ランクは、他の行から作られていない「ユニーク」な行がどれだけあるかを示しています。 (列についても同様です。)
例を示します。ThisMatrix
2列目は1列目の3倍にしかなりません。 ただの無駄な模倣品。
だから、2列あっても順位は1つしかないのです。
列はどうでしょうか。 2列目は1列目の2倍です。
このように、列もまた、順位が1であることを示しています。
Example:ThisMatrix
2列目が1列目でできていない。 なので、ランクは最低でも2です。
では、3列目はどうでしょうか。
だから、3列あっても順位は2です。
列はどうでしょうか。
列はどうでしょうか。2列目は問題ありませんが、3列目は1列目と2列目を足したものです。
Example:ThisMatrix
2列目が1列目でできていない。 なので、ランクは最低でも2です。
3列目は問題なさそうに見えますが、検討の結果、1列目から2列目の2倍を引いたものであることがわかりました。 ずるい!
そして、列です。 この場合、3列目は1列目と2列目を足したものです。
そして列ですが、この場合、3列目は1列目と2列目を足したものです。
Example:IdentityMatrix
すべての列は強い独立した個人です。 他者に依存しない、独立した強い個人です。
また、列もまったく同じで、順位が 3 であることを教えてくれます。
実際には、行と列は順位について常に一致しています (驚くべきことですが、事実です!)。
ここでは行について話していますが、列についても同じことが言えます。
そのため、実際には両方を計算する必要はありません。
Why Find the Rank?
ランクは、行列について多くのことを教えてくれます。
連立方程式を解ける可能性があるかどうかを知るのに役立ちます。ランクが変数の数に等しい場合、唯一の解を見つけることができるかもしれません。 りんごとバナナ
もし、
- りんご2個とバナナ3本で7ドル
- りんご3個とバナナ3本で9ドル
そうすると、余分なりんごは2ドルで、バナナは1本1ドルだと考えることができます。
（変数は2つで、順位も2です。
しかし、もし私たちが知っているのは
- リンゴ2個とバナナ3本で7ドル
- リンゴ4個とバナナ6本で14ドル
2行目のデータは1行目の2倍になっているだけで、新しい情報は得られないので、これ以上進むことはできません。
また、通信やシステムの安定性などにも利用されています。
線形依存性
「できていない」の代わりに、重要なアイデアである「線形独立である」と言います。
線形とは、定数を掛けることができますが、累乗や他の関数はできません。
依存性とは、お互いに依存していることを意味し、言い換えれば、（定数を掛けた後に）あるものを足して別のものを作ることができるということです。 同じ結果を得るために、他のベクトルを（必要に応じて伸ばしたり縮めたりして）組み合わせることができるでしょうか？
c = a + 2b,
だから、cはaとbに線形的に依存している
また、以下のことにも注意してください：
- aとbは一緒になって線形的に独立しています。
- bとc、またはaとcについても同様です。
- しかし、a、b、cは共に線形従属です。
aとbについてだけ考えると、これら2つのベクトルを使用して、実際に平面上のどこにでも到達することができます：
ベクトルaとbは平面全体に及びます。
ベクトルが線形独立で空間全体に渡る場合、その空間の「基底」と言います。
つまり、aとbは2次元平面の基底です。
注意：空間とは、1、2、3、またはそれ以上の次元をカバーする一般的な用語ですが、私たちはしばしば2D空間を平面と呼びます。
従って、aとbはx,y軸と同様に有用です。 また、同じことが 2D 平面上の任意の 2 つの直線的に独立したベクトルにも言えます。
線形的に独立したベクトルの最も基本的なペアは(1,0)と(0,1)で、2×2の恒等行列を形成します。
これらは基本的に、おなじみのx,y軸を作ります。
そして3Dでは。
です。
そして、4Dでは。
となります。
OK。 しかし、この数字は、あなたが望む限り、いくつもの次元までうまくいきます。
順位の求め方
順位を求めるには、通常はソフトウェアを使用するのが最善ですが、行や列を弄って計算するアルゴリズムがあります。
正方行列の場合、行列式が助けになります。ゼロでない行列式は、すべての行 (または列) が線形独立であることを示します。
Example:Are these 4d vectors linearly independent?
となります。
行列式は（行列計算機を使用して）次のようになります。
1(2(3×4-0×0)-2(0×4-0×1)+0(0×0-3×1))-2(0(3×4-0×0)-2(1×4-0×0)+0(1×0-3×0))+3(0(0×4-0×1)-2(1×4-0×0)+0(1×1-0×0))-4(0(0×0-3×1)-2(1×0-3×0)+2(1×1-0×0)) = 8
行列式が0でないことから、これらはすべて線形独立であると考えられます。
従って、これはフルランクであり、ランクは4です。
従って、これは実際には4次元空間の基底であることがわかります。つまり、この4つのベクトルを使って、4次元空間のすべてをカバーすることができます。
私たちが容易に想像できないことを、数学が教えてくれる素晴らしい例です。
その他の特性
階数は行列の最小次元よりも大きくなることはありません。
例：2×4の行列の場合、階数は2より大きくなることはない
階数が最小の次元と等しい場合を「完全階数」といい、それより小さい場合を「階数不足」といいます。
階数は少なくとも1であり、ゼロ行列（すべてのゼロからなる行列）の階数が0である場合を除きます。