ちょうど2つの可能な結果を持つ実験の独立した繰り返し試行をベルヌーイ試行と呼ぶ。 片方の結果を「成功」、もう片方の結果を「失敗」と呼ぶ。 pを{{displaystyle p}}とする。
をベルヌーイ試行の成功確率とし、q{{displaystyle q}}とする。
を失敗の確率とする。 すると、成功確率と失敗確率は相補的な事象であるため、和が1になります。 “成功」と「失敗」は相互に排他的であり、網羅的です。 このようにして、p = 1 – q , q = 1 – p , p + q = 1 という関係が成り立つ。
別の言い方をすれば、これらは確率で表すことができ、成功の確率pと失敗の確率qが与えられれば、その確率はp:q {\displaystyle p:q}となる。
そして、反対の確率は q : p . p
また、これらは割り算することで数字として表すことができ、その場合のオッズはo f {\displaystyle o_{f}}となります。
、反対の確率は、o a : {˶‾᷄᷄˵}となる。
, o f = p / q = p / ( 1 – p ) = ( 1 – q ) / q o a = q / p = ( 1 – p ) / p = q / ( 1 – q ) { %displaystyle { %begin{aligned}o_{f}&=p/q=p/(1-)p)=(1-q)/q\\o_{a}&=q/p=(1-p)/p=q/(1-q)\end{aligned}}}
これらは乗法的逆数なので1になり、次のような関係になります。
o f = 1 / o a , o a = 1 / o f , o f・o a = 1. o_{f}=1/o_{a},\\ o_{a}=1/o_{f},\ o_{f}\ o_{a}=1.｝となる。
ベルヌーイ裁判が有限個の等確率の結果から事象を表現している場合、結果のうちS個が成功、F個が失敗となると、その確率はS：F { %displaystyle S:F}となります。}
そして、反対の確率は F : S . となります。
これにより、確率とオッズの公式は次のようになります。 p = S / ( S + F ) q = F / ( S + F ) o f = S / F o a = F / S ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ 確率と確率の公式は以下の通りです。&=F/(S+F)\\o_{f}&=S/F\\o_{a}&=F/S\end{aligned}}}
ここでは、確率ではなく、結果の数を割ってオッズを計算していることに注意してください。
ここでは、確率ではなく、結果の数を割って計算されていますが、これらの比率は、両方の項に同じ定数を掛けているだけなので、比率は同じです。
ベルヌーイ試行を記述する乱数は、1＝「成功」、0＝「失敗」という規則で符号化されることが多い。
ベルヌーイ試行と密接な関係にあるのが二項実験であり、これは固定数n {displaystyle n}からなる。
統計的に独立したベルヌーイ試行で、それぞれの成功確率はp{\displaystyle p}である。
とし、成功の数をカウントする。 二項に対応する確率変数は B ( n , p ) {\displaystyle B(n,p)} で表されます。
と表記し，二項分布をもつという．
実験B ( n , p ) {\displaystyle B(n,p)}で成功する確率がちょうどk個である。
は次のように与えられます。 P ( k ) = ( n k ) p k q n – k {\displaystyle P(k)={n ୨୧ k}p^{k}q^{n-k}}。
where ( n k ) {displaystyle {n choose k}}}。
は、二項係数です。
ベルヌーイ試行では、負の二項分布（ベルヌーイ試行を繰り返し、指定された数の失敗までの成功数を数える）やその他の様々な分布が得られることがあります。
複数のベルヌーイ試行をそれぞれの成功確率で行う場合、ポアソン試行と呼ばれることがあります。