\). Pensate a questo come all’incidenza della malattia nella popolazione generale. Imposta questa probabilità trascinando le barre qui sotto.

La probabilità posteriore dipende anche dall’accuratezza del test: quanto spesso il test riporta correttamente un risultato negativo per un paziente sano, e quanto spesso riporta un risultato positivo per qualcuno con la malattia? Determinate queste due distribuzioni qui sotto.

Infine, abbiamo bisogno di conoscere la probabilità complessiva di un risultato positivo. Usa i pulsanti qui sotto per simulare l’esecuzione del test su un campione rappresentativo della popolazione.

Ora abbiamo tutto quello che ci serve per determinare la probabilità posteriore che tu abbia la malattia. La tabella qui sotto dà questa probabilità tra le altre usando il Teorema di Bayes.