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- Kepler’s laws of planetary motion
第一法則
ケプラーは洗練された数学者でしたので、惑星の運動の研究において彼が行った進歩は、太陽系の天動説モデルに数学的基盤を導入することでした。 プトレマイオスやコペルニクスが「円は完璧な形であり、すべての軌道は円形でなければならない」といった仮定に基づいていたのに対し、ケプラーは数学的に円形の軌道では火星のデータと一致しないが、楕円形の軌道であればデータと一致することを示したのです。
- 惑星は、太陽を中心とした楕円形で太陽の周りを回っている (他の中心は空である)
楕円についての詳細は、Mathworld でホストされているページを数学的に詳しく読むことができます。
以下は、楕円を描くための古典的な方法のデモンストレーションです：
画像中の2つの画鋲は楕円の2つの焦点を表しており、紐は2つの焦点（画鋲）から鉛筆までの距離の合計が一定になるようにしています。
円では、中心を通るすべての線（直径）の長さがちょうど同じであることがわかっています。 しかし、楕円では、中心を通る線の長さが異なります。 一方の端から他方の端までを通り、両方の焦点を含む線を長軸と呼び、楕円上の2点間の距離が最も長くなります。
上の図では、緑色の点が焦点です（上の写真の鋲に相当）。 焦点間の距離が大きいほど、楕円の離心率は大きくなります。 焦点同士が重なっている場合（離心率0）は、実は円になります。 天文学の教科書では、「惑星の軌道は円ではなく楕円である」ということを確実に伝えるために、惑星の軌道を大きく偏心させて表示することで、誤解を招いているという研究結果があります。 実際には、太陽系のほとんどの惑星の軌道は円形に近く、偏心率は0に近い（例えば、地球の軌道の偏心率は0.0167）。 偏心率を変化させた軌道のアニメーションは、”Windows to the Universe “の偏心図を参照してください。 なお、離心率0.2の軌道はほぼ円形に見えますが、これは太陽系の惑星の中で最も離心率の大きい水星の軌道に似ています。 また、「宇宙の窓」の楕円軌道図には、複数の惑星、小惑星、彗星の離心率を直接比較した画像が掲載されています。
ケプラーの第一法則には、いくつかの意味があります。
ケプラーの第一法則には、いくつかの意味があります。
- 惑星と太陽の距離は、惑星の軌道に沿って変化する
- 太陽は、惑星の軌道の中心からずれている
第二法則
ギリシャ人は、太陽系のモデルにおいて、天空にある物体は一定の速度で円運動をしており、それが「自然な動き」であるというアリストテレスの考え方を採用していました。
ケプラーの第二法則は、太陽と惑星を結ぶ線が、等しい時間に等しい面積を通ることを示しています。
下の画像は、惑星が遠日点（太陽から最も遠い点で、下のスクリーングラブではBと表示されています）に近いとき、太陽と惑星の間に引かれた線は、A点とB点の間を細長くなぞることを示すアニメーションです。 惑星が近日点（太陽に最も近い点、下図のC）に近づくと、太陽と惑星の間に引かれた線は、C点とD点の間に短くて太いセクターが描かれることになる。
この画像をクリックするとWindows Media Playerが起動します。
ケプラーの第2法則
この2つのセクターの面積が同じであることから、ケプラーの第2法則では、惑星がAとBの間を移動する時間と、CとDの間を移動する時間が同じでなければならないことになります。 速度は距離を時間で割ったものであり、AとBの間の距離はCとDの間の距離よりも短いので、これらの距離を同じ時間で割ると次のようになります：
- 惑星は近日点では速く、遠日点では遅く動いている。
ほとんどの惑星の軌道はほぼ円形で、偏心率は0に近いので、この場合、軌道上での速度の変化はそれほど大きくありません。
物理学を教えている方は、ケプラーの第二法則は、角運動量が保存されることを示す別の言い方に過ぎないことに注意してください。 つまり、惑星が近日点に近づくと、太陽と惑星の間の距離が小さくなるので、角運動量を保存するために接線速度を大きくしなければならず、同様に、遠日点に近づいて両者の距離が大きくなると、軌道角運動量の合計が近日点のときと同じになるように、接線速度を小さくしなければならないのです。
