Rapporto aureo

Irrazionalità

Il rapporto aureo è un numero irrazionale. Di seguito due brevi prove dell’irrazionalità:

Contraddizione da un’espressione in termini minimi

Se φ fosse razionale, allora sarebbe il rapporto dei lati di un rettangolo con lati interi (il rettangolo che comprende l’intero diagramma). Ma sarebbe anche il rapporto dei lati interi del rettangolo più piccolo (la parte più a destra del diagramma) ottenuto eliminando un quadrato. La sequenza di lati interi decrescenti formati eliminando i quadrati non può continuare all’infinito perché gli interi hanno un limite inferiore, quindi φ non può essere razionale.

Ricorda che:

l’insieme è la parte più lunga più la parte più corta; l’insieme sta alla parte più lunga come la parte più lunga sta alla parte più corta.

Se chiamiamo l’insieme n e la parte più lunga m, allora la seconda affermazione sopra diventa

n sta a m come m sta a n – m,

o, algebricamente

n m = m n – m . ( ∗ ) {\displaystyle {\frac {n}{m}}={frac {m}{n-m}}.\qquad (*)}

Dire che il rapporto aureo φ è razionale significa che φ è una frazione n/m dove n e m sono interi. Possiamo prendere n/m per essere in termini minimi e n e m per essere positivi. Ma se n/m è in termini minimi, allora l’identità etichettata (*) sopra dice che m/(n – m) è ancora in termini minimi. Questa è una contraddizione che segue dall’assunzione che φ sia razionale.

Per irrazionalità di √5

Un’altra breve prova – forse più comunemente conosciuta – dell’irrazionalità del rapporto aureo fa uso della chiusura dei numeri razionali sotto addizione e moltiplicazione. Se 1 + 5 2 {displaystyle \textstyle {\frac {1+{sqrt {5}}}{2}}

è razionale, allora 2 ( 1 + 5 2 ) – 1 = 5 {\displaystyle \textstyle 2\left({\frac {1+{sqrt {5}}{2}}destra)-1={sqrt {5}}}

è anche razionale, il che è una contraddizione se è già noto che la radice quadrata di un numero naturale non quadrato è irrazionale.

Polinomio minimo

Il rapporto aureo è anche un numero algebrico e persino un intero algebrico. Ha polinomio minimo

x 2 – x – 1. {\displaystyle x^{2}-x-1.}

Avendo grado 2, questo polinomio ha effettivamente due radici, l’altra è il coniugato del rapporto aureo.

Coniugato del rapporto aureo

La radice coniugata al polinomio minimo x2 – x – 1 è

– 1 φ = 1 – φ = 1 – 5 2 = – 0,61803 39887 … . {\displaystyle -{frac {1}{varphi}}=1-\varphi ={frac {1-{sqrt {5}}{2}}=-0.61803\,39887\dots .}

Il valore assoluto di questa quantità (≈ 0.618) corrisponde al rapporto di lunghezza preso in ordine inverso (lunghezza del segmento più corto su quello più lungo, b/a), ed è talvolta indicato come rapporto aureo coniugato o rapporto d’argento. È indicato qui con la maiuscola Phi ( Φ {displaystyle \Phi }

): Φ = 1 φ = φ – 1 = 0,61803 39887 … . {\displaystyle \Phi ={1 \over \varphi }=\varphi ^{-1}=0.61803\,39887\ldots .}

In alternativa, Φ {\displaystyle \Phi }

può essere espresso come Φ = φ – 1 = 1,61803 39887 … – 1 = 0,61803 39887 … . {\displaystyle \Phi =\varphi -1=1.61803\,39887\ldots -1=0.61803\,39887\ldots .}

Questo illustra la proprietà unica del rapporto aureo tra i numeri positivi, che

1 Φ = φ – 1 , {\displaystyle {1 Φ sopra \varphi }=\varphi -1,}

o il suo inverso:

1 Φ = Φ + 1. 1 Φ = Φ + 1.

Questo significa 0,61803…:1 = 1:1,61803….

