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Questo diapason C5 vibrerà alla sua frequenza naturale smorzata

Chi ha familiarità con gli oscillatori è molto probabile che pensi in termini di un semplice oscillatore armonico, come un pendolo o una massa su una molla. Questi sistemi sono concettualmente semplici, ma i loro modelli matematici non riescono a rendere conto delle proprietà realistiche di questi sistemi. Qualsiasi oscillatore ha alcuni importanti parametri fisici, e la risposta del sistema quando è guidato non corrisponderà alla risposta vista quando è lasciato oscillare liberamente.

In elettronica, diversi circuiti funzionano come oscillatori, dove la tensione e la corrente mostrano una risposta periodica nel tempo. Proprio come gli oscillatori meccanici, i circuiti oscillatori possono esibire risonanza nelle giuste condizioni. Le cose diventano matematicamente confuse per alcuni progettisti in quanto la risposta reale di un oscillatore è definita in termini di tre diverse frequenze. Chiariamo la differenza tra la frequenza di risonanza e la frequenza naturale nei circuiti oscillatori puramente lineari.

Frequenza di oscillazione smorzata e frequenza naturale negli oscillatori non pilotati

Anche se possiamo quantificare una frequenza naturale negli oscillatori meccanici ed elettrici armonici, il sistema non oscilla mai realmente alla frequenza naturale. Questo perché, in un modello ideale di un oscillatore, ci piace ignorare l’effetto dello smorzamento in modo da poter comprendere alcuni aspetti fondamentali del sistema. In un oscillatore meccanico, questo significa che ignoriamo brevemente l’attrito o qualsiasi altro meccanismo che dissipa l’energia cinetica. In un circuito, questo significa che omettiamo gli elementi del circuito che dissipano energia come calore, cioè il circuito contiene solo elementi capacitivi e induttivi.

Quando un oscillatore non pilotato e non smorzato viene spostato dall’equilibrio, il sistema oscillerà alla sua frequenza naturale. Tuttavia, i circuiti oscillatori reali contengono sempre un po’ di smorzamento; in un circuito LC, i conduttori hanno una piccola quantità di resistenza, che fornisce lo smorzamento nel circuito. Questo è vero anche negli oscillatori meccanici; c’è sempre qualche fonte di smorzamento che converte l’energia cinetica in calore, ed è per questo che un pendolo oscillante alla fine rallenta fino a fermarsi.

L’effetto dello smorzamento porta a due fenomeni negli oscillatori non pilotati che possono oscillare naturalmente quando sono spostati dall’equilibrio:

• L’oscillazione decade nel tempo. Lo smorzamento in un circuito oscillatore avviene perché parte dell’energia elettrica (cioè l’energia cinetica delle cariche che scorrono) viene persa come calore. Questo fa sì che l’ampiezza dell’oscillazione decada nel tempo.

• La frequenza dell’oscillazione smorzata non è uguale alla frequenza naturale. Lo smorzamento fa sì che la frequenza dell’oscillazione smorzata sia leggermente inferiore alla frequenza naturale. La frequenza di oscillazione smorzata è definita nell’equazione sottostante:

La frequenza di oscillazione di un oscillatore smorzato,

Finalmente, quando il tasso di smorzamento è uguale alla frequenza naturale, non c’è oscillazione transitoria, cioè la tensione e la corrente nel circuito decadono di nuovo all’equilibrio; Questo è noto come smorzamento critico. Come il tasso di smorzamento continua ad aumentare al di sopra della frequenza naturale, il tempo richiesto per la tensione e la corrente per tornare all’equilibrio diventa più lungo.

Se si dovesse eseguire un’analisi transitoria di un circuito oscillatore e misurare la frequenza di oscillazione, non si sta misurando la frequenza naturale. In realtà state misurando la frequenza di oscillazione smorzata definita nell’equazione di cui sopra. Si può quindi estrarre il tasso di smorzamento tracciando il logaritmo naturale dei dati di decadimento (mostrato con punti rossi nel grafico sottostante) nella forma d’onda di risposta nel tempo; il negativo della pendenza di questa linea è uguale al tasso di smorzamento.

La frequenza di oscillazione di un oscillatore smorzato,

Nel grafico qui sopra, i massimi successivi sono contrassegnati da punti rossi, e il logaritmo di questi dati di corrente elettrica sono tracciati nel grafico di destra. Dalla linea di regressione, vediamo che il tasso di smorzamento in questo circuito è 0,76 al secondo. Il tasso di oscillazione smorzato può essere determinato tra due massimi consecutivi nel grafico di sinistra e ha un valore di 3,929 rad al secondo. Una volta che conosci il tasso di smorzamento e la frequenza di oscillazione smorzata, puoi facilmente calcolare la frequenza naturale usando l’equazione di cui sopra. In questa simulazione, la frequenza naturale è di 4 rad al secondo. Si può anche vedere dalla curva di decadimento esponenziale che la corrente iniziale era 1 A.

