SEMIGROUPSとDISSIPATIVE OPERATORS
18 微分方程式u′(t)=A(u(t))がある種の「解」を持つ演算子をAとします。 より正確には、MがBanach空間の部分集合であり、各x0∈Mに対して一意の解u : =exp(-xλ)=-1λg(x)exp(-xλ)があるとします。
両辺を積分すると、例えばx=0から始めて、
ある定数Cに対して、Cの値を求めるには、x→∞として、この式の両辺に制限をかけます。 fは∞で消失するのでf(x)→0となり、C=1λ∫0∞g(t)exp(-t/λ)dtとなります。 gは無限大で消失し、exp(-t/λ)は指数関数的に速く消失するので、この積分は収束します。 したがって、最後に表示された式は書き直すことができます
(I-λA)-1はC0(ℝ)上のあらゆる場所で定義される非展開線形演算子です。
これはクランドール・リゲットの定理が適用される典型的な演算子ですが、この定理はもっと複雑な演算子にも適用されることを強調します。
練習問題 上の計算を修正して、(I + λA)-1もC0(ℝ)上のあらゆる場所で定義される非展開線形演算子であることを、各λ > 0.
20 Xをバナッハ空間とし、J : X → P(X*)をその双対写像とする(28.44のように定義)。 AはXの部分集合からXへの何らかの写像であるとすると、以下の2つの条件は等価であり、どちらか（あるいは両方）が満たされる場合、Aは散逸的である（あるいは-Aは降着的である）と言います：
証明（Cioranescuに従う）。 y1 = A(x1), y2 = A(x2)とする。 x^=x1-x2、y^=y1-y2とする。 とすると、
if and only if
(B′)⇒(A′)については、単純に計算すると
そこから、両方とも
η0は単位球の中にあるので、‖x^‖≦η0(x^)と｜|η0|｜＝1と結論づけられます。 すると、φ=‖x^‖η0はJ(x^)のメンバーであり、φ(y^)≦0を満足する。
21 Xをバナッハ空間とし、J : X → P(X*) をその双対写像とする。 AをXのある部分集合からXへの写像とし、ωを非負の数とする。 そうすると、次の3つの条件は等価（エクササイズ）であり、これらが満たされた場合、AはΩ-dissipativeであると言います：
22 AがLipschitzian写像で、〈A〉Lip≦ωであるとき、Aと-Aはともにω-dissipativeである。 このため、ディシパティブ条件を片側リプシッツ条件と呼ぶことがあります。
ただし、この用語は誤解を招く恐れがあります。 例えば、Aを30.19のように定義します。
Xが一次元である場合、つまりXが実線である場合、(x1 – x2)(A(y1) – A(y2))≦0である場合に限り、Aは散逸的であり、Aが減少関数である場合に限り、この不等式は満たされます。
24 Cをバナッハ空間Xの部分集合とし、SをCの自己写像の半群とする。 〈S(t)〉Lip≦eωtがある定数ω≧0、すべてのt≧0に対して成り立つとする。 Cの部分集合からXへの写像を次のように定義します
ここで、演算子Aのドメインは、限界が存在するすべてのx∈Cの集合です。 Then A is ω-dissipative.
Proof 任意のx1, x2∈Dom(A)とλ∈(0, 1/ω)を固定し、h > 0とすると、
hを↓0として極限をとると、
Proof x = R(α)u、y = R(β)υとすると、u = x – αA(x)、υ = y – βA(y)となる。 φ ≤ ω|x – y||2となるようなφ∈J(x – y)を選ぶ。 すると
||x – y||で割り切ると、目的の不等式が得られます。
26 α、βを正の数とする。
すべての非負の整数j,kについて、cj,k≤(j,k)を満足する非負の実数とする。 次にcj,k≤(jα-kβ)2+jα2+kβ2 for all nonnegative integer j, k.