Forme alternative

Approssimazioni al reciproco rapporto aureo mediante frazioni finite continue, o rapporti di numeri di Fibonacci

La formula φ = 1 + 1/φ può essere espansa ricorsivamente per ottenere una frazione continua per il rapporto aureo:

φ = = 1 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + ⋱ {displaystyle \varphi ==1+{\cfrac {1}{1}+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}

e il suo reciproco:

φ – 1 = = 0 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + ⋱ {\displaystyle \varphi ^{-1}==0+{\cfrac {1}{1}+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}+{1+ddots }}}}}}}

I convergenti di queste frazioni continue (1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, …, o 1/1, 1/2, 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, …) sono rapporti di numeri successivi di Fibonacci.

L’equazione φ2 = 1 + φ produce allo stesso modo la radice quadrata continua:

φ = 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ . φ2 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ .

Può essere derivata una serie infinita per esprimere φ:

φ = 13 8 + ∑ n = 0 ∞ ( – 1 ) n + 1 ( 2 n + 1 ) ! 4 2 n + 3 n ! ( n + 2 ) ! . {\displaystyle \varphi ={frac {13}{8}}+\sum _{n=0}^{\infty }{frac {(-1)^{n+1}(2n+1)!}{4^{2n+3}n!(n+2)!}.}

Anche:

φ = 1 + 2 sin ( π / 10 ) = 1 + 2 sin 18 ∘ {\displaystyle \varphi =1+2\sin(\pi /10)=1+2\sin 18^{\circ }}

φ = 1 2 csc ( π / 10 ) = 1 2 csc 18 ∘ {\displaystyle \varphi ={1 \su 2}\csc(\pi /10)={1 \su 2}\csc 18^\circuito}

φ = 2 cos ( π / 5 ) = 2 cos 36 ∘ {\displaystyle \varphi =2\cos(\pi /5)=2\cos 36^{\circuito}

φ = 2 sin ( 3 π / 10 ) = 2 sin 54 ∘ . {\displaystyle \varphi =2\sin(3\pi /10)=2\sin 54^{\circ.}

Queste corrispondono al fatto che la lunghezza della diagonale di un pentagono regolare è φ volte la lunghezza del suo lato, e relazioni simili in un pentagramma.

Geometria

Spirali d’oro approssimate e vere. La spirale verde è fatta da quarti di cerchio tangenti all’interno di ogni quadrato, mentre la spirale rossa è una spirale aurea, un tipo speciale di spirale logaritmica. Le porzioni sovrapposte appaiono gialle. La lunghezza del lato di un quadrato diviso per quello del quadrato successivo più piccolo è il rapporto aureo.

Il numero φ compare spesso in geometria, in particolare nelle figure con simmetria pentagonale: la lunghezza della diagonale di un pentagono regolare è φ volte il suo lato.I vertici di un icosaedro regolare sono quelli di tre rettangoli aurei reciprocamente ortogonali.

Non esiste un algoritmo generale conosciuto per disporre uniformemente un dato numero di nodi su una sfera, per una qualsiasi delle varie definizioni di distribuzione uniforme (vedi, per esempio, il problema Thomson). Tuttavia, un’approssimazione utile risulta dal dividere la sfera in bande parallele di uguale superficie e collocare un nodo in ogni banda a longitudini distanziate da una sezione aurea del cerchio, cioè 360°/φ ≅ 222,5°. Questo metodo è stato usato per disporre i 1500 specchi del satellite Starshine-3, di proprietà degli studenti.

Dividere un segmento di linea per divisione interna

Dividere un segmento di linea per divisione interna secondo il rapporto aureo

1. Avendo un segmento di linea AB, costruire una perpendicolare BC nel punto B, con BC lunga la metà di AB. Disegna l’ipotenusa AC.
2. Disegna un arco di centro C e raggio BC. Questo arco interseca l’ipotenusa AC nel punto D.
3. Disegna un arco di centro A e raggio AD. Questo arco interseca il segmento originale AB nel punto S. Il punto S divide il segmento originale AB nei segmenti AS e SB di lunghezza pari al rapporto aureo.

