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Relazione riflessiva sull’insieme

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Relazione riflessiva sull’insieme è un elemento binario in cui ogni elemento è legato a se stesso.

Lasciamo che A sia un insieme e che R sia la relazione definita in esso.

R si dice che è riflessiva se (a, a) ∈ R per tutti gli a ∈ A, cioè ogni elemento di A è legato a R a se stesso, in altre parole aRa per ogni a ∈ A.

Una relazione R in un insieme A non è riflessiva se esiste almeno un elemento a ∈ A tale che (a, a) ∉ R.

Consideriamo, per esempio, un insieme A = {p, q, r, s}.

La relazione R\(_{1}\) = {(p, p), (p, r), (q, q), (r, r), (r, s), (s, s)} in A è riflessiva, poiché ogni elemento di A è correlato a se stesso.

Ma la relazione R\(_{2}\) = {(p, p), (p, r), (q, r), (q, s), (r, s)} non è riflessiva in A poiché q, r, s ∈ A ma (q, q) ∉ R\(_{2}\, (r, r) ∉ R\(_{2}\) e (s, s) ∉ R\(_{2}\)

Esempio risolto di relazione riflessiva su insieme:

1.Una relazione R è definita sull’insieme Z (insieme di tutti i numeri interi) da “aRb se e solo se 2a + 3b è divisibile per 5”, per tutti a, b ∈ Z. Esaminate se R è una relazione riflessiva su Z.

Soluzione:

Lasciate a ∈ Z. Ora 2a + 3a = 5a, che è divisibile per 5. QuindiaRa vale per tutti a in Z, cioè R è riflessivo.

2.Una relazione R è definita sull’insieme Z da “aRb se a – b è divisibile per 5” per a,b ∈ Z. Esaminare se R è una relazione riflessiva su Z.

Soluzione:

Lascia che a ∈ Z. Allora a – a è divisibile per 5. Quindi aRa vale per tutti a in Z, cioè R è riflessivo.

3.Si consideri l’insieme Z in cui una relazione R è definita da ‘aRb se e solo se a +3b è divisibile per 4, per a, b ∈ Z. Mostrare che R è una relazione riflessiva sull’insiemeZ.

Soluzione:

Lascia che a ∈ Z. Ora a + 3a = 4a, che è divisibile per 4. Quindi aRa vale per tutti a in Z cioè R è riflessivo.

4.Una relazione ρ è definita sull’insieme di tutti i numeri reali R da ‘xρy’ se e solo se |x – y| ≤ y, per x, y ∈ R. Mostrare che la relazione ρ non è riflessiva.

Soluzione:

La relazione ρ non è riflessiva in quanto x = -2 ∈ R ma |x – x| = 0che non è minore di -2(= x).

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