SEMIGROPS AND DISSIPATIVE OPERATORS
18 Sia A un operatore per il quale l’equazione differenziale u′(t) = A(u(t)) abbia “soluzioni” di qualche tipo. Più precisamente, supponiamo che M sia un sottoinsieme di uno spazio di Banach, e che per ogni x0 ∈ M ci sia un’unica soluzione u : =exp(-xλ)=-1λg(x)exp(-xλ).
Integrare entrambi i lati – partendo da x = 0, diciamo – per ottenere
per qualche costante C. Per trovare il valore di C, prendere i limiti su entrambi i lati di questa equazione come x → ∞. Abbiamo f(x) → 0 poiché f svanisce in ∞, e quindi C=1λ∫0∞g(t)exp(-t/λ)dt. Questo integrale converge, poiché g svanisce all’infinito e exp(-t/λ) svanisce esponenzialmente veloce. Quindi l’ultima equazione visualizzata può essere riscritta
(I – λA)-1 è un operatore lineare non espansivo definito ovunque su C0(ℝ).
Questo è tipico del tipo di operatore a cui è applicabile il teorema di Crandall-Liggett – ma sottolineiamo che quel teorema si applica anche a operatori molto più complicati.
Esercizio Modificando i calcoli precedenti, mostrate che (I + λA)-1 è anche un operatore lineare non espansivo definito ovunque su C0(ℝ), per ogni λ > 0.
20 Sia X uno spazio di Banach, e sia J : X → P(X*) la sua mappatura di dualità (definita come in 28.44). Sia A una qualche mappatura da un sottoinsieme di X in X. Allora le due condizioni seguenti sono equivalenti; se una delle due (quindi entrambe) è soddisfatta, diciamo che A è dissipativa (o -A è accretiva):
Prova (seguendo Cioranescu). Sia y1 = A(x1) e y2 = A(x2). Sia x^=x1-x2 e y^=y1-y2; allora dobbiamo dimostrare che
se e solo se
Per (B′) ⇒ (A′) calcoliamo semplicemente
da cui concludiamo entrambi
Siccome η0 è nella sfera unitaria, possiamo concludere ‖x^‖≤η0(x^) e ||η0|| = 1. Allora φ=‖x^‖η0 è un membro di J(x^), che soddisfa φ(y^)≤0.
21 Sia X uno spazio di Banach, e sia J : X → P(X*) la sua mappatura di dualità. Sia A una mappatura da qualche sottoinsieme di X in X, e sia ω un numero non negativo. Allora le tre condizioni seguenti sono equivalenti (esercizio); se sono soddisfatte diciamo che A è Ω-dissipativo:
22 Se A è una mappatura Lipschitziana, con 〈A〉Lip ≤ ω, allora A e -A sono entrambi ω-dissipativi. Per questo motivo, le condizioni di dissipatività sono talvolta chiamate condizioni di Lipschitz unilaterali.
Tuttavia, questa terminologia può essere fuorviante. Per esempio, definiamo A come in 30.19. Allora A e -A sono entrambi dissipativi, ma A non è lipschitziano; infatti, A non è nemmeno continuo.
Se X è unidimensionale – cioè, se X è solo la linea reale – allora A è dissipativo se e solo se (x1 – x2)(A(y1) – A(y2)) ≤ 0; questa disuguaglianza è soddisfatta se e solo se A è una funzione decrescente.
24 Sia C un sottoinsieme di uno spazio di Banach X, e sia S un semigruppo di automappature di C. Si assuma che 〈S(t)〉Lip ≤ eωt per qualche costante ω ≥ 0 e tutti t ≥ 0. Definiamo una mappatura da un sottoinsieme di C in X con
dove il dominio dell’operatore A è l’insieme di tutti gli x ∈ C per cui esiste il limite. Allora A è ω-dissipativo.
Prova Fissare qualsiasi x1, x2 ∈ Dom(A) e λ ∈ (0, 1/ω); sia h > 0. Allora
Prendere i limiti come h ↓ 0, per dimostrare
Prova Sia x = R(α)u e y = R(β)υ; quindi u = x – αA(x) e υ = y – βA(y). Scegli qualche φ ∈ J(x – y) tale che φ ≤ ω||x – y||2. Allora
Dividere per ||x – y|| per ottenere la disuguaglianza desiderata.
26 Sia α e β numeri positivi. Siano cj,k numeri reali non negativi che soddisfano
per tutti i numeri interi non negativi j, k. Allora cj,k≤(jα-kβ)2+jα2+kβ2 per tutti i numeri interi non negativi j, k.
Più in generale, sia α, β > 0 e ω ≥ 0 con max{ωα, ωβ} < 1. Siano cj,k numeri reali non negativi che soddisfano
per tutti i numeri interi non negativi j, k. Allora
per tutti i numeri interi non negativi j, k.
osservazioni Questa disuguaglianza sarà usata in 30.27. Essa mostra che cj,k può essere piccola anche con j, k grandi, purché α, β e jα – kβ siano piccoli. In una prima lettura, il lettore potrebbe desiderare di concentrarsi sul caso speciale di ω = 0, enunciato nel primo paragrafo del lemma, poiché questo caso è leggermente più semplice nella notazione e contiene ancora la maggior parte delle idee principali.
