このC5音叉は、減衰した固有振動数で振動します
振動子に精通している人は、単純な調和振動子の観点から考えることが多いでしょう。 振り子やバネの上の質量のような単純な調和振動子を思い浮かべる方が多いと思います。 これらのシステムは概念的には単純ですが、その数学的モデルは、これらのシステムにおける現実的な特性を説明することができません。
エレクトロニクスでは、さまざまな回路が発振器として機能し、電圧や電流が時間的に周期的な応答を示します。 機械式の振動子と同じように、振動子回路も条件によっては共振を起こします。 しかし、設計者にとっては、発振器の実際の応答が3つの異なる周波数で定義されているため、数学的に混乱することがあります。
非駆動型振動子の減衰振動数と固有振動数
機械的、電気的な調和振動子では、固有振動数を数値化することができますが、システムが実際に固有振動数で振動することはありません。 これは、振動子の理想的なモデルでは、システムの基本的な側面を理解するために、ダンピングの効果を無視したいからです。 機械的な振動子では、摩擦や運動エネルギーを散逸させるその他のメカニズムを簡単に無視することになります。
駆動されていない、減衰されていない振動子が平衡状態からずれたとき、システムはその固有の周波数で振動します。 しかし、実際の発振回路には必ずダンピングがあります。LC回路では、導体に若干の抵抗があり、それが回路のダンピングになっています。
ダンピングの効果は、平衡状態からずれたときに自然に振動することを許された非駆動の発振器において、次の2つの現象をもたらします。 発振回路の減衰は、電気エネルギー（＝流れる電荷の運動エネルギー）の一部が熱として失われるために起こります。
減衰した振動の周波数は、固有振動数とは異なります。 減衰により、減衰した振動の周波数は固有振動数よりもわずかに小さくなります。 減衰振動の周波数は以下の式で定義されます。
damped,
最終的には、減衰率が固有振動数と等しくなると、過渡的な振動は発生せず、回路内の電圧と電流は減衰して平衡に戻ることになります。 これを「臨界減衰」と呼びます。
振動回路の過渡解析を行って発振周波数を測定したとしても、それは固有の周波数を測定しているのではありません。 上の式で定義される減衰した振動数を測定しているのです。 そして、応答波形の減衰データ（下のグラフでは赤い点で示されている）の自然対数を時間経過とともにプロットすることで、減衰率を抽出することができます。
ダンピングされた、または駆動されていない振動子の発振周波数。
上のグラフでは、連続する最大値が赤い点で示されており、これらの電流データの対数が右のグラフにプロットされています。 この回帰線から、この回路の減衰率は0.76/secであることがわかります。 また、減衰振動速度は、左のグラフで連続する2つの極大値の間で求めることができ、その値は3.929rad/secとなります。 減衰率と減衰振動数がわかれば、上の式を使って固有振動数を簡単に計算することができます。 このシミュレーションでは、固有振動数は4rad/secとなっています。
Resonant Frequency vs. Natural Frequency in Driven Oscillators
発振回路を周期的な信号で駆動した場合、電流や電圧は駆動信号と同じ繰り返しで振動します。 しかし、発振回路の伝達関数がこれらの信号を歪ませるため、波形は完全には一致しません。言い換えれば、発振回路はフィルター/アンプのような役割も果たしているのです（詳細は後述）。
共振とは、特定の周波数（共振周波数）を持つ周期的な信号で振動子を駆動したときに起こる現象です。 減衰のない駆動振動子では、共振周波数は固有振動数と等しい。 これは減衰していない振動子では常にそうであるが、減衰している振動子では必ずしもそうではない。 実際の駆動型振動子にはダンピングがあり、共振周波数は必ずしも固有振動数とは等しくありません。 典型的な駆動型の減衰機械式振動子の場合、共振周波数は次の式で定義されます：
駆動型減衰機械振動子の共振周波数 vs 固有周波数
共振は、固有周波数が減衰率に2の平方根をかけた値よりも大きい場合にのみ発生することに注意してください。 減衰定数がゼロの極限では、共振周波数は固有振動数と等しく、回路内でのエネルギーの散逸はありません。 その結果、減衰していない振動子をその固有振動数で正確に駆動すると、得られる振動の振幅は（理論的には）直線的に無限大に発散することになります。
機械的な振動子を駆動しても共振しない周波数の範囲がありますが、平衡状態からずれると減衰する振動が発生します。 この減衰振動は、上記の最初の式で定義された減衰振動周波数で発生します。 機械的な振動子に戻ってみると、次のようになります。
共振がなくなっても、減衰した振動がある場合
機械式振動子について説明した上記の条件は、並列コンデンサーを持つRL回路にも当てはまることに注意してください。
発振器の伝達関数
回路内のダンピングは、回路の伝達関数を定義し、通常はその帯域幅で記述されます。 発振器に正弦波の信号を入力すると、出力も正弦波になります。 しかし、正弦波ではない周期的な信号（鋸歯状波、周波数変調信号、クロックパルスの流れ、その他の繰り返しアナログ波形など）で発振器を駆動した場合、発振器の電圧や電流の波形は駆動信号に似ていないことがあります。 発振器の回路に正弦波を印加することで，周波数スイープから伝達関数を取り出すことができます。
駆動周波数の関数としての機械的振動子の振幅曲線
これらの曲線は、固有の周波数に対して正規化されていることに注意してください。
上の機械式振動子のグラフは、減衰率の減少に伴い、各曲線のピーク（共振周波数に相当）が自然周波数に向かって移動する様子を示しています。 これらの曲線は、それぞれ伝達関数と考えることができます。
どのようなタイプのオシレータ回路を設計している場合でも、Cadence社のOrCAD PSpice Simulatorを使用すれば、回路の共振周波数と固有周波数を簡単に区別することができます。 この強力なパッケージには、回路図から直接データを取得し、最も複雑なPCBデザインの動作を決定する解析ツールが含まれています。
ケイデンスが提供するソリューションについてもっと知りたい方は、私たちと専門家チームにご相談ください。
著者について
ケイデンスのPCBソリューションは、迅速で効率的な製品作成を可能にする、フロントからバックまでの完全な設計ツールです。
Follow on Linkedin Visit Website More Content by Cadence PCB Solutions
Cadence PCB Solutionsは、製品を迅速かつ効率的に作成するためのフロントからバックまでの完全な設計ツールです。