より一般的には、α, β > 0, ω ≥ 0 with max{ωα, ωβ}とします。 < 1. cj,kを
すべての非負の整数j,kについて。 次に
すべての非負の整数j, kについて
備考 この不等式は30.27で使われます。 α、β、jα-kβが小さければ、j、kが大きくてもcj,kが小さくなることを示しています。
証明の概要 まず、いくつかの予備的な計算をします。
また、ω(α＋β)2 – 2(α＋β)≦0≦αβωから、
また、Cauchy-Bunyakovski-Schwarz不等式(2.10)により、
任意の非負数p,qについて。
さて、j = 0またはk = 0のとき、(1)からRasmussen-Kobayashi不等式(RK)が明らかになります。この不等式は、より大きなjおよびkに対して二重帰納法によって証明されます。 以下の計算では、ステップ(Ind)は帰納法の仮説によるものです。 Compute
これで帰納法のステップが完了し、したがって(RK)の証明が完了します
27 クランドール・リゲット定理は、一般にバナッハ空間における微分方程式に関する定理と捉えられています。 Crandall-Liggett定理はその設定以外には応用がありません。 しかし、その証明の大部分は、完全な計量空間という、より単純な設定で示すことができます。 線形構造に惑わされることなく、概念的に簡単に理解できる可能性があることと、計量的完全性の興味深い応用例を提供することから、このアプローチを取ることにします。
以下の定理では、ω = 0 の場合に T = +∞ を許可します。この場合、計算は若干単純になるので、初心者はこの場合に集中するとよいでしょう。
そして
そして、集合D = {x∈M : Γ(x) < ∞}はMに密であるとする。
写像(t, x)↦ S(t)xは.からの合同連続です。 Harauxの本はBanach空間の理論の一部をカバーしていますが、Hilbert空間のケースにも特別な注意を払っています。
我々が提示したCrandall-Liggett定理は、微分包摂u′(t)∈A(u(t))に容易に拡張されています。 範囲条件を強化し、すべての十分に小さいλ> 0に対してRan(I – λA) = Xを求めると、初期値問題の解の存在を証明することができます
u′(t)∈A(t, u(t))という形の微分介在物についても多くのことが書かれていますが、ここでA(t, ⋅)は各固定tに対するΩ-dissipative operatorです。 このテーマの1つの参考文献はPavelです。この本は偏微分方程式への多くの応用も紹介しています。 このテーマの理論はそれほどエレガントではありませんが、それには理由があります。 偏微分方程式に最大限に適用するために、研究者は、異なる固定値のtに対する異なる演算子A(t, ⋅)が異なる領域を持ち、Dom(A(t, ⋅))がtに対して不規則に変化する問題に興味を持ってきました。
30 これまでのページでは、Lipschitz条件、コンパクト性、等張性、散逸性の仮説を用いて、初期値問題のいくつかの実質的に異なる理論を展開してきました。 歴史的に見ても、これらの理論は、異なる種類のアプリケーションのために、別々に発展してきました。 これらの理論を、一つのより一般的な理論の特別なケースにしようとするのは魅力的です。 確かに、より一般的な設定で、少なくともいくつかの弱い結果を証明することは可能です – 例えば 30.6.を参照してください。 Lipschitzness、Compactness、Isotonicity などのいくつかの主要なサブ理論は、その性質が非常に異なっており、それらの間には大きな概念的ギャップがあります。 文献には、解が存在しない例はほんの一握りしかなく、そのほとんどはDieudonnéの例30.4に似ています。存在しない例は、存在に関する理論の間のギャップを説明するのに十分なほど多様ではありません。
大統一理論の探求よりも地味なのが、u′(t) = A(u(t)) + B(u(t)) という形式の問題を解くプログラムです。 + ここで、A と B は 2 つの異なるタイプの演算子で、例えば、A は dissipativeness 条件を満たし、B は compactness 条件を満たします。 この種の理論には、散逸性理論とコンパクト性理論が特別な場合として含まれます。なぜなら、A = 0 または B = 0 を取ることができるからです（演算子 0 は散逸性とコンパクト性の両方を持つからです）。 この計画は、少なくとも演算子が連続的である場合には、ある程度の成功を収めています。例えば、連続的な散逸演算子、連続的なコンパクト演算子、連続的な同調演算子の和は、進化を生成することが知られています（Volkmann 参照）。 しかし、連続性がないと問題は解決しません。 コンパクト＋散逸性の問題については、Schechter and Vrabie .
にいくつかの議論と部分的な結果があります。