Zusätzliche Lektüre auf www.astronomynotes.com
- Keplersche Gesetze der Planetenbewegung
Erstes Gesetz
Kepler war ein anspruchsvoller Mathematiker, und so war der Fortschritt, den er in der Untersuchung der Bewegung der Planeten machte, die Einführung einer mathematischen Grundlage für das heliozentrische Modell des Sonnensystems. Wo Ptolemäus und Kopernikus sich auf Annahmen stützten, wie z.B. dass der Kreis eine „perfekte“ Form ist und alle Bahnen kreisförmig sein müssen, zeigte Kepler, dass mathematisch gesehen eine kreisförmige Bahn nicht mit den Daten für den Mars übereinstimmen konnte, aber dass eine elliptische Bahn mit den Daten übereinstimmte! Die folgende Aussage bezeichnen wir nun als Keplersches Erstes Gesetz:
- Die Planeten umkreisen die Sonne in Ellipsen mit der Sonne in einem Brennpunkt (der andere Brennpunkt ist leer).
Wer mehr über Ellipsen wissen möchte, kann in blutiger mathematischer Ausführlichkeit die Seite bei Mathworld lesen, und auch in Wikipedia gibt es Informationen zu Ellipsen.
Hier eine Demonstration der klassischen Methode zum Zeichnen einer Ellipse:
Die beiden Reißzwecken im Bild stellen die beiden Brennpunkte der Ellipse dar, und die Schnur sorgt dafür, dass die Summe der Abstände von den beiden Brennpunkten (den Reißzwecken) zum Bleistift eine Konstante ist. Unten ist ein weiteres Bild einer Ellipse mit definierter Haupt- und Nebenachse:
Wir wissen, dass bei einem Kreis alle Linien, die durch den Mittelpunkt gehen (Durchmesser), genau gleich lang sind. Bei einer Ellipse hingegen sind die Linien, die man durch den Mittelpunkt zieht, unterschiedlich lang. Die Linie, die von einem Ende zum anderen verläuft und beide Brennpunkte einschließt, wird als Hauptachse bezeichnet, und dies ist der längste Abstand zwischen zwei Punkten auf der Ellipse. Die Linie, die senkrecht zur Hauptachse in der Mitte verläuft, wird Nebenachse genannt und ist der kürzeste Abstand zwischen zwei Punkten auf der Ellipse.
In der obigen Abbildung sind die grünen Punkte die Brennpunkte (entspricht den Reißzwecken im Foto oben). Je größer der Abstand zwischen den Brennpunkten ist, desto größer ist die Exzentrizität der Ellipse. Im Grenzfall, in dem die Brennpunkte übereinander liegen (Exzentrizität 0), ist die Figur tatsächlich ein Kreis. Man kann sich also einen Kreis als eine Ellipse der Exzentrizität 0 vorstellen. Studien haben gezeigt, dass Astronomie-Lehrbücher ein Missverständnis einführen, indem sie die Bahnen der Planeten als stark exzentrisch darstellen, um sicher zu gehen, dass es sich um Ellipsen und nicht um Kreise handelt. In Wirklichkeit sind die Bahnen der meisten Planeten in unserem Sonnensystem fast kreisförmig, mit Exzentrizitäten nahe 0 (z.B. ist die Exzentrizität der Erdbahn 0,0167). Eine Animation, die Bahnen mit unterschiedlichen Exzentrizitäten zeigt, finden Sie im Exzentrizitätsdiagramm unter „Windows to the Universe“. Beachten Sie, dass die Umlaufbahn mit einer Exzentrizität von 0,2, die fast kreisförmig erscheint, der des Merkurs ähnelt, der die größte Exzentrizität aller Planeten im Sonnensystem hat. Das Diagramm der elliptischen Bahnen bei „Windows to the Universe“ enthält ein Bild mit einem direkten Vergleich der Exzentrizitäten von mehreren Planeten, einem Asteroiden und einem Kometen. Beachten Sie, dass Sie, wenn Sie der Anleitung „Sternennacht“ auf der vorherigen Seite folgen, um die Bahnen von Erde und Mars von oben zu beobachten, auch die Formen dieser Bahnen sehen können und wie kreisförmig sie erscheinen.
Keplers erstes Gesetz hat mehrere Implikationen. Diese sind:
- Der Abstand zwischen einem Planeten und der Sonne ändert sich, wenn sich der Planet auf seiner Bahn bewegt.
- Die Sonne ist vom Zentrum der Planetenbahn versetzt.
