Derivazione della formula esatta
Supponiamo che un certo esperimento richieda più strumenti per essere eseguito. Questi strumenti hanno ciascuno una variabilità diversa nelle loro misure. I risultati di ogni strumento sono dati come: a, b, c, d… (Per semplificare, solo le variabili a, b e c saranno utilizzate in questa derivazione). Il risultato finale desiderato è \(x\), quindi \(x\) dipende da a, b, e c. Si può scrivere che \(x\) è una funzione di queste variabili:
Perché ogni misura ha un’incertezza sulla sua media, si può scrivere che l’incertezza di dxi dell’iesima misura di \(x\) dipende dall’incertezza delle iesime misure di a, b e c:
La deviazione totale di \(x\) è quindi derivata dalla derivata parziale di x rispetto a ciascuna delle variabili:
Una relazione tra le deviazioni standard di x e a, b, c, ecc… si forma in due passi:
- quadrando l’equazione \ref{3}, e
- prendendo la somma totale da \(i = 1\) a \(i = N\), dove \(N\) è il numero totale di misure.
Nel primo passo, due termini unici appaiono sul lato destro dell’equazione: termini quadrati e termini incrociati.
Termini quadrati:
Termini incrociati:
I termini quadrati, a causa della natura della quadratura, sono sempre positivi, e quindi non si annullano mai a vicenda. Al contrario, i termini incrociati possono annullarsi a vicenda, a causa della possibilità che ogni termine possa essere positivo o negativo. Se da, db e dc rappresentano incertezze casuali e indipendenti, circa metà dei termini incrociati saranno negativi e metà positivi (questo è dovuto principalmente al fatto che le variabili rappresentano l’incertezza su una media). In effetti, la somma dei termini incrociati dovrebbe avvicinarsi a zero, specialmente quando \(N\) aumenta. Tuttavia, se le variabili sono correlate piuttosto che indipendenti, il termine incrociato potrebbe non annullarsi.
Assumendo che i termini incrociati si annullino, allora il secondo passo – sommando da \(i = 1\) a \(i = N\) – sarebbe:
Dividendo entrambi i lati per \(N – 1\):
\
Il passo precedente ha creato una situazione dove l’equazione \ref{7} potrebbe imitare l’equazione della deviazione standard. Questo è desiderato, perché crea una relazione statistica tra la variabile \(x\), e le altre variabili \(a\), \(b\), \(c\), ecc. come segue:
L’equazione della deviazione standard può essere riscritta come la varianza (\(\sigma_x^2\)) di \(x\):
Riscrivendo l’equazione \ref{7} usando la relazione statistica creata si ottiene la formula esatta per la propagazione dell’errore:
Così si ottiene il risultato finale. L’equazione \ref{9} mostra una relazione statistica diretta tra più variabili e le loro deviazioni standard. Nella prossima sezione, vengono fornite le derivazioni per i calcoli comuni, con un esempio di come la derivazione è stata ottenuta.
| Tipo | Esempio | Standard Deviazione standard (\(\sigma_x\)) |
|---|---|---|
| Addizione o sottrazione | \(x = a + b – c) | (\sigma_x= \sqrt{ {sigma_a}^2+{sigma_b}^2+{sigma_c}^2} \label{10}) |
| Moltiplicazione o divisione | \div>(x = \dfrac{ a x b}{c}) | \( \dfrac{\sigma_x}{x}=\sqrt{\left(\dfrac{\sigma_a}{a}\right)^2+\left(\dfrac{\sigma_b}{b}\right)^2+\left(\dfrac{\sigma_c}{c}\right)^2} \) (11) |
| Esponenziale | \(x = a^y\) | \(\dfrac{\sigma_x}{x}=y(\dfrac{\sigma_a}{a})\) (12) |
| Logaritmico | \(x = \log(a)\a) | \(\sigma_x=0.434(\dfrac{sigma_a}{a})\) (13) |
| Antilogaritmico | \(x = antilog(a)\\td> | \(\dfrac{\sigma_x}{x}=2.303({\sigma_a})\) (14) |
dove \(a\), \(b\), e \c(c) sono variabili misurate da un esperimento e \(\sigma_a), \(\sigma_b), e \(\sigma_c\) sono le deviazioni standard di quelle variabili.
L’addizione, la sottrazione e le equazioni logaritmiche portano a una deviazione standard assoluta, mentre la moltiplicazione, la divisione, le equazioni esponenziali e anti-logaritmiche portano a deviazioni standard relative.