Schema della dimostrazione Prima, alcuni calcoli preliminari. Mostrare che
Inoltre, da ω(α + β)2 – 2(α + β) ≤ 0 ≤ αβω si ottiene
Inoltre, per la disuguaglianza di Cauchy-Bunyakovski-Schwarz (2.10),
per qualsiasi numero non negativo p e q.
Ora, la disuguaglianza Rasmussen-Kobayashi (RK) è chiara dalla (1) quando j = 0 o k = 0. La disuguaglianza sarà dimostrata per j e k maggiori per doppia induzione. Nei calcoli che seguono, il passo (Ind) è per l’ipotesi di induzione. Calcola
Questo completa il passo di induzione, e quindi la dimostrazione di (RK).
27 Il teorema di Crandall-Liggett è generalmente visto come un teorema sulle equazioni differenziali negli spazi di Banach. Il teorema di Crandall-Liggett non ha applicazioni se non in questo contesto. Tuttavia, gran parte della dimostrazione può essere presentata nell’impostazione più semplice di uno spazio metrico completo. Prenderemo questo approccio perché può essere concettualmente più semplice da afferrare senza le distrazioni della struttura lineare, e perché fornisce un’interessante applicazione della completezza metrica. È uno dei pochi casi noti a questo autore in cui usiamo le mappature di Lipschitz senza usare il Teorema del Punto Fisso di Contrazione.
Nel teorema che segue, permettiamo T = +∞ se ω = 0. I calcoli sono leggermente più semplici in questo caso e quindi i principianti potrebbero concentrarsi su questo caso.
e
e assumere che l’insieme D = {x ∈ M : Γ(x) < ∞} sia denso in M.
La mappa (t, x) ↦ S(t)x è congiuntamente continua da . Il libro di Haraux copre parte della teoria degli spazi di Banach ma dedica anche particolare attenzione al caso dello spazio di Hilbert.
Il teorema di Crandall-Liggett, come lo abbiamo presentato, si estende facilmente all’inclusione differenziale u′(t) ∈ A(u(t)). Se rafforziamo la condizione di intervallo, e richiediamo che Ran(I – λA) = X per tutti i sufficientemente piccoli λ > 0, allora è possibile dimostrare l’esistenza di soluzioni al problema del valore iniziale
Molto è stato scritto anche sulle inclusioni differenziali della forma u′(t) ∈ A(t, u(t)), dove A(t, ⋅) è un operatore Ω-dissipativo per ogni t fisso. Un riferimento per questo argomento è Pavel; quel libro introduce anche molte applicazioni alle equazioni differenziali parziali. La teoria di questo argomento non è così elegante, ma c’è una buona ragione. Per la massima applicabilità alle equazioni differenziali parziali, i ricercatori si sono interessati a problemi in cui i diversi operatori A(t, ⋅), per diversi valori fissi di t, hanno domini diversi, e in cui Dom(A(t, ⋅)) varia erraticamente con t. Questo rende il problema notevolmente più complicato.
30 Nelle pagine precedenti abbiamo sviluppato diverse teorie sostanzialmente diverse dei problemi di valore iniziale, utilizzando ipotesi di condizioni di Lipschitz, compattezza, isotonicità e dissipatività. Storicamente, queste teorie si sono sviluppate separatamente, per diversi tipi di applicazioni. Si è tentati di provare a fare di queste teorie dei casi speciali di un’unica teoria più generale. Certamente è possibile dimostrare almeno alcuni risultati deboli in un’impostazione più generale – vedi per esempio 30.6.
Tuttavia, in verità siamo molto lontani da una teoria completa o unificata. Le varie sottoteorie principali – Lipschitzness, compattezza, isotonicità, ecc. – sono di natura molto diversa; grandi lacune concettuali si trovano tra loro. La letteratura contiene solo una manciata di esempi di non esistenza di soluzioni, la maggior parte dei quali è simile all’esempio 30.4 di Dieudonné; gli esempi di non esistenza non sono sufficientemente diversi per spiegare i divari tra le nostre teorie di esistenza. Quindi, siamo molto lontani da una chiara comprensione di ciò che “realmente” fa funzionare i problemi di valore iniziale.
Più modesto della ricerca di una grande teoria unificata è il programma per risolvere problemi della forma u′(t) = A(u(t)) + B(u(t)), dove A e B sono operatori di due tipi diversi – per esempio, dove A soddisfa una condizione di dissipatività e B soddisfa una condizione di compattezza. Una teoria di questo tipo includerebbe le teorie della dissipatività e della compattezza come casi speciali, poiché potremmo prendere A = 0 o B = 0 (poiché l’operatore 0 è sia dissipativo che compatto). Questo programma ha incontrato un certo successo, almeno quando gli operatori sono continui – per esempio, la somma di un operatore continuo dissipativo, un operatore continuo compatto e un operatore continuo isotono è nota per generare un’evoluzione; vedi Volkmann . Ma senza continuità il problema è ancora aperto. Per il problema compatto più dissipativo, alcune discussioni e risultati parziali possono essere trovati in Schechter e Vrabie.