Zweites Gesetz
Die Griechen hielten in ihren Modellen des Sonnensystems an der aristotelischen Überzeugung fest, dass sich die Objekte am Himmel mit einer konstanten Geschwindigkeit in Kreisen bewegen, weil das ihre „natürliche Bewegung“ ist. Mit Hilfe von Keplers zweitem Gesetz (manchmal auch als Gesetz der Flächengleichheit bezeichnet) kann jedoch gezeigt werden, dass sich die Geschwindigkeit eines Planeten ändert, wenn er sich entlang seiner Bahn bewegt!
Keplers zweites Gesetz lautet:
- Die Linie, die die Sonne und einen Planeten verbindet, durchläuft gleiche Flächen in gleicher Zeit.
Das Bild unten verlinkt zu einer Animation, die zeigt, dass, wenn sich ein Planet in der Nähe des Aphels befindet (der Punkt, der am weitesten von der Sonne entfernt ist, auf dem Bild unten mit einem B gekennzeichnet), die zwischen der Sonne und dem Planeten gezogene Linie einen langen, dünnen Sektor zwischen den Punkten A und B beschreibt. Wenn sich der Planet in der Nähe des Perihels befindet (der Punkt, der der Sonne am nächsten ist, auf dem Bildschirmausschnitt unten mit C gekennzeichnet), zeichnet die Linie zwischen der Sonne und dem Planeten einen kürzeren, dickeren Sektor zwischen den Punkten C und D. Diese abwechselnd grauen und blauen Scheiben wurden so gezeichnet, dass die Fläche innerhalb jedes Sektors gleich ist. Das heißt, der Sektor zwischen C und D auf der rechten Seite enthält die gleiche Fläche wie der Sektor zwischen A und B auf der linken Seite.
Kepler’s 2nd Law
Da die Flächen dieser beiden Sektoren identisch sind, besagt das zweite Kepler’sche Gesetz, dass die Zeit, die der Planet für die Reise zwischen A und B und auch zwischen C und D benötigt, die gleiche sein muss. Betrachtet man die Strecke entlang der Ellipse zwischen A und B, so ist sie kürzer als die Strecke zwischen C und D. Da die Geschwindigkeit die Strecke geteilt durch die Zeit ist und die Strecke zwischen A und B kürzer ist als die Strecke zwischen C und D, ergibt sich, wenn man diese Strecken durch die gleiche Zeit teilt:
- Ein Planet bewegt sich in der Nähe des Perihels schneller und in der Nähe des Aphels langsamer.
Die Bahnen der meisten Planeten sind nahezu kreisförmig, mit Exzentrizitäten nahe 0. In diesem Fall sind die Geschwindigkeitsänderungen im Verlauf ihrer Bahn nicht allzu groß.
Für diejenigen unter Ihnen, die Physik unterrichten, ist das zweite Keplersche Gesetz eigentlich nur eine andere Art zu sagen, dass der Drehimpuls erhalten bleibt. Das heißt, wenn sich der Planet in der Nähe des Perihel befindet, ist der Abstand zwischen der Sonne und dem Planeten kleiner, also muss er seine tangentiale Geschwindigkeit erhöhen, um den Drehimpuls zu erhalten, und in ähnlicher Weise, wenn er sich in der Nähe des Aphel befindet, wenn ihr Abstand größer ist, muss seine tangentiale Geschwindigkeit abnehmen, damit der Gesamtdrehimpuls auf der Bahn der gleiche ist wie beim Perihel.
Das dritte Gesetz
Kepler hatte alle Daten von Tycho über die Planeten, so dass er in der Lage war zu bestimmen, wie lange jeder Planet brauchte, um einen Umlauf um die Sonne zu vollenden. Dies wird gewöhnlich als Periode eines Umlaufs bezeichnet. Kepler stellte fest, dass ein Planet die Sonne umso schneller umkreist, je näher er der Sonne ist. Er war der erste Wissenschaftler, der die Planeten unter dem Gesichtspunkt untersuchte, dass die Sonne ihre Bahnen beeinflusst. Das heißt, im Gegensatz zu Ptolemäus und Kopernikus, die beide davon ausgingen, dass die „natürliche Bewegung“ der Planeten darin bestand, sich mit konstanter Geschwindigkeit auf kreisförmigen Bahnen zu bewegen, glaubte Kepler, dass die Sonne eine Art Kraft auf die Planeten ausübte, um sie entlang ihrer Bahnen zu schieben, und dass sie sich deshalb umso schneller bewegen sollten, je näher sie der Sonne sind.