Dividere un segmento di retta per divisione esterna

Dividere un segmento di retta per divisione esterna secondo il rapporto aureo

1. Disegna un segmento di linea AS e costruisci dal punto S un segmento SC perpendicolare ad AS e della stessa lunghezza di AS.
2. Bisetta il segmento di linea AS con M.
3. Un arco circolare intorno a M di raggio MC interseca nel punto B la retta passante per i punti A e S (detta anche prolungamento di AS). Il rapporto tra AS e il segmento costruito SB è il rapporto aureo.

Esempi di applicazione si possono vedere negli articoli Pentagono con una lunghezza di lato data, Decagono con circonferenza data e Decagono con una lunghezza di lato data.

Entrambi i diversi algoritmi mostrati sopra producono costruzioni geometriche che determinano due segmenti di linea allineati dove il rapporto tra quello più lungo e quello più corto è il rapporto aureo.

Triangolo d’oro, pentagono e pentagramma

Triangolo d’oro. L’angolo con doppio arco rosso è di 36 gradi, o π 5 {displaystyle {\frac {{pi}}}

radianti.

Triangolo d’oro

Il triangolo d’oro può essere caratterizzato come un triangolo isoscele ABC con la proprietà che bisecando l’angolo C produce un nuovo triangolo CXB che è un triangolo simile a quello originale.

Se l’angolo BCX = α, allora XCA = α a causa della bisezione, e CAB = α a causa dei triangoli simili; ABC = 2α dalla simmetria isoscele originale, e BXC = 2α per similarità. Gli angoli di un triangolo si sommano a 180°, quindi 5α = 180, dando α = 36°. Gli angoli del triangolo d’oro sono quindi 36°-72°-72°. Gli angoli del rimanente triangolo isoscele ottuso AXC (a volte chiamato lo gnomone d’oro) sono 36°-36°-108°.

Supponiamo che XB abbia lunghezza 1, e chiamiamo BC lunghezza φ. A causa dei triangoli isosceli XC=XA e BC=XC, quindi anche questi hanno lunghezza φ. La lunghezza AC = AB, quindi è uguale a φ + 1. Ma il triangolo ABC è simile al triangolo CXB, quindi AC/BC = BC/BX, AC/φ = φ/1, e quindi anche AC è uguale a φ2. Così φ2 = φ + 1, confermando che φ è davvero il rapporto aureo.

Similmente, il rapporto dell’area del triangolo più grande AXC al più piccolo CXB è uguale a φ, mentre il rapporto inverso è φ – 1.

Pentagono

In un pentagono regolare il rapporto tra una diagonale e un lato è il rapporto aureo, mentre le diagonali che si intersecano si sezionano nel rapporto aureo.

La costruzione di Odom

Sia A e B i punti medi dei lati EF e ED di un triangolo equilatero DEF. Estendere AB per incontrare la circonferenza di DEF in C.
| A B | B C | = | A C | | A B | = ϕ {\displaystyle {\tfrac {|AB|}{|BC|}}={\tfrac {|AC|}{|AB|}}=\phi }

George Odom ha dato una costruzione straordinariamente semplice per φ che coinvolge un triangolo equilatero: se un triangolo equilatero è inscritto in un cerchio e il segmento di linea che unisce i punti medi di due lati è prodotto per intersecare il cerchio in uno dei due punti, allora questi tre punti sono in proporzione aurea. Questo risultato è una conseguenza diretta del teorema dell’intersezione delle corde e può essere usato per costruire un pentagono regolare, una costruzione che attirò l’attenzione del noto geometra canadese H. S. M. Coxeter che lo pubblicò a nome di Odom come diagramma nell’American Mathematical Monthly accompagnato dalla sola parola “Behold!

Pentagramma

Un pentagramma colorato per distinguere i suoi segmenti di linea di diversa lunghezza. Le quattro lunghezze sono in rapporto aureo tra loro.

