集合の再帰的関係とは、すべての要素が自分自身と関係している二項要素のことである。
Aを集合とし、Rを集合で定義される関係とします。
Rは、すべてのa∈Aについて(a, a)∈R、つまりAのすべての要素が自分自身とR関係にある、言い換えれば、すべてのa∈AについてaRaである場合、再帰性であると設定される。
集合Aにおける関係Rは、(a, a)が∉Rであるような要素a∈Aが少なくとも1つ存在する場合、再帰性ではない。
例えば、集合A = {p, q, r, s}を考えてみましょう。
Aにおける関係R\(_{1}\) = {(p, p), (p, r), (q, q), (r, r), (r, s), (s, s)}は、Aのすべての要素が自分自身とR\(_{1}\)関係にあるので、再帰的です。
しかし、R\(_{2}\)={(p, p), (p, r), (q, r), (q, s), (r, s)}という関係は、q, r, s∈Aではあるが、(q, q) ∉ R\(_{2}\)であるため、Aでは再帰的ではない。 (r, r) ∉ R\(_{2}\), (s, s) ∉ R\(_{2}\)
Solvedexample of reflexive relation on set:
1.関係Rは、集合Z(すべての整数の集合)上で、すべてのa,b∈Zに対して、「aRb if and onlyif 2a + 3b is divisible by 5」で定義されます。
2.関係Rは集合Z上で、a,b∈Zに対して「a-bが5で割り切れるときaRb」で定義されるが、RがZ上で反射的な関係であるかどうかを調べる。
解答:
a∈Zとすると、a-aは5で割り切れるので、Z内のすべてのaに対してaRaが成り立つ、つまりRは再帰的である
3.
解:
a∈Zとすると、a+3bが4で割り切れる場合にのみ関係Rが定義される集合Zを考え、Rが集合Z上の再帰的関係であることを示す。
4.関係ρは、すべての実数の集合R上で、｜x – y｜≦y, for x, y∈Rである場合に限り、「xρy」で定義される。ρが再帰的関係でないことを示しなさい。
解答：
関係ρは、x＝-2∈Rであるが、｜x – x｜＝0であり、-2（＝x）より小さくはないので、再帰的ではない。
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