Frequenza risonante vs. frequenza naturale negli oscillatori pilotati

Quando un circuito oscillatore è pilotato con un segnale periodico, la corrente e la tensione oscilleranno alla stessa frequenza di ripetizione del segnale di guida. Tuttavia, le forme d’onda non corrisponderanno perfettamente perché la funzione di trasferimento di un circuito oscillatore distorcerà questi segnali; in altre parole, il circuito oscillatore agisce anche come un filtro/amplificatore (più avanti su questo). Per vedere come possono comportarsi diversi circuiti oscillatori, è utile considerare un oscillatore meccanico che è guidato solo con un segnale sinusoidale.

La risonanza è un fenomeno che risulta quando un oscillatore è guidato con un segnale periodico con una frequenza specifica, nota come frequenza di risonanza. In un oscillatore pilotato senza smorzamento, la frequenza di risonanza è uguale alla frequenza naturale. Questo è sempre il caso negli oscillatori non smorzati, ma non è sempre il caso negli oscillatori smorzati. I veri oscillatori pilotati hanno lo smorzamento, e la frequenza di risonanza non è sempre uguale alla frequenza naturale. Per un tipico oscillatore meccanico smorzato guidato, la frequenza di risonanza è definita dalla seguente equazione:

Frequenza risonante vs. frequenza naturale di un oscillatore meccanico smorzato guidato

Nota che la risonanza può avvenire solo quando la frequenza naturale è maggiore del tasso di smorzamento, moltiplicato per la radice quadrata di 2. Se lo smorzamento è troppo grande, allora la risonanza non può avvenire.

Che dire del caso di smorzamento piccolo? Nel limite in cui la costante di smorzamento è zero, la frequenza di risonanza è uguale alla frequenza naturale e non c’è dissipazione di energia nel circuito. Di conseguenza, quando un oscillatore non smorzato è guidato esattamente alla sua frequenza naturale, l’ampiezza dell’oscillazione risultante divergerà (teoricamente) all’infinito ad un ritmo lineare. In un circuito reale, gli effetti non lineari alla fine prenderanno il sopravvento ad alta tensione/corrente, il che può causare la saturazione della risposta, o causare la bruciatura del circuito.

C’è una certa gamma di frequenze tra le quali l’oscillatore meccanico non mostrerà risonanza quando viene guidato, ma mostrerà ancora un’oscillazione decadente quando viene spostato dall’equilibrio. Questa oscillazione decadente avverrà ancora con la frequenza di oscillazione smorzata definita nella prima equazione di cui sopra. Tornando a un oscillatore meccanico, abbiamo:

Caso in cui la risonanza è eliminata, ma ci può ancora essere un’oscillazione smorzata

Nota che le condizioni che abbiamo discusso sopra per un oscillatore meccanico si applicano anche a un circuito RL con un condensatore in parallelo.

Funzioni di trasferimento dell’oscillatore

Lo smorzamento in un circuito definirà la funzione di trasferimento del circuito, che è solitamente descritta in termini di larghezza di banda. Quando l’oscillatore è pilotato con un segnale sinusoidale, anche l’uscita sarà sinusoidale. Tuttavia, quando l’oscillatore è pilotato con un segnale periodico non sinusoidale (per esempio, un’onda a dente di sega, un segnale modulato in frequenza, un flusso di impulsi di clock o un’altra forma d’onda analogica che si ripete), allora le forme d’onda di tensione e corrente risultanti nell’oscillatore potrebbero non assomigliare al segnale di guida. Potete estrarre la funzione di trasferimento da uno sweep di frequenza applicando una sorgente sinusoidale al vostro circuito oscillatore. Esempi che mostrano queste funzioni di trasferimento nel dominio della frequenza per diversi tassi di smorzamento per un oscillatore meccanico sono mostrati qui sotto.

Curve di ampiezza per un oscillatore meccanico in funzione della frequenza di pilotaggio

Nota che queste curve sono normalizzate rispetto alla frequenza naturale. Anche in questo caso, alcuni circuiti RLC avranno curve simili, mentre altri (ad esempio, il circuito RLC serie) avranno curve che hanno sempre il picco alla frequenza naturale, cioè, frequenza di risonanza = frequenza naturale.

I grafici sopra per un oscillatore meccanico mostrano come il picco di ogni curva (che corrisponde alla frequenza di risonanza) si sposta verso la frequenza naturale al diminuire del tasso di smorzamento. Ognuna di queste curve può essere pensata come una funzione di trasferimento. Determinare come ognuna di queste curve influenzi un segnale di guida analogico arbitrario nel dominio del tempo richiede di lavorare con le trasformate di Fourier o di Laplace, il che va un po’ oltre lo scopo di questo articolo.

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