Il rapporto aureo gioca un ruolo importante nella geometria dei pentagrammi. Ogni intersezione di spigoli seziona altri spigoli nel rapporto aureo. Inoltre, il rapporto tra la lunghezza del segmento più corto e il segmento delimitato dai due spigoli che si intersecano (un lato del pentagono al centro del pentagramma) è φ, come mostra l’illustrazione a quattro colori.

Il pentagramma comprende dieci triangoli isosceli: cinque triangoli isosceli acuti e cinque ottusi. In tutti loro, il rapporto tra il lato più lungo e quello più corto è φ. I triangoli acuti sono triangoli aurei. I triangoli isosceli ottusi sono gnomoni d’oro.

Teorema di Tolomeo

Il rapporto aureo in un pentagono regolare può essere calcolato usando il teorema di Tolomeo.

Le proprietà del rapporto aureo di un pentagono regolare possono essere confermate applicando il teorema di Tolomeo al quadrilatero formato rimuovendo uno dei suoi vertici. Se il bordo lungo e le diagonali del quadrilatero sono b, e i bordi corti sono a, allora il teorema di Tolomeo dà b2 = a2 + ab che produce

b a = 1 + 5 2 . b a = 1 + 5 2, che dà come risultato b a = 1 + 5 2. \sopra 2}.}

Scalenità dei triangoli

Considera un triangolo con i lati di lunghezza a, b e c in ordine decrescente. Definisci la “scalenità” del triangolo come il più piccolo dei due rapporti a/b e b/c. La scalenità è sempre inferiore a φ e può essere fatta il più vicino possibile a φ.

Triangolo i cui lati formano una progressione geometrica

Se le lunghezze dei lati di un triangolo formano una progressione geometrica e sono nel rapporto 1 : r : r2, dove r è il rapporto comune, allora r deve trovarsi nell’intervallo φ-1 < r < φ, che è una conseguenza della disuguaglianza del triangolo (la somma di qualsiasi due lati di un triangolo deve essere strettamente maggiore della lunghezza del terzo lato). Se r = φ allora i due lati più corti sono 1 e φ ma la loro somma è φ2, quindi r < φ. Un calcolo simile mostra che r > φ-1. Un triangolo i cui lati sono nel rapporto 1 : √φ : φ è un triangolo rettangolo (perché 1 + φ = φ2) noto come triangolo di Keplero.

Triangolo d’oro, rombo, e triacontaedro rombico

Uno dei rombi del triacontaedro rombico

Tutte le facce del triacontaedro rombico sono rombi d’oro

Un rombo d’oro è un rombo le cui diagonali sono nel rapporto aureo. Il triacontaedro rombico è un politopo convesso che ha una proprietà molto speciale: tutte le sue facce sono rombi aurei. Nel triacontaedro rombico l’angolo diedro tra due rombi adiacenti è di 144°, che è il doppio dell’angolo isoscele di un triangolo aureo e quattro volte il suo angolo più acuto.

Relazioni con la sequenza di Fibonacci

La matematica del rapporto aureo e della sequenza di Fibonacci sono intimamente interconnessi. La sequenza di Fibonacci è:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, …

Un’espressione in forma chiusa per la sequenza di Fibonacci coinvolge il rapporto aureo:

F ( n ) = φ n – ( 1 – φ ) n 5 = φ n – ( – φ ) – n 5 . F ( n )={{varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}} \su {\sqrt {5}}={{\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}} \su {\sqrt {5}}.}

Una spirale di Fibonacci che approssima la spirale aurea, utilizzando i quadrati della sequenza di Fibonacci fino a 34. La spirale è disegnata a partire dal quadrato interno 1×1 e continua verso l’esterno in quadrati successivamente più grandi.