第三法則
ケプラーはティコの惑星に関するデータをすべて持っていたので、それぞれの惑星が太陽の周りを1周するのにかかる時間を求めることができました。 これは通常、軌道の周期と呼ばれている。 ケプラーは、惑星が太陽に近いほど、太陽の周りを回る速度が速いことを発見した。 ケプラーは、太陽が惑星の軌道に影響を与えているという観点から惑星を研究した初めての科学者である。 つまり、惑星の自然な動きは、円周上を一定の速度で移動することだと考えていたプトレマイオスやコペルニクスとは異なり、ケプラーは、太陽が惑星に何らかの力を与えて軌道に沿って押しやり、その結果、太陽に近ければ近いほど速く移動するはずだと考えたのです。
ケプラーは、惑星の周期と太陽からの距離を調べ、次のような数学的な関係を証明しました。
- 惑星の軌道の周期の二乗(P)は、その楕円軌道の半長軸(a)の三乗に正比例する。 互換性のあるブラウザのリストについては、オリエンテーションの「技術的要件」を参照してください。
これが数学的に意味するのは、ある天体の周期の2乗が2倍になるならば、その半長軸の3乗も2倍にならなければならないということです。
- P 2 = k a 3 この式は、互換性のないブラウザのため、正しく表示されません。 互換性のあるブラウザのリストは、オリエンテーションの「技術的要件」を参照してください。
ここでkは一定の数値です。 式の両辺をaで割ると3 この式は、互換性のないブラウザのため正しく表示されません。 互換性のあるブラウザのリストについては、オリエンテーションの「技術的要件」を参照してください。
- P 2 / a 3 = k この式は、互換性のないブラウザのため正しく表示されません。 互換性のあるブラウザのリストについては、オリエンテーションの「技術的要件」を参照してください。
これは、太陽系内のすべての惑星について、その周期の二乗と半長軸の三乗の比が同じ一定の値であることを意味しています。 互換性のあるブラウザのリストについては、オリエンテーションの「技術的要件」を参照してください。
私たちは、地球の周期が1年であることを知っています。 ケプラーの時代には、惑星までの距離はわかっていませんでしたが、地球の半長軸を天文単位（AU）と呼ぶ単位に割り当てればよいのです。 つまり、AUの大きさを知らなくても、地球＝1AUとすればよいのです。この式は、互換性のないブラウザのため、正しく表示されません。 互換性のあるブラウザのリストは、オリエンテーションの「技術的要件」を参照してください。 . 上の式に1年と1AUを入れると、次のようになります。
- ( P 2 / a 3 ) 地球 = ( P 2 / a 3 ) 火星 = ( P 2 / a 3 ) 木星 この式は互換性のないブラウザのため、正しく表示されません。 互換性のあるブラウザのリストについては、オリエンテーションの「技術的要件」を参照してください。
従って、すべての惑星について、P 2 / a 3 = 1 この式は、互換性のないブラウザのために正しく表示されません。 互換性のあるブラウザのリストについては、オリエンテーションの「技術的要件」を参照してください。Pが年で表され、aがAUで表される場合。 つまり、土星が太陽からどれくらいの距離にあるかをAUで計算したい場合、必要なのは土星の周期です。 土星の場合、これは約29年です。
- ( P 2 / a 3 ) Saturn = ( 29 years ) 2 / ( a AU ) 3 = 1 この式は、互換性のないブラウザを使用しているため、正しく表示されません。 互換性のあるブラウザのリストについては、オリエンテーションの「技術的要件」を参照してください。
- ( a AU ) 3 = 841 この式は、互換性のないブラウザのため、正しく表示されません。 互換性のあるブラウザのリストについては、オリエンテーションの「技術的要件」を参照してください。
- (a AU) = 3 √ 841 = 9.4 AU この式は、互換性のないブラウザのため、正しく描画されません。 互換性のあるブラウザの一覧は、オリエンテーションの「技術的要件」をご覧ください。
つまり、土星は地球が太陽から受ける距離の9.4倍も太陽から離れているのです！p