Derivazione dell’esempio aritmetico
La formula esatta per la propagazione dell’errore nell’equazione \(\ref{9}) può essere usata per derivare gli esempi aritmetici riportati nella tabella \(\PageIndex{1}). Partendo da una semplice equazione:
dove \(x\) è il risultato desiderato con una deviazione standard data, e \(a\), \(b\), e \(c\) sono variabili sperimentali, ognuna con una deviazione standard diversa. Prendendo la derivata parziale di ogni variabile sperimentale, \(a), \(b), e \(c):
e
Inserendo queste derivate parziali nell’equazione \ref{9}\ dà:
Dividendo l’equazione \(\ref{17}) per l’equazione \(\ref{15}) al quadrato si ottiene:
Cancellando i termini e radicando al quadrato entrambi i lati si ottiene l’equazione 11 dalla tabella \(\PageIndex{1}):
\
Esempio \(\PageIndex{1})
Continuando l’esempio dell’introduzione (dove stiamo calcolando l’assorbibilità molare di una molecola), supponiamo di avere una concentrazione di 13.7(±0,3) moli/L, una lunghezza del percorso di 1,0(±0,1) cm, e un assorbimento di 0,172807(±0,000008). L’equazione per l’assorbibilità molare è ε = A/(lc).
Soluzione
Siccome la legge di Beer si occupa di moltiplicazione/divisione, useremo l’equazione 11:
\
Come detto nella nota precedente, l’equazione 11 produce una deviazione standard relativa, o una percentuale della variabile ε. Usando la legge di Beer, ε = 0,012614 L moles-1 cm-1 Quindi, il \sigma_{epsilon}\ per questo esempio sarebbe il 10,237% di ε, che è 0,001291.
Considerando le cifre significative, la risposta finale sarebbe:
ε = 0,013 ± 0.001 L moles-1 cm-1
Esempio \(\PageIndex{2})
Se ti viene data un’equazione che mette in relazione due diverse variabili e date le incertezze relative di una delle variabili, è possibile determinare l’incertezza relativa dell’altra variabile usando il calcolo. Nei problemi, l’incertezza è di solito data come percentuale. Diciamo che misuriamo il raggio di un oggetto molto piccolo. Il problema potrebbe affermare che c’è un’incertezza del 5% quando si misura questo raggio.
Soluzione
Per usare effettivamente questa percentuale per calcolare le incertezze sconosciute di altre variabili, dobbiamo prima definire cos’è l’incertezza. L’incertezza, in matematica, è definita come:
(dx/x)=(∆x/x) = incertezza
Esempio \(\PageIndex{3})
Guardiamo ancora l’esempio del raggio di un oggetto. Se sappiamo che l’incertezza del raggio è del 5%, l’incertezza è definita come (dx/x)=(∆x/x)= 5% = 0,05.
Ora siamo pronti ad usare il calcolo per ottenere un’incertezza sconosciuta di un’altra variabile. Diciamo che misuriamo il raggio di un’arteria e troviamo che l’incertezza è del 5%. Qual è l’incertezza della misura del volume di sangue che passa attraverso l’arteria? Diciamo che l’equazione che mette in relazione raggio e volume è:
\
Dove c è una costante, r è il raggio e V(r) è il volume.
Soluzione
Il primo passo per trovare l’incertezza del volume è capire la nostra informazione data. Dato che il raggio ha un’incertezza del 5%, sappiamo che (∆r/r) = 0,05. Stiamo cercando (∆V/V).
Ora che abbiamo fatto questo, il prossimo passo è prendere la derivata di questa equazione per ottenere:
Possiamo ora moltiplicare entrambi i lati dell’equazione per ottenere:
Siccome stiamo cercando (∆V/V), dividiamo entrambi i lati per V per ottenere:
Ci viene data l’equazione del volume per essere \(V = c(r)^2\), così possiamo inserire questo nella nostra precedente equazione per \(V\) per ottenere:
Ora possiamo cancellare le variabili che sono sia nel numeratore che nel denominatore per ottenere:
Abbiamo ora ristretto l’equazione in modo che rimanga ∆r/r. Sappiamo che il valore di incertezza per ∆r/r è del 5%, o 0,05. Inserendo questo valore per ∆r/r otteniamo:
{dfrac{∆V}{V} = 2 (0.05) = 0.1 = 10\%\]
L’incertezza del volume è del 10%. Questo metodo può essere usato anche in chimica, non solo nell’esempio biologico mostrato sopra.