Il rapporto aureo è il limite dei rapporti dei termini successivi della sequenza di Fibonacci (o qualsiasi sequenza simile a Fibonacci), come dimostrato da Keplero:

lim n → ∞ F n + 1 F n = φ . {\displaystyle \lim _{n a \infty }{frac {F_{n+1}}{F_{n}}}=\varphi .}

In altre parole, se un numero di Fibonacci è diviso per il suo immediato predecessore nella sequenza, il quoziente si avvicina a φ; ad es, 987/610 ≈ 1.6180327868852. Queste approssimazioni sono alternativamente inferiori e superiori a φ, e convergono a φ all’aumentare dei numeri di Fibonacci, e:

∑ n = 1 ∞ | F n φ – F n + 1 | = φ . F n = 1 φ – F n + 1 φ = φ .

Più in generale:

lim n → ∞ F n + a F n = φ a , {\displaystyle \lim _{n\ a \infty }{frac {F_{n+a}}{F_{n}}}=\varphi ^{a},

dove sopra, i rapporti dei termini consecutivi della sequenza di Fibonacci, è un caso in cui a = 1. {\displaystyle a=1,}

Inoltre, le potenze successive di φ obbediscono alla ricorrenza di Fibonacci:

φ n + 1 = φ n + φ n – 1 . {\displaystyle \varphi ^{n+1}=\varphi ^{n}+\varphi ^{n-1}.}

Questa identità permette di ridurre qualsiasi polinomio in φ a un’espressione lineare. Per esempio:

3 φ 3 – 5 φ 2 + 4 = 3 ( φ 2 + φ ) – 5 φ 2 + 4 = 3 – 5 ( φ + 1 ) + 4 = φ + 2 ≈ 3.618. {\displaystyle {\begin{aligned}3\varphi ^{3}-5\varphi ^{2}+4&=3(\varphi ^{2}+\varphi )-5\varphi ^{2}+4\&=3-5(\varphi +1)+4\&=\varphi +2\approx 3.618.\end{aligned}}}

La riduzione ad un’espressione lineare può essere realizzata in un passo usando la relazione

φ k = F k φ + F k – 1 , {\displaystyle \varphi ^{k}=F_{k}\varphi +F_{k-1},}

dove F k {displaystyle F_{k}}

è il kesimo numero di Fibonacci.

Tuttavia, questa non è una proprietà speciale di φ, perché i polinomi in qualsiasi soluzione x di un’equazione quadratica possono essere ridotti in modo analogo, applicando:

x 2 = a x + b {\displaystyle x^{2}=ax+b}

per dati coefficienti a, b tali che x soddisfa l’equazione. Ancora più in generale, qualsiasi funzione razionale (con coefficienti razionali) della radice di un polinomio irriducibile di n° grado sui razionali può essere ridotta a un polinomio di grado n – 1. In termini di teoria dei campi, se α è una radice di un polinomio irriducibile di nono grado, allora Q ( α ) {displaystyle \mathbb {Q} (\alpha )}

ha grado n su Q {displaystyle \mathbb {Q} }

, con base { 1 , α , … , α n – 1 } . {\displaystyle \1,\alpha ,\punti,\alpha ^{n-1}}.}

Simmetrie

Il rapporto aureo e il rapporto aureo inverso φ ± = ( 1 ± 5 ) / 2 {\displaystyle \varphi _{\pm}=(1\pm {\sqrt {5}})/2}

hanno una serie di simmetrie che li preservano e li interconnettono. Sono entrambi preservati dalle trasformazioni lineari frazionarie x , 1 / ( 1 – x ) , ( x – 1 ) / x , {\displaystyle x,1/(1-x),(x-1)/x,}

– questo fatto corrisponde all’identità e alla definizione equazione quadratica.Inoltre, sono scambiati dalle tre mappe 1 / x , 1 – x , x / ( x – 1 ) {\displaystyle 1/x,1-x,x/(x-1)}

– sono reciproche, simmetriche su 1 / 2 {\displaystyle 1/2}

, e (proiettivamente) simmetriche su 2.

