卵が便秘の原因になるという話は聞いたことがありません。 しかし、卵は脂肪やタンパク質が多く、食物繊維が少ないので、その人の食生活が反映されていれば、便秘になる可能性があります。
一方、卵が下痢を起こすのは、細菌汚染が原因であることが多いのですが（これは既に述べたとおりです）、最初に汚染されるのは卵の殻です。 ニワトリ（おそらく他の鳥類もそうだと思いますが、私は他の鳥類のことはよく知りません）は、通常のフローラ（完全に自然な状態で体内に生息する細菌）として、人間に有害な多くの細菌種を持っています。 卵の殻は多孔質であるため、細菌の一部は卵の内部に入り込む可能性があります（そのため、卵を洗う場合は冷水ではなく温水で洗う必要があります）。 白身は殻に接しているので、まず汚染されます。
さらに、卵に対してアレルギーや不耐性のある人もいますので、下痢や便秘などの消化器系の反応が出る理由のひとつになります。