Il rank è il numero di righe che sono “uniche”: non fatte di altre righe. (Lo stesso per le colonne.)
Esempio:ThisMatrix
La seconda riga è solo 3 volte la prima. Solo un inutile copione. Non conta.
Quindi anche se ci sono 2 righe, il rango è solo 1.
E le colonne? La seconda colonna è solo il doppio della prima colonna. E la terza colonna è tre volte la prima (o 1,5 volte la seconda) quindi non conta.
Quindi anche le colonne ci mostrano che il rango è solo 1.
Esempio:QuestaMatrice
La seconda fila non è composta dalla prima fila, quindi il rango è almeno 2.
Ma che dire della terza fila? È la prima e la seconda sommate insieme, quindi non conta.
Quindi anche se ci sono 3 righe, il rango è solo 2.
E le colonne? La seconda colonna va bene, ma la colonna 3 è le colonne 1 e 2 sommate.
Quindi anche le colonne ci mostrano che il rango è solo 2.
Esempio:QuestaMatrice
La seconda fila non è composta dalla prima fila, quindi il rango è almeno 2.
La terza fila sembra ok, ma dopo molto esame scopriamo che è la prima fila meno il doppio della seconda. Subdolo! Quindi il rango è solo 2.
E per le colonne: In questo caso la colonna 3 è le colonne 1 e 2 sommate. Quindi anche le colonne ci mostrano che il rango è 2.
Esempio:La matrice di identità
Tutti i file sono individui forti e indipendenti, non dipendono dagli altri per la loro esistenza! Quindi il rango è 3.
E esattamente lo stesso per le colonne, quindi anche loro ci dicono che il rango è 3.
In effetti le righe e le colonne sono sempre d’accordo sul rango (incredibile ma vero!).
Quando parliamo di righe qui, possiamo anche dire la stessa cosa delle colonne.
Quindi non abbiamo davvero bisogno di risolverli entrambi.
Perché trovare il rango?
Il rango ci dice molto sulla matrice.
È utile per sapere se abbiamo la possibilità di risolvere un sistema di equazioni lineari: quando il rango è uguale al numero di variabili potremmo essere in grado di trovare una soluzione unica.
Esempio: Mele e banane
Se sappiamo che
- 2 mele e 3 banane costano 7$
- 3 mele e 3 banane costano 9$
Allora possiamo capire che la mela in più deve costare 2$, e quindi le banane costano 1$ ciascuna.
(Ci sono 2 variabili e anche il rango è 2.)
Ma se sappiamo solo che
- 2 mele e 3 banane costano 7$
- 4 mele e 6 banane costano 14$
Non possiamo andare oltre perché la seconda riga di dati è solo il doppio della prima e non ci dà nuove informazioni.(Ci sono 2 variabili e il rango è solo 1.)
Ha anche usi nella comunicazione, stabilità dei sistemi e altro.
Dipendenza lineare
Invece di “non fatti di” diciamo che sono linearmente indipendenti che è un’idea importante.
Lineare significa che possiamo moltiplicare per una costante, ma non per potenze o altre funzioni. La costante può essere qualsiasi numero reale (0, 1, qualsiasi numero intero, frazione, negativo, ecc.).
Dipendenza significa che dipendono l’uno dall’altro, in altre parole possiamo sommarne alcuni (dopo averli moltiplicati per una costante) per farne un altro.
Immagina che siano vettori (hanno direzione e lunghezza). Possiamo combinare gli altri vettori (allungati o rimpiccioliti come necessario) per ottenere lo stesso risultato?
c = a + 2b,
quindi c è linearmente dipendente da a e b
Nota anche che:
- a e b sono insieme linearmente indipendenti: non possiamo usare a da solo per arrivare a dove si trova b, o viceversa.
- Lo stesso vale per b e c, o a e c.
- Ma a, b e c sono insieme linearmente dipendenti.
Pensando solo ad a e b: possiamo effettivamente raggiungere qualsiasi punto del piano usando questi due vettori:
I vettori a e b coprono l’intero piano.
Quando i vettori sono linearmente indipendenti e coprono un intero spazio si dice che sono una “base” di quello spazio.
Quindi a e b sono una base del piano 2D.
Nota: lo spazio è un termine generale che copre 1, 2, 3 o più dimensioni, ma spesso chiamiamo lo spazio 2D un piano.
Quindi a e b sono utili quanto gli assi x, y. E lo stesso si potrebbe dire per qualsiasi 2 vettori linearmente indipendenti nel piano 2D.
La coppia più semplice di vettori linearmente indipendenti sono (1,0) e (0,1) che formano la matrice d’identità 2×2:
Fanno essenzialmente gli assi x,y familiari:
E in 3D:
E in 4D:
OK, questo è un po’ difficile da illustrare, ma i numeri funzionano bene fino a tutte le dimensioni che vuoi!
Come trovare il rank
Di solito è meglio usare un software per trovare il rank, ci sono algoritmi che giocano con le righe e le colonne per calcolarlo. Ma in alcuni casi possiamo capirlo da soli.
Per una matrice quadrata il determinante può aiutare: un determinante non nullo ci dice che tutte le righe (o colonne) sono linearmente indipendenti, quindi è “full rank” e il suo rango è uguale al numero di righe.
Esempio: Questi vettori 4d sono linearmente indipendenti?
Il determinante è (usando la Matrice Calcolatrice):
1(2(3×4-0×0)-2(0×4-0×1)+0(0×0-3×1))-2(0(3×4-0×0)-2(1×4-0×0)+0(1×0-3×0))+3(0(0×4-0×1)-2(1×4-0×0)+0(1×1-0×0))-4(0(0×0-3×1)-2(1×0-3×0)+2(1×1-0×0)) = 8
Il determinante è non-zero quindi devono essere tutti linearmente indipendenti.
E quindi è di pieno rango, e il rango è 4.
Quindi sappiamo che è effettivamente una base per lo spazio 4D: usando questi 4 vettori possiamo spaziare in tutto lo spazio 4D.
Un grande esempio in cui la matematica può dirci qualcosa che non possiamo facilmente immaginare.
Altre proprietà
Il rango non può essere più grande della dimensione più piccola della matrice.
Esempio: per una matrice 2×4 il rango non può essere più grande di 2
Quando il rango è uguale alla dimensione più piccola si dice “rango pieno”, un rango più piccolo si dice “rango carente”.
Il rango è almeno 1, tranne per una matrice zero (una matrice fatta di tutti zeri) il cui rango è 0.