Più profondamente, queste mappe formano un sottogruppo del gruppo modulare PSL ( 2 , Z ) {\displaystyle \operatorname {PSL} (2,\mathbf {Z} )}

è isomorfo al gruppo simmetrico su 3 lettere, S 3 , {\displaystyle S_{3},}

corrispondente allo stabilizzatore dell’insieme { 0 , 1 , ∞ } {displaystyle \0,1,\infty \}}

di 3 punti standard sulla retta proiettiva, e le simmetrie corrispondono alla mappa quoziente S 3 → S 2 {displaystyle S_{3} a S_{2}}

– il sottogruppo C 3 < S 3 {displaystyle C_{3}<S_{3}

costituito dai 3 cicli e dall’identità ( ) ( 01 ∞ ) ( 0 ∞ 1 ) {\displaystyle ()(01\infty )(0\infty 1)}

fissa i due numeri, mentre i 2 cicli li scambiano, realizzando così la mappa.

Altre proprietà

Il rapporto aureo ha l’espressione più semplice (e la convergenza più lenta) come espansione di una frazione continua di qualsiasi numero irrazionale (vedi Forme alternative sopra). È, per questa ragione, uno dei casi peggiori del teorema di approssimazione di Lagrange ed è un caso estremo della disuguaglianza di Hurwitz per le approssimazioni diofantine. Questo può essere il motivo per cui angoli vicini al rapporto aureo si presentano spesso nella fillotassi (la crescita delle piante).

Il polinomio quadratico definente e la relazione coniugata portano a valori decimali che hanno la loro parte frazionaria in comune con φ:

φ 2 = φ + 1 = 2.618 … {\displaystyle \varphi ^{2}=\varphi +1=2.618\dots }

1 φ = φ – 1 = 0.618 … . {\displaystyle {1 \over \varphi }=\varphi -1=0.618\dots .}

La sequenza di potenze di φ contiene questi valori 0.618…, 1.0, 1.618…, 2.618…; più in generale, ogni potenza di φ è uguale alla somma delle due potenze immediatamente precedenti:

φ n = φ n – 1 + φ n – 2 = φ ⋅ F n + F n – 1 . {\displaystyle \varphi ^{n}=\varphi ^{n-1}+\varphi ^{n-2}=\varphi \cdot \operatorname {F} \n}+operatornello {F}+peratornello {F} _{n-1}.}

Come risultato, si può facilmente decomporre qualsiasi potenza di φ in un multiplo di φ e una costante. Il multiplo e la costante sono sempre numeri di Fibonacci adiacenti. Questo porta a un’altra proprietà delle potenze positive di φ:

Se ⌊ n / 2 – 1 ⌋ = m {displaystyle \lfloor n/2-1\rfloor =m}

, allora: φ n = φ n – 1 + φ n – 3 + ⋯ + φ n – 1 – 2 m + φ n – 2 – 2 m {\displaystyle \!\varphi ^{n}=\varphi ^{n-1}+\varphi ^{n-3}+\cdots +\varphi ^{n-1-2m}+\varphi ^{n-2-2-2m}}

φ n – φ n – 1 = φ n – 2 . φ n – φ n – 1 = φ n – 2. φ n – 1 = φ n – 2. φ n – 1 = φ n – 2. φ n – 1 = φ n – 2.

Quando il rapporto aureo è usato come base di un sistema numerico (vedi Base del rapporto aureo, a volte soprannominata finaria o φ-naria), ogni intero ha una rappresentazione terminante, nonostante φ sia irrazionale, ma ogni frazione ha una rappresentazione non terminante.

Il rapporto aureo è un’unità fondamentale del campo numerico algebrico Q ( 5 ) {displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {5})}

ed è un numero di Pisot-Vijayaraghavan. Nel campo Q ( 5 ) {displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {5})}

abbiamo φ n = L n + F n 5 2 {\displaystyle \varphi ^{n}={L_{n}+F_{n}{\sqrt {5}} \sopra 2}}

, dove L n {\displaystyle L_{n}

è il n {displaystyle n}

-esimo numero di Lucas.

Il rapporto aureo appare anche nella geometria iperbolica, come la massima distanza da un punto su un lato di un triangolo ideale al più vicino degli altri due lati: questa distanza, la lunghezza del lato del triangolo equilatero formato dai punti di tangenza di un cerchio inscritto nel triangolo ideale, è 4 log ( φ ) {\displaystyle 4\log(\varphi )}

.