Kepler untersuchte die Perioden der Planeten und ihre Entfernung von der Sonne und bewies die folgende mathematische Beziehung, die Keplers drittes Gesetz ist:
- Das Quadrat der Periode der Umlaufbahn eines Planeten (P) ist direkt proportional zum Kubus der Hauptachse (a) seiner elliptischen Bahn.
- P 2 ∝ a 3 Diese Gleichung wird aufgrund eines inkompatiblen Browsers nicht richtig dargestellt. Eine Liste der kompatiblen Browser finden Sie unter Technische Voraussetzungen in der Orientierung.
Mathematisch bedeutet das: Wenn sich das Quadrat der Periode eines Objekts verdoppelt, dann muss sich auch der Kubus seiner Hauptachse verdoppeln. Das Proportionalitätszeichen in der obigen Gleichung bedeutet, dass:
- P 2 = k a 3 Diese Gleichung wird aufgrund eines inkompatiblen Browsers nicht richtig wiedergegeben. Eine Liste der kompatiblen Browser finden Sie unter Technische Anforderungen in der Orientierung.
Wobei k eine konstante Zahl ist. Wenn wir beide Seiten der Gleichung durch a dividieren 3 Diese Gleichung wird aufgrund eines inkompatiblen Browsers nicht richtig wiedergegeben. Eine Liste der kompatiblen Browser finden Sie unter Technische Anforderungen in der Orientierung.
- P 2 / a 3 = k Diese Gleichung wird aufgrund eines inkompatiblen Browsers nicht richtig wiedergegeben. Eine Liste der kompatiblen Browser finden Sie unter Technische Anforderungen in der Orientierung.
Das bedeutet, dass für jeden Planeten in unserem Sonnensystem das Verhältnis seiner Periode zum Quadrat und seiner semimajoralen Achse zum Quadrat derselbe konstante Wert ist, also bedeutet dies:
- ( P 2 / a 3 ) Erde = ( P 2 / a 3 ) Mars = ( P 2 / a 3 ) Jupiter Diese Gleichung wird aufgrund eines inkompatiblen Browsers nicht richtig wiedergegeben. Eine Liste der kompatiblen Browser finden Sie unter Technische Voraussetzungen in der Orientierung.
Wir wissen, dass die Periode der Erde 1 Jahr beträgt. Zur Zeit Keplers kannte man die Entfernungen zu den Planeten noch nicht, aber wir können die Halbachse der Erde einfach einer Einheit zuordnen, die wir Astronomische Einheit (AE) nennen. Das heißt, ohne zu wissen, wie groß eine AU ist, setzen wir einfach eine Erde = 1 AU Diese Gleichung wird aufgrund eines inkompatiblen Browsers nicht richtig wiedergegeben. Eine Liste der kompatiblen Browser finden Sie unter Technische Voraussetzungen in der Orientierung. . Wenn Sie 1 Jahr und 1 AE in die obige Gleichung einsetzen, sehen Sie Folgendes:
- ( P 2 / a 3 ) Erde = ( P 2 / a 3 ) Mars = ( P 2 / a 3 ) Jupiter Diese Gleichung wird aufgrund eines inkompatiblen Browsers nicht richtig wiedergegeben. Eine Liste der kompatiblen Browser finden Sie unter Technische Voraussetzungen in der Orientierung.
So für jeden Planeten, P 2 / a 3 = 1 Diese Gleichung wird aufgrund eines inkompatiblen Browsers nicht richtig dargestellt. Eine Liste der kompatiblen Browser finden Sie unter Technische Anforderungen in der Orientierung. wenn P in Jahren und a in AU ausgedrückt wird. Wenn Sie also berechnen wollen, wie weit Saturn in AU von der Sonne entfernt ist, müssen Sie nur seine Periode kennen. Für Saturn sind das etwa 29 Jahre. Also:
- ( P 2 / a 3 ) Saturn = ( 29 Jahre ) 2 / ( a AU ) 3 = 1 Diese Gleichung wird aufgrund eines inkompatiblen Browsers nicht richtig wiedergegeben. Eine Liste der kompatiblen Browser finden Sie unter Technische Anforderungen in der Orientierung.
- ( a AU ) 3 = 841 Diese Gleichung wird aufgrund eines inkompatiblen Browsers nicht richtig wiedergegeben. Eine Liste der kompatiblen Browser finden Sie unter Technische Anforderungen in der Orientierung.
- (a AU) = 3 √ 841 = 9,4 AU Diese Gleichung wird aufgrund eines inkompatiblen Browsers nicht richtig wiedergegeben. Eine Liste der kompatiblen Browser finden Sie unter Technische Anforderungen in der Orientierung.
So ist Saturn 9,4 mal weiter von der Sonne entfernt als die Erde von der Sonne!