Triangoli retti speciali | Math Wiki

Un triangolo retto speciale è un triangolo retto con qualche caratteristica regolare che rende i calcoli sul triangolo più facili, o per cui esistono formule semplici. Per esempio, un triangolo rettangolo può avere angoli che formano un rapporto semplice, come 45-45-90. Questo è chiamato un triangolo rettangolo “basato sugli angoli”. Un triangolo rettangolo “basato sui lati” è un triangolo in cui le lunghezze dei lati formano un rapporto di numeri interi, come 3-4-5. Conoscere i rapporti degli angoli o dei lati di questi triangoli rettangoli speciali permette di calcolare rapidamente varie lunghezze in problemi geometrici senza ricorrere a metodi più avanzati.

Basato sugli angoli

I triangoli rettangoli speciali “basati sugli angoli” sono specificati dal rapporto intero degli angoli di cui il triangolo è composto. Il rapporto intero degli angoli di questi triangoli è tale che l’angolo maggiore (destro) è uguale alla somma degli angoli minori: ${displaystyle m:n:(m+n)\\,}$ . Le lunghezze dei lati sono generalmente dedotte dalla base del cerchio unitario o da altri metodi geometrici. Questa forma è molto interessante in quanto può essere utilizzata per riprodurre rapidamente i valori delle funzioni trigonometriche per gli angoli 30°, 45°, & 60°.

Triangolo 45-45-90

Costruendo la diagonale di un quadrato si ottiene un triangolo i cui tre angoli sono nel rapporto $1:1:2\,$ . Con i tre angoli che sommano 180° (π) gli angoli misurano rispettivamente 45° ${{displaystyle ({\frac {\pi}{4}),$ 45° ${{displaystyle ({\frac {\pi}),}$ e 90° ${displaystyle ({\frac {\pi}).I lati sono nel rapporto$ ${{displaystyle 1:1:{\sqrt {2}.\i},}$

Una semplice dimostrazione. Supponiamo di avere un tale triangolo con le gambe a e b e l’ipotenusa c. Supponiamo che a = 1. Poiché due angoli misurano 45°, questo è un triangolo isoscele e abbiamo b = 1. Il fatto che $c={\sqrt {2}}$ segue immediatamente dal teorema di Pitagora.

Triangolo 30-60-90

Questo è un triangolo i cui tre angoli sono nel rapporto $1:2:3\,$ , e misurano rispettivamente 30°, 60° e 90°. Poiché questo triangolo è la metà di un triangolo equilatero, alcuni si riferiscono a questo come il triangolo emieq. La designazione 30-60-90 non è solo ingombrante, ma fa riferimento al grado, una divisione arbitraria della misura angolare. I lati sono nel rapporto ${displaystyle 1-{{sqrt {3}}-2}$ .

La prova di questo fatto è chiara usando la trigonometria. Anche se la prova geometrica è meno evidente, è altrettanto banale:

Disegna un triangolo equilatero ABC con lato di lunghezza 2 e con il punto D come punto medio del segmento BC. Traccia una linea di quota da A a D. Allora ABD è un triangolo 30-60-90 (Hemieq) con ipotenusa di lunghezza 2, e base BD di lunghezza 1. Il fatto che la gamba rimanente AD abbia lunghezza

${displaystyle {\sqrt {3}}$ segue immediatamente dal teorema di Pitagora.

Side-based

Tutti i triangoli retti speciali basati sui lati possiedono angoli che non sono necessariamente numeri razionali, ma i cui lati sono sempre di lunghezza intera e formano un triplo pitagorico. Sono molto utili in quanto possono essere facilmente ricordati e qualsiasi multiplo dei lati produce lo stesso rapporto.

Triadi pitagoriche comuni

Ci sono diverse triple pitagoriche che sono molto note, tra cui:

${{displaystyle 3:4:5\,}$ ${displaystyle 5:12:13\,}$ ${{displaystyle 6:8:10\,}$ (un multiplo della tripla 3:4:5) ${displaystyle 8:15:17\,}$ ${displaystyle 7:24:25\,}$

Il più piccolo di questi (e i suoi multipli, 6:8:10, 9:12:15,…) è l’unico triangolo rettangolo con spigoli in progressione aritmetica. I triangoli basati sulle terzine pitagoriche sono eroniani e quindi hanno area intera.

Triangoli di Fibonacci

A partire da 5, ogni altro numero di Fibonacci {0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144, 233,377, 710,….} è la lunghezza dell’ipotenusa di un triangolo rettangolo con lati integrali, o in altre parole, il numero più grande in una tripla pitagorica. La lunghezza della gamba più lunga di questo triangolo è uguale alla somma dei tre lati del triangolo precedente in questa serie di triangoli, e la gamba più corta è uguale alla differenza tra il numero di Fibonacci bypassato precedente e la gamba più corta del triangolo precedente.

Il primo triangolo di questa serie ha i lati di lunghezza 5, 4 e 3. Saltando 8, il prossimo triangolo ha i lati di lunghezza 13, 12 (5 + 4 + 3), e 5 (8 – 3). Saltando 21, il prossimo triangolo ha i lati di lunghezza 34, 30 (13 + 12 + 5) e 16 (21 – 5). Questa serie continua all’infinito e si avvicina a un triangolo limite con rapporti di spigolo:

${displaystyle {\sqrt {5}:2:1}$ .

Questo triangolo rettangolo è talvolta indicato come dom, un nome suggerito da Andrew Clarke per sottolineare che questo è il triangolo ottenuto dalla dissezione di un domino lungo una diagonale. Il dom costituisce la base della piastrellatura aperiodica a girandola proposta da John Conway e Charles Radin.

Trischi pitagorici quasi-isosceli

I triangoli rettangoli isosceli non possono avere lati con valori interi. Tuttavia, esistono infiniti triangoli quasi-isosceli retti. Questi sono triangoli rettangoli con lati integrali per i quali le lunghezze degli spigoli non ipotenusi differiscono di uno. Tali triangoli quasi-isosceli retti possono essere ottenuti ricorsivamente usando l’equazione di Pell:

a0 = 1, b0 = 2 an = 2bn-1 + an-1 bn = 2an + bn-1

an è la lunghezza dell’ipotenusa, n=1, 2, 3,… . Le più piccole triple pitagoriche risultanti sono:

${{displaystyle 3:4:5\,}$ ${displaystyle 20:21:29\,}$ ${displaystyle 119:120:169\,}$ $696:697:985\,$

Calcolo delle funzioni trigonometriche comuni

Triangoli speciali sono usati per aiutare il calcolo delle funzioni trigonometriche comuni, come sotto:

Degrees	Radiani	sin	cos	tan
0	0	0	1	0
30	${{displaystyle {\frac {\pi}}}$	${displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${displaystyle {\frac {\sqrt {3}{2}}}$	${{displaystyle {\frac {\sqrt {3}{3}}}$
	45	${\frac {\pi 4}$	${displaystyle {\frac {\sqrt {2}{2}}}$	${displaystyle {\frac {\sqrt 2}{2}}}$	1
60	${{displaystyle {\frac {\pi}{3}}$	${displaystyle$	${{displaystyle {\frac {\sqrt {3}{2}}}}$	${\sqrt {3}}$
	90	${\frac {\pi}{2}$	1	0	–