Il rapporto aureo appare anche nella teoria delle funzioni modulari. Sia

R ( q ) = q 1 / 5 1 + q 1 + q 2 1 + q 3 1 + ⋱ . R(q)={{cfrac {q^{1/5}}{1+{cfrac {q}{1+{cfrac {q^{2}{1+{cfrac {q^{3}{1+\ddots }}}}}}}}.}

Allora

R ( e – 2 π ) = φ 5 – φ , R ( e – 2 π 5 ) = 5 1 + ( 5 3 4 ( φ – 1 ) 5 2 – 1 ) 1 5 – φ . R(e^{-2\pi })={sqrt {\varphi {sqrt {5}}}}-\varphi ,\quadro R(e^{-2\pi {\sqrt {5}}})={frac {\sqrt {5}}{1+sinistra(5^{frac {3}{4}}(\varphi -1)^{frac {5}{2}}-1\destra)^{frac {1}{5}}}}-\varphi .}

Anche se a , b ∈ R + {displaystyle a,b in \mathbb {R} ^{+}

e a b = π 2 {displaystyle ab=\pi ^{2}}

, allora ( R ( e – 2 a ) + φ ) ( R ( e – 2 b ) + φ ) = φ 5 . {\displaystyle (R(e^{-2a})+\varphi )(R(e^{-2b})+\varphi )=\varphi {\sqrt {5}}.}

Espansione decimale

L’espansione decimale del rapporto aureo può essere calcolata direttamente dall’espressione

φ = 1 + 5 2 {\displaystyle \varphi ={1+{sqrt {5}} \sopra 2}}

con √5 ≈ 2.2360679774997896964 OEIS: A002163. La radice quadrata di 5 può essere calcolata con il metodo babilonese, partendo da una stima iniziale come xφ = 2 e iterando

x n + 1 = ( x n + 5 / x n ) 2 {\displaystyle x_{n+1}={\frac {(x_{n}+5/x_{n})}{2}}

per n = 1, 2, 3, …, finché la differenza tra xn e xn-1 diventa zero, al numero di cifre desiderato.

L’algoritmo babilonese per √5 è equivalente al metodo di Newton per risolvere l’equazione x2 – 5 = 0. Nella sua forma più generale, il metodo di Newton può essere applicato direttamente a qualsiasi equazione algebrica, compresa l’equazione x2 – x – 1 = 0 che definisce il rapporto aureo. Questo dà un’iterazione che converge al rapporto aureo stesso,

x n + 1 = x n 2 + 1 2 x n – 1 , {\displaystyle x_{n+1}={\frac {x_{n}^{2}+1}{2x_{n}-1}},}

per una stima iniziale appropriata xφ come xφ = 1. Un metodo leggermente più veloce è riscrivere l’equazione come x – 1 – 1/x = 0, nel qual caso l’iterazione Newton diventa

x n + 1 = x n 2 + 2 x n x n 2 + 1 . {\displaystyle x_{n+1}={\frac {x_{n}^{2}+2x_{n}}{x_{n}^{2}+1}}.}

Queste iterazioni convergono tutte quadraticamente; cioè, ogni passo raddoppia approssimativamente il numero di cifre corrette. Il rapporto aureo è quindi relativamente facile da calcolare con precisione arbitraria. Il tempo necessario per calcolare n cifre del rapporto aureo è proporzionale al tempo necessario per dividere due numeri di n cifre. Questo è considerevolmente più veloce degli algoritmi conosciuti per i numeri trascendentali π ed e.

Un’alternativa facilmente programmabile usando solo l’aritmetica intera è calcolare due grandi numeri consecutivi di Fibonacci e dividerli. Il rapporto tra i numeri di Fibonacci F 25001 e F 25000, ciascuno di oltre 5000 cifre, produce oltre 10.000 cifre significative del rapporto aureo.

L’espansione decimale del rapporto aureo φ è stata calcolata con una precisione di duemila miliardi (2×1012 = 2.000.000.000